La fontana. E le progressioni aritmetiche

Ragazzi, un semplice problema:
La fontana.
Nel giardino del paese di Bellagioia c’è una fontana come quella rappresentata nella figura.
La prima vasca, dove c’è lo zampillo, contiene 5 litri d’acqua.
La seconda contiene 8 litri in più della prima, la terza 8 litri in più
della seconda e così via sino alla settima.
Quanti litri contiene complessivamente la fontana quando le 7 vasche sono tutte colme?

L'ho premesso, il problema è semplice, direi elementare, e sono certa che non avrete difficoltà a risolvere.
Tuttavia esso ci dà l'occasione per approfondire, in qualche caso affrontare, il discorso sulle progressioni aritmetiche.
Consiglio di rivedere qui sul blog Inserimento dati in Excel e soprattutto
Numeri poligonali. Su quest'ultimo, andate in particolare al punto: I numeri poligonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche...
Vi accorgete che in una progressione aritmetica la differenza fra qualsiasi termine ed il suo precedente è costante.
Es:
1+2+3+4+.... (ragione r=1, numeri triangolari): 2-1=1; 3-2=1; 4-3=1; ecc.
1+3+5+7+... (ragione r=2, numeri quadrati): 3-1=2; 5-3=2; 7-5=2; ecc.
1+4+7+10+13+... (ragione r=3, numeri pentagonali): 4-1=3; 7-4=3; 10-7=3; ecc.
E' la differenza costante tra due termini consecutivi che viene appunto chiamata ragione (r) della progressione.
Ora, notate che nel nostro problema della fontana abbiamo a che fare con una progressione aritmetica?

Qual è la ragione r, della progressione?
Il problema chiede i litri di acqua totali quando le 7 vasche siano piene.
Possiamo dunque vederlo come:
Somma di n termini consecutivi di una progressione aritmetica.
Sotto forma di gioco matematico, sul blog abbiamo già incontrato un problema simile: ... alla corte di Carlomagno. Problemi per rendere acuta la mente dei giovani­

Su quel post non lo scrissi, ma:
Si racconta che il maestro delle elementari di quello che sarà chiamato il re dei matematici, C.F. Gauss, propose questo problema sperando di impegnare i suoi studenti per almeno 1 ora: “Sommare i primi 100 numeri naturali”. Quello che chiedeva il maestro era determinare il risultato di: $\sum_{n=1 }^{100 } n = S_{100} = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + 100$
[questo bel simbolo è quello di sommatoria, si usa per indicare, in forma compatta, una somma da... a..., è la lettera sigma maiuscola dell'alfabeto greco]
Gauss risolse il problema in molto meno di 1 ora, senza alcun errore! Ecco come fece.
Dispose i numeri da 1 a 100 in ordine crescente e poi li riscrisse allineati in colonna ordinandoli in modo decrescente.
Infine eseguì la somma in colonna scoprendo che otteneva 101 ogni volta, ossia 100
volte .

1, 2, 3,...., 98, 99, 100
100, 99, 98, ...., 3, 2, 1
_________________________________
101, 101, 101, ... , 101, 101, 101
(per 100 volte)

Il risultato della somma dei primi 100 numeri risultava essere quindi:

$S_{100}= \frac{ 1+100 }{ 2} *100=5050$

Il ragionamento di Gauss si può estendere ad una successione qualunque di cui si voglia determinare la somma di n termini consecutivi conoscendo il primo (a1) e l’ultimo (an).
Si ottiene la formula generale:

$S_{n}= \frac{ a_{1}+a_{n} }{ 2} *n$

Dunque ... possiamo sfruttare questa per risolvere rapidamente il nostro problema!
Il primo termine della progressione è ... ? L'ultimo termine è ... ? (quanti 8 bisogna aggiungere?)

Ma non finisce qui! :-)
Volutamente più sopra, ho scritto la progressione aritmetica del contenuto delle vasche in quel modo così ordinato (anzi, ho creato appositamente un'immagine).
Eh, volevo dare l'idea di un ... trapezio!
Ma forse è meglio se lo rappresento così:

La formula per il calcolo della somma dei termini di una progressione qualsiasi non ricorda quella dell'area di un trapezio?
Somma delle basi : (a1 + an)
per altezza: (n)
diviso 2.
Ancora una volta abbiamo quindi dato un significato geometrico ai numeri, in questo caso a una formula.

