理想中(圖左)電子在導體中以平均分佈的方式傳導流通,集膚效應(圖右)則是電子集中在導體的近外膚位置上流通,使橫切面的核心部位呈現空泛狀態,進而使電流輸送量減少。
集膚效應(又称趋肤效应或直譯作表皮效應,英语:Skin effect)是指导体中有交流电或者交变电磁场时,导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度呈指數衰減,即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看,导体的中心部分几乎没有电流流过,只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分,所以称为集膚效應。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡旋电场,与原来的电流相抵消。
集肤效应最早在英國應用數學家贺拉斯·兰姆(Horace Lamb)1883年發表的一份论文中提及,只限于球壳状的导体。1885年,英國物理學家奥利弗·赫维赛德(Oliver Heaviside)将其推广到任何形状的导体。集肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加,并导致导线传输电流时效率减低,耗费金属资源。在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。
当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时,随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度J呈指數衰減
![{\displaystyle J=J_{0}\exp(-{x \over \delta })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3069440412275a459460857d7fb9c06de0a735)
其中,
是导体表面的电流密度,
表示电流与导体表面的距离,
是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数,称为集肤深度(skin depth)。
![{\displaystyle \delta ={\sqrt {{2\rho } \over {\omega \mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b104b2383af7eb4ecac1242cf93a3b35ac49bc4)
其中:
- ρ =导体的电阻率
- ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
- μ = 导体的磁导率 =
,其中
是真空磁导率,
是导体的相对磁导率
对于很长的圆柱形导体,比如导线来说,如果它的直径
比
大很多的话,它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为
的圆柱导体对直流电的电阻。
![{\displaystyle R={{\rho \over \delta }\left({L \over {\pi (D-\delta )}}\right)}\approx {{\rho }\left({L \over {\pi D\delta }}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeba8746620d9ccbaecb44cf4709e8b7bb911b6e)
其中:
- L=导线的长度
- D=导线直径
具体来说,假设
是从离导线中心r处到导线表面的截面上通过的电流,
为截面上的总电流,那么有:
![{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e640d42347c4a8b9df85f2085e2b2004cd465b)
其中Ber和Bei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数(具体见下)。
考虑一个半径为a,长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場,則在圆柱中有频率为ω的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组,
麦克斯韦-法拉第方程:
![{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ad12486873bde2484ed453bda959328923e82c)
麦克斯韦-安培方程:
![{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51936cd1e5849ee75a07b81aee28b5e2a3708af)
其中:
在导体中,欧姆定律的微分形式为:
![{\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5729fb29e62c2e13b963af9753c5150755e9135f)
σ是导体的电导率。
我们假设导体是均匀的,于是导体各处的μ和σ都相同。于是有:
![{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530b220ca5240c069d93df40236fb119837a27b0)
![{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdacc6032ebb6ee630c80921c978769ae094f751)
在圆柱坐标系(r, θ, z)(z为圆柱导体的轴心)中,设电磁波随z轴前进,由对称性,电流密度是一个只和r有关的函数:
![{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c16e0561423b78f6beab25e0615137c525c1b7)
取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度,就有:
![{\displaystyle \nabla \times \,(\nabla \times \,\mathbf {J} )=-i\,\omega \,\sigma \,(\nabla \times \,\mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9b69707c0029d50e1f63cfdc4f9731de6db509)
也就是:
![{\displaystyle \nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a8ca3b8f774ae23bd1ffe6002fff7758750cc8)
由之前对电流密度的假设,
,因此有:
![{\displaystyle \Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f5a80affc0feb3a04c68f7c38e1ee2f671d92d)
在圆柱坐标系中,拉普拉斯算子
写作:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+{\frac {1}{r}}\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726937184713ab5d738d4a94b3cd1eed72dda51e)
令
,再将方程两边乘上r2就得到电流密度应该满足的方程:
![{\displaystyle r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60700373c80c5a7c8807e534f4653000a3ad6546)
在进行代换
后,方程变为一个齐次的贝塞尔方程:
