此條目介紹的是数学家们所称的“直观”或“朴素”的集合理论。关于更详细的说明,请见「
朴素集合论」。关于有关集合的现代严格
公理化理論,请见「
公理化集合论」。
一个包含一些多边形的集合
集合(英語:set)簡稱集,是一个基本的数学模型,指若干不同物件(英語:object)形成的总体。集合裡的物件称作元素或成员,它们可以是任何类型的数学对象:数字、符号、变量、空间中的点、线、面,甚至是其他集合。若
是集合
的元素,記作
。不包含任何元素的集合称为空集;只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同,我们称这两个集合相等。
集合在现代数学无处不在,其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来,集合理论,更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论,一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。
简单来说,所谓的一个集合,就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。
在數學交流當中為了方便,集合會有一些別名。比如:
元素通常用
等小写字母來表示;而集合通常用
等大寫字母來表示。
當元素
属于集合
時,记作
。
当元素
不属于集合
时,记作
。
如果
两个集合所包含的元素完全一样,则二者相等,写作
。
无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。
- 集合上可以定义序关系,定义了序关系后,元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言,元素之间没有必然的序。(参见序理论)
互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。
- 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画,可以使用多重集,其中的元素允许出现多次。
确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。
大于零的前三个自然数
光的三原色和白色
- 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素,称为列举法,比如:
![{\displaystyle C=\left\{1,2,3\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae2729727df777eece6844bb84b36d97219b364)
红色
蓝色
绿色
白色![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
尽管两个集合有不同的表示,它们仍可能是相同的。比如:上述集合中,
而
,因为它们正好有相同的元素。
元素列出的顺序不同,或者元素列表中有重复,都和集合相同與否没有关系。比如:这三个集合
,
和
是相同的,因为它们有相同的元素。
- 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示,更多信息,请见文氏图。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/220px-Venn_A_subset_B.svg.png)
B的子集A
集合
、
,若
,有
。则称
是
的子集,亦称
包含于
,或
包含
,记作
或
,否则称
不是
的子集,记作
或
。
若
,且
,则称
是
的真子集,亦称
真包含于
,或
真包含
,记作
或
(有时也记作
或
)。
- 包含关系“
”是集合间的一个非严格偏序关系,因为它有如下性质:
- 自反性:
集合
,
;(任何集合都是其本身的子集)
- 反对称性:
且
;(这是证明两集合相等的常用手段之一)
- 传递性:
且
;
- 真包含关系“
”是集合间的一个严格偏序关系,因为它有如下性质:
- 反自反性:
集合
,
都不成立;
- 非对称性:
不成立;反之亦然;
- 传递性:
且
;
- 显然,包含关系,真包含关系定义了集合间的偏序关系。而
是这个偏序关系的最小元素,即:
集合
,
;且若
,则
,(空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集)
- 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
- 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
![{\displaystyle \left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82bbd7ddba2a94274e0ef3144649aa770b9c291)
![{\displaystyle \left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafd8028bb69ccb14ad469805ff32b87f3a4c6ca)
两个集合可以相"加"。
和
的聯集是将
和
的元素放到一起构成的新集合。
给定集合
,
,定义运算
如下:
或
。
称为
和
的聯集。
A 和 B 的聯集
红色
白色
红色
白色![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
绿色
红色
白色
绿色
红色
白色
绿色![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
![{\displaystyle \left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64afe8455c6e5171eb45fc9caf2982233c57e60d)
作为集合间的二元运算,
运算具有以下性质。
- 交换律:
;
- 结合律:
;
- 幂等律:
;
- 幺元:
集合
,
;(
是
运算的幺元)。
一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。
和
的交集,写作
,是既属于
的、又属于
的所有元素组成的集合。
若
,则
和
称作不相交。
A 和 B 的交集
给定集合
、
,定义运算
如下:
且
。
称为
和
的交集。
作为集合间的二元运算,
运算具有以下性质。
- 交换律:
;
- 结合律:
;
- 幂等律:
;
- 空集合:
集合
,
;(
是
运算的空集合)。
其它性质还有:
![{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8848995318bd9ba281fcacd7fb13c26f43120bc)
红色
白色![{\displaystyle \}=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28396b3606a839fa0c09f3af7e38bf600b878bab)
绿色
红色
白色
绿色
绿色![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
![{\displaystyle \{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deaaf8f230fc1fbab7fc084d9456c490d8690c18)
两个集合也可以相"减"。
在
中的相对补集,国际上通常写作
,中文教材中有时也会写作
。表示属于
的、但不属于
的所有元素组成的集合。
在特定情况下,所讨论的所有集合是一个给定的全集
的子集。这样,
称作
的绝对补集,或简称补集(餘集),写作
或
。
相对补集 A - B
补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。
给定集合
,
,定义运算-如下:
且
。
称为
对于
的差集,相对补集或相对餘集。
在上下文确定了全集
时,对于
的某个子集
,一般称
为
(对于
)的补集或余集,通常记为
或
,也有记为
,
,
,以及
的。
作为集合间的二元运算,- 运算有如下基本性质:
;
- 右幺元:
集合
,
;(
是
运算的右幺元)。
- 左零元:
集合
,
;(
是
运算的左零元)。
红色
白色![{\displaystyle \}=\{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebaf6ad35a75dae5601f4ececb6c9b1249e8ae1)
绿色
红色
白色
绿色![{\displaystyle \}=\{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebaf6ad35a75dae5601f4ececb6c9b1249e8ae1)
![{\displaystyle \{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a7442ae5132fa24c474299c6aa35b38d4801d2)
- 若
是整数集,则奇数的补集是偶数
给定集合
,
,定义对称差运算
如下:
。
作为集合间的二元运算,
运算具有如下基本性质:
- 交换律:
;
- 结合律:
;
- 幺元:
集合
,
;(
是
运算的幺元)。
- 逆元:
;
集合的运算除了以上情况之外,集合间还具有以下运算性质:
![{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56cf51b2af5f5c0fb30790af2fa2f4a04ff9777)
![{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a93af5a9e180fd33a3198837d1e4a340d09c65d)
![{\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b63669c8a93e8ab33faecff37c72eaf8e93cb32)
![{\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6221733eae7cb566a727a5f49a3ee7955b760f)
上述每一个集合都有确定的元素个数;比如:集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。數學寫法有很多種,不同作者及不同書本用不同的寫法:
。
集合可以没有元素。这样的集合叫做空集,用
或符号
表示。比如:集合
是2004年所有住在月球上的人,它没有元素,则
。在数学上,空集非常重要。更多資訊請參閱空集。
如果集合只含有限个元素,那么这个集合可以称为有限集合。
集合也可以有无穷多个元素,這樣的集合称为无限集合。比如:自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他資訊请见集合的势。
若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”,會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论,數學家提出公理化集合论。在公理集合论中,集合是一个不加定义的概念。
在更深層的公理化数学中,集合仅仅是一种特殊的类,是“良性类”,是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种:一种是可以顺利进行类运算的“良性类”,这种“良性类”称为集合;另一种是要限制运算的“本性类”,对于本性类,类运算并不是都能进行的。
定义 类A如果满足条件“
”,则称类A为一个集合(简称为集),记为
。否则称为本性类。
这说明,一个集合可以作为其它类的元素,但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。
- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.