Un "piacevole" teorema….
Così lo presenta Martin Gardner nel volume Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche (Sfide Matematiche).
Tracciate tre cerchi di tre dimensioni diverse in una parte qualunque di un foglio, con l'unica eccezione che non si sovrappongano.
Per ogni coppia di cerchi, tracciate le loro due tangenti comuni.
[…] sarete sorpresi di scoprire che le intersezioni delle tre coppie di tangenti si incontrano sulla stessa retta.
Ecco la costruzione realizzata con geogebra. Clic sull'immagine.
Come ci si potrebbe aspettare, esistono molti modi per dimostrare il teorema mediante costruzioni geometriche.
[Con geogebra ho costruito le coppie di tangenti comuni alle circonferenze c-k e c-e. A e B sono, rispettivamente, le intersezioni delle due coppie di tangenti.
L'intersezione C della coppia di tangenti comuni alle circonferenze k-e, cade necessariamente sulla stessa retta r, cui appartengono le due precedenti]
Ad ogni modo, Popular Computing ha riferito, nel suo numero di dicembre 1974, che il teorema si presta ad un'elegante soluzione se si abbandona il piano bidimensionale per passare a una generalizzazione tridimensionale.
[…] I redattori della rivista informano che quando il teorema fu mostrato a John Edson Sweet, un professore di ingegneria alla Cornell University morto nel 1916, questi osservò per un po' il disegno e commentò: "Sì, è perfettamente evidente!"
__Qual era la "dolce" soluzione del professore Sweet?
Naturalmente io sono andata a leggere la soluzione del prof. Sweet e le altre soluzioni descritte nel volume :-)
La soluzione di John Edson Sweet del teorema dei tre cerchi è fornita nella risposta la problema 62 del volume di L.A. Graham Ingenious Mathematical Problems and Methods (Dover 1959).
Si scopre anche che non è necessario che i cerchi siano disgiunti. Il teorema è valido anche per cerchi contenuti completamente uno nell'altro.
Inoltre: il teorema è chiamato "teorema di Monge", in onore del matematico francese Gaspard Monge (amico di Napoleone), che lo enunciò in un trattato del 1798.
R.C. Archibald, in The American Mathematical Monthy (vol 22, 1915, p.65), fa risalire il teorema agli antichi greci (scrive Donald Keeler)
Il teorema di Monge per tre circonferenze nel piano è citato da Herbert Spencer nella sua autobiografia. Scrive Spencer: "Si tratta di una verità che non posso contemplare senza rimanere colpito dalla sua bellezza e insieme dal sentimento di meraviglia e timore che suscita in me: il fatto che tre circonferenze, apparentemente senza relazione, siano comunque legate da questo plexus di relazioni appare davvero incomprensibile".
Non riporto le dimostrazioni: metti che qualche lettore appassionato voglia proporne una! Se così fosse, ringrazio:-)
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