![{\displaystyle \xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2}}}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi }}(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d4d1e69b94e6e903f4db97c307c6f49e7e89dc)
由电流密度在r = 0的连续性,方程的解具有
的形式,其中J0是零阶的第一类贝塞尔函数。于是:
![{\displaystyle j(r)=j_{0}\,J_{0}(i\,k\,r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c47c0ae847561458935e8e2600bc020cc2a6518)
其中j0是一个常数,k为:
![{\displaystyle k={\sqrt {i}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85381e1eb05145702befec52c568483aee5bb962)
其中δ是集肤深度,
,
![{\displaystyle i\,k={\frac {-1+i}{\delta }}=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2}}{\delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c022aa6219026518dd6aabc8999a703d7a17c935)
最后,电流密度为:
![{\displaystyle {\begin{matrix}j(r)&=&j_{0}\,J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\\&=&j_{0}\,(ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }}))\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0331c1b5c982ac6b00e24b5671c0c879011736dd)
其中ber和bei是0阶的开尔文-贝塞尔函数。
于是通过整个截面的电流总和就是:
![{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&\int _{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j_{0}\int _{0}^{a}J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\int _{0}^{{\sqrt {2}}\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719b17e641147bd035329337bb96e25ae5801da2)
记Ber和Bei为相应的原函数:
![{\displaystyle Ber(x)=\int _{0}^{x}ber(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }\qquad {\mbox{ et }}\qquad Bei(x)=\int _{0}^{x}bei(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1749795be45a1fb138699208e706c3e8836864f4)
便有如下更简洁的形式:
![{\displaystyle I=\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82df5b6e4a7649023ba9e4ccf93b81e85d9bd148)
我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r处的电流总和:
![{\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010a9cb5827793c611695150bf5ae768ce14c931)
于是有电流的分布函数:
![{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e640d42347c4a8b9df85f2085e2b2004cd465b)
一般来说,在给定的频率下,使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是:
![{\displaystyle D_{\mathrm {W} }={\frac {200~\mathrm {mm} }{\sqrt {f/\mathrm {Hz} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45efbc5230eeeba2b88480974691c212d16af9f6)
以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线,交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大。
一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的利兹线(源自德语:Litzendraht,意为“编织起来的线”)。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法,使得电磁场能够比较均匀地分布,这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后,产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。利兹线一般应用在高频交流电的传输中,可以同时减缓集肤效应和邻近效应。
高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线,这样能使铝质部分的工作部分温度降低,减低电阻率,并且由于集肤效应,电阻率较大的钢芯上承载极少的电流,因而无关紧要。
还有将实心导线换成空心导线管,中间补上绝缘材料的方法,这样可以减轻导线的重量。
在传输的频率在甚高频或微波级别时,一般会使用镀银(已知的除超导体外最好的导体)的导线,因为这时集肤深度非常的浅,使用更厚的银层已是浪费。
集肤效应使交流電只通过导体的表面,因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用集肤效应来为钢进行表面淬火,使钢材表面的硬度增大。
集肤效应也可以描述为:导体中变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减,因此在防晒霜中混入导体微粒(一般是氧化锌和氧化钛),就能使阳光中的紫外线(高频电磁波)的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外,集肤效应也是电磁屏蔽的方法之一,利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置[1],这也是电梯里手机信号不好的原因。
頻率為10 GHz(微波)時各種材料的集膚深度:
導體 |
δ(μm)
|
鋁 |
0.80
|
銅 |
0.65
|
金 |
0.79
|
銀 |
0.64
|
在铜质导线中,集肤深度和频率的关系大致如下:
频率 |
δ
|
60 Hz |
8.57 mm
|
10 kHz |
0.66 mm
|
100 kHz |
0.21 mm
|
1 MHz |
66 µm
|
10 MHz |
21 µm
|
- William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
- Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
- Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above
- ^ 林漢年. 《電磁相容分析與設計 : 從PI與SI根因探討》. 滄海圖書. 2021: 第B–3頁. ISBN 9789865647735.