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浮点数运算

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十進制浮点數的表示方式

電腦科學中,浮點數運算(Floating-point arithmetic)是一種用浮點(英語:floating point,縮寫為FP)方式表示實數的運算方式。浮點是一種對於實數的近似值數值表現法,由一个有效數字(即尾数)加上冪數來表示,通常是乘以某个基数的整数次指數得到。以這種表示法表示的數值,稱為浮点數floating-point number)。浮點數運算运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入

計算機使用浮點數運算的主因,在於電腦使用二進位制的運算,例如:4÷2=2,4=100(2)、2=010(2),在二進位相當於退一位數,則1.0÷2=0.5=0.1(2),也就是。依此類推二進位的0.01(2)就是十進位==0.25。由於十進位制無法準確換算成二進位制的部分小數,如0.1,因此只能使用近似值的方式表達。

这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。在計算機上,通常使用2為基數的幂數來表示,一个浮点数a由两个数me来表示:a = m × be。在任意一个这样的系统中,可选择一个基數b(记数系统的基)和精度p(即使用多少位来存储),m(即尾數英语Significand)是形如±d.ddd...ddd的p位数(每一位是一个介于0到b-1之间的整数,包括0和b-1)。如果m的第一位是非0整数,m称作正规化的,有一些描述使用一个单独的符号位(s 代表+或者-)来表示正负,这样m必须是正的,e是指数。

這種表示法的設計,來自於對於值的表現範圍,與精密度之間的取捨:可以在某个固定长度的存储空间内表示出某個實數的近似值,例如: 一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210,4.321或0.0004321,但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3(必须近似为432.1和43210)。当然,实际使用的位数通常远大于4。

此外,浮点数表示法通常还包括一些特别的数值:+∞和−∞(正负无穷大)以及NaN('Not a Number')。无穷大用于数太大而无法表示的时候,NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。

其中,无穷大,可表示为inf,在内存中的值是阶码为全1,尾数全0。而NaN在内存中的值则是阶码全1,尾数不全0。

计算机的浮点数

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浮点指的是带有小数的数值,浮点运算即是小数的四则运算,常用来测量电脑运算速度。大部份计算机采用二進制(b=2)的表示方法。(bit)是衡量浮点数所需存储空间的单位,通常为32位或64位,分别被叫作单精度双精度。有一些计算机提供更大的浮点数,例如英特尔公司的浮点运算单元Intel8087协处理器(以及其被集成进x86处理器中的后代产品)提供80位长的浮点数,用于存储浮点运算的中间结果。还有一些系统提供128位的浮点数(通常用软件实现)。

浮点数的標準

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在電腦使用的浮点数被电气电子工程师协会(IEEE)規範化為IEEE 754

举例

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π的值可以表示为π = 3.1415926...10(十进制)。当在一个支持17位尾数的计算机中表示时,它会变为0.11001001000011111 × 22

浮點數運算

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為了方便呈現,容易閱讀,以下的例子會用十進制,有效位數7位數的浮點數,也就是IEEE 754 decimal32格式,其原理不會隨進制或是有效位數而變。此處的s表示尾數(有效數字),而e表示指數。

加減法

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處理浮點數加法的簡單作法是將二個浮點數調整到有相同的指數。在以下例子中,第二個數的小數點左移了三位,使二者的指數相同,之後即可進行一般的加法運算:

  123456.7 = 1.234567 × 10^5
  101.7654 = 1.017654 × 10^2 = 0.001017654 × 10^5
  因此
  123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2)
                      = (1.234567 × 10^5) + (0.001017654 × 10^5)
                      = (1.234567 + 0.001017654) × 10^5
                      =  1.235584654 × 10^5

若用e和s來表示

  e=5;  s=1.234567     (123456.7)
+ e=2;  s=1.017654     (101.7654)
  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.001017654  (移位後)
--------------------
  e=5;  s=1.235584654  (實際的和:123558.4654)

這是真實的結果,二個數字真正的和,之後會再四捨五入到七位有效位數,若有需要的話,會再進行正規化,其結果為

  e=5;  s=1.235585    (最後答案:123558.5)