Semplificare l'inserimento di dati in Excel

Mi porto avanti il lavoro con qualche "guida" all'utilizzo di Excel per i ragazzi.
Penso possa essere utile anche ai, numerosi ormai, lettori che arrivano sul blog alla ricerca di info varie su Excel.
Tutte le indicazioni sono riferite alla versione 2003 di excel, facilmente adattabili alle precedenti.
Ci occupiamo di Inserimento dei dati in Excel. In questo post impariamo a creare

Elenchi automatici

Sapete, ragazzi, già creare degli elenchi e delle tabelle in maniera manuale.
Excel permette di compilare in modo automatico un elenco nei casi in cui i dati possono essere ricavati in maniera ripetitiva da quelli già esistenti.
Leggete qualche riga poi, tranquilli: sarà tutto estremamente semplice soprattutto se realizzerete sul foglio di lavoro gli esempi che seguiranno.
Excel può dunque generare un insieme di valori legati in modo elementare a un valore precedente, per esempio progressioni aritmetiche e date.
In matematica si chiama si dice progressione aritmetica una successione di numeri, tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente è costante.
Tale differenza si chiama ragione e può essere un qualunque numero, positivo o negativo.
Un altro elemento importante della progressione è il primo; infatti tutti gli altri sono automaticamente generati dal primo.
Per costruire una progressione aritmetica con Excel basta digitare i primi due numeri, Excel capisce la ragione della progressione e la applica per inserire gli altri valori.
Vediamo come.
In un foglio di lavoro:
1. digitare il numero 1 nella cella A1
2. digitare 2 in A2
3. selezionare l'intervallo A1:A2; in questo modo Excel riconosce la ragione.
4. copiare l'intervallo selezionato fino alla cella A10 (posizionare il mouse sul quadratino di riempimento in basso a destra e trascinare):

vengono restituiti i numeri naturali positivi fino al 10. Provare sul foglio di lavoro!
Si sarà notato che, durante la fase di copiatura, i numeri da inserire compaiono via via a fianco delle celle (vedi immagine)
Si può anche compilare in automatico una progressione decrescente. Un esempio:
1. In cella A11 digitare 11 (può anche essere un altro valore, non c'è un legame con il numero di riga!)
2. In A10 digitare 10 (il valore che precede quello digitato in A11)
3. Selezionare l'intervallo A10:A11
4. Trascinare verso l'alto fino ad A1

Si ottengono i numeri decrementati di 1. Provare!

Naturalmente oltre che lungo una colonna, si può ottenere l'elenco numerico anche lungo una riga. Osservare l'immagine.

Si seleziona l'intervallo A1:B1 e si trascina in senso orizzontale. Provare anche questo!

Ancora qualche esempio, da testare sul foglio di lavoro.
1) Si vogliano digitare 15 numeri dispari partendo da -5:
- In cella B1 digitare -5
- In cella B2 digitare -3
- Selezionare l'intervallo B1:B2
- Copiare trascinando fino a B15

2) Si vogliano digitare i numeri decrescenti con ragione -0,5, primo numero 10, ultimo numero -1,5:
- In C1 digitare 10
- In C2 digitare 9,5
- Selezionare l'intervallo C1:C2
- Copiare trascinando fino a che compare a fianco alla selezione il valore -1,5

Comando Riempimento
Excel permette di creare automaticamente una successione di numeri ancora in un altro modo:
1. In una cella, ad es. A6 digitare il numero 1
2. Selezionata la stessa cella A6, si deve cioè essere posizionati in A6, andare su menu Modifica
3. Scegliere il comando Riempimento
4. Quindi scegliere l'opzione Serie. Vedi immagine:

Si apre la finestra Serie:

Come indicato dalle frecce nell'immagine, nella finestra Serie devono essere selezionate delle opzioni e compilati dei campi:
- In Serie in scegliere Colonne (o righe se si desidera l'elenco in riga)
- In Tipo, selezionare Lineare
- In Valore di incremento digitare il valore secondo il quale si desidera l'incremento della successione, la ragione della successione. Digitando 1 si avrà la successione: 1, 2, 3, 4, ... Digitando 2 si otterrà: 1, 3, 5, 7, .... - ricordare che in cella A6 si è digitato il numero 1.
- In Valore limite digitare l'ultimo valore della successione.
Digitando 20 si avrà la successione dei numeri naturali fino a 20.
- Operate tutte le scelte, cliccare su OK
Nell'immagine il risultato:

Per stavolta è tutto ma, successioni e inserimenti di dati continua...

Numeri triangolari, quadrati, ... poligonali.

Vediamo di conoscere meglio i numeri triangolari, quadrati.... della scuola pitagorica.
In realtà di questi numeri ho già parlato qui in blog, sia pure indirettamente.
Vi ricordo la segnalazione: Indagini sulla moltiplicazione.
La quale rimandava ad una interessante, ricca e divertente presentazione su Power Point (aggiornamento del 03/09/2005).
Questa è una delle slide sull'argomento:

Sulla tabella della moltiplicazione, fra le tante proprietà e curiosità sui numeri, si possono individuare i numeri poligonali. La presentazione spiega anche come ottenerli via via, osservando la tabella.

Come potete leggere nella presentazione stessa, ho dato il mio contributo rendendo "interattive" con Excel alcune delle proposte inserite (notate sulla slide il link al file excel relativo ai poligonali).

Un'immagine-excel è questa:

Notate in figura i numeri triangolari, elencati ed evidenziati nella tavola. Per ottenere i numeri quadrati basterà fare clic sulla prima cella viola contenente il numero1, subito a destra dell'elenco dei triangolari e copiare la formula lungo la colonna. Si vedrà apparire l'elenco dei numeri quadrati e popolarsi di questi la tavola. Così per gli altri poligonali. Il file contiene le istruzioni d'uso. [nota: l'immagine riportata nelle mie "informazioni personali" è ancora tratta da un file excel contenuto nella presentazione: rappresenta i numeri cubici].
Dunque:
come già visto, parlando della scuola di Pitagora, i numeri poligonali indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. A seconda della figura generata, pertanto, avremo i numeri triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali ecc.
(Potete scorrere appena sotto e rivedere le immagini).
Qui seguite questa simpatica animazione con i numeri quadrati.

Suggerisco la visione dell'intera pagina da cui essa è tratta.

[Aggiornamento]: da Maestra Renata ancora un'animazione e la proposta di esercizi sui numeri quadrati.

I numeri poligonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche.
Un semplice esempio di progressione aritmetica è quella che genera i numeri naturali:
1+1+1+1+1+ ... (ragione r=0) numeri naturali: 1; 1+1= 2; 1+1+1= 3; 1+1+1+1= 4; 1+1+1+1+1= 5 e così via ...
1+2+3+4+.... (ragione r=1) numeri triangolari: 1; 1+2= 3; 1+2+3= 6; 1+2+3+4= 10; 1+2+3+4+5= 15 e così via ...
1+3+5+7+... (ragione r=2) numeri quadrati. Come sopra si sommano via via i termini della progressione e si ottengono: 1 4 9 16 25 ...
1+4+7+10+13+... (ragione r=3) numeri pentagonali: 1 5 12 22 35 ...
1+5+9+13+17+... (ragione r=4) numeri esagonali: 1 6 15 28 45....
Si procede allo stesso modo per ottenere gli altri numeri poligonali.

A ogni tipo di numero poligonale corrisponde una formula, una piccola espressione, che ne permette l’immediato calcolo.
Consideriamo un numero naturale qualsiasi, n. Troviamo:
un numero triangolare con la formula: n*(n+1)/2
un numero quadrato: n*(2*n+0)/2 (più semplicemente, come sappiamo: n^2)
un numero pentagonale: n*(3*n-1)/2
un numero esagonale: n*(4*n-2)/2
un numero eptagonale: n*(5*n-3)/2
un numero ottagonale: n*(6*n-4)/2
E così per gli altri: notate la regolarità presente nelle ultime quattro formule.

Pillola di Excel:
Le formule appena viste sono state utilizzate nel lavoro in Excel.
I numeri n, naturali in successione, si ottengono con la funzione di Excel: RIF.RIGA() che, immessa senza argomenti in una cella di una riga qualsiasi, restituisce il numero di riga alla quale la cella appartiene. Es: =RIF.RIGA(), immessa in cella C5, restituisce il numero 5.
Se immettiamo invece la formula: =RIF.RIGA(A1), in una cella qualsiasi, è restituito il numero 1
Dunque:
riprendiamo la formula dei numeri triangolari: n*(n+1)/2 per n=1,
in Excel digiteremo:
=RIF.RIGA(A1)*(RIF.RIGA(A1)+1)/2 che significa: 1*(1+1)/2 = 1
per n=2, in Excel:
=RIF.RIGA(A2)*(RIF.RIGA(A2)+1)/2 che significa: 2*(2+1)/2 = 3
per n=3:
=RIF.RIGA(A3)*(RIF.RIGA(A3)+1)/2 che significa: 3*(3+1)/2 = 6
e così via...
Rivedete ancora i numeri triangolari nelle immagini del post sotto....!

alla prox!:-)