加數的最低三位數(654)沒有出現在結果中,這稱為捨入誤差。在一些極端的例子中,二個浮點數的和可能和其中的被加數或是加數相等:

  e=5;  s=1.234567
+ e=−3; s=9.876543
  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.00000009876543 (移位後)
----------------------
  e=5;  s=1.23456709876543 (真正的和)
  e=5;  s=1.234567         (四捨五入及正規化後)

在上述的例子中,為了要有正確的四捨五入結果,在二數指數差距很大時,要增加許多位數才有正確的結果。不過,在二位制的加減法中,利用一個guard位元、一個rounding位元以及一個額外的sticky位元,就可以有正確的結果[1][2]:218–220

另一個失去有效數字的情形出現在二個幾乎相等的數字相減時。在以下的例子中,e = 5; s = 1.234571和e = 5; s = 1.234567是有理數123457.1467和123456.659的近似值。

  e=5;  s=1.234571
− e=5;  s=1.234567
----------------
  e=5;  s=0.000004
  e=−1; s=4.000000 (四捨五入及正規化後)

浮點數的差可以精確的計算,如同Sterbenz引理英语Sterbenz lemma所說明的,就算是因為漸進式下溢位英语gradual underflow而出現下溢位也是一樣。不過,原來二個數的差是e = −1; s = 4.877000,和浮點數計算結果e = −1; s = 4.000000之間差了超過20%。在極端的例子中,甚至所有的有效數字都會不見[1][3]。上述的灾难性抵消說明了,假設計算結果的每一位數都有意義,這個想法很危險。這類誤差的處理及修正是數值分析中的主題之一。

乘除法

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若要進行乘法,將有效數字相乘,指數相加,再進行四捨五入及正規化即可。

  e=3;  s=4.734612
× e=5;  s=5.417242
-----------------------
  e=8;  s=25.648538980104 (真實乘積)
  e=8;  s=25.64854        (四捨五入後)
  e=9;  s=2.564854        (正規化)

而除法會將被除數和除數的有效數字相除,二者的指數相減,再進行四捨五入及正規化。

乘除法不會有抵消或是某一數字被吸收的問題,不過仍會出現一些小誤差,若連續運算,誤差會變大[1]。實務上,要進行上述運算的數位邏輯可能會相當的複雜(像是布斯乘法算法以及除法器)。

准确性

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由于浮点数不能表达所有实数,浮点运算与相应的数学运算有所差异,有时此差异极为显著。

比如,二进制浮点数不能表达0.1和0.01,0.1的平方既不是准确的0.01,也不是最接近0.01的可表达的数。单精度(24比特)浮点数表示0.1的结果为,,即

0.100000001490116119384765625

此数的平方是

0.010000000298023226097399174250313080847263336181640625

但最接近0.01的可表达的数是

0.009999999776482582092285156250

浮点数也不能表达圆周率,所以不等于正无穷,也不会溢出。下面的C语言代码

double pi = 3.1415926535897932384626433832795;
double z = tan(pi/2.0);

的计算结果为16331239353195370.0,如果用单精度浮点数,则结果为−22877332.0。同样的,

由于浮点数计算过程中丢失了精度,浮点运算的性质与数学运算有所不同。浮点加法和乘法不符合结合律分配律

事故

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奔騰早期的60-100MHz P5版本在浮點運算單元有一個問題,在極少數情況下,會導致除法運算的精確度降低。這個缺陷於1994年被發現,變成如今廣為人知的奔腾浮点除错误,同時這一事件導致英特爾陷入巨大的窘態,建立召回計畫來回收有問題的處理器。

相關條目

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參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Goldberg, David. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic (PDF). ACM Computing Surveys. March 1991, 23 (1): 5–48 [2016-01-20]. S2CID 222008826. doi:10.1145/103162.103163. (原始内容存档 (PDF)于2006-07-20).  ([1]页面存档备份,存于互联网档案馆), [2]页面存档备份,存于互联网档案馆), [3]页面存档备份,存于互联网档案馆))
  2. ^ Patterson, David A.; Hennessy, John L. Computer Organization and Design, The Hardware/Software Interface. The Morgan Kaufmann series in computer architecture and design 5th. Waltham, Massachusetts, USA: Elsevier. 2014: 793. ISBN 978-9-86605267-5 (英语). 
  3. ^ 美国专利3037701A (PDF 版本)(于1962年6月5日注册)Huberto M Sierra——Floating decimal point arithmetic control means for calculator。