八皇后问题：修订间差异

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2024年2月16日 (五) 14:15的最新版本

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8									8
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6									6
5									5
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3									3
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1									1
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八皇后问题的唯一对称解（不包括旋转和反射变换）

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当n = 1或n ≥ 4时问题有解^[1]。

历史

八皇后问题最早是由西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔（Max Bezzel）于1848年提出。第一个解在1850年由弗朗兹·诺克（Franz Nauck）给出。并且将其推广为更一般的n皇后摆放问题。诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。

在此之后，陆续有数学家对其进行研究，其中包括高斯和康托，1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法^[2]，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。

1972年，艾兹格·迪杰斯特拉用这个问题为例来说明他所谓结构化编程的能力^[3]。他对深度优先搜索回溯算法有着非常详尽的描述²。

八皇后问题在1990年代初期的著名电子游戏《第七访客》和NDS平台的著名电子游戏《雷顿教授与不可思议的小镇》中都有出现。

解题方法

八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368（₆₄C₈）种摆放方法，但只有92个可行（皇后間互不攻擊）的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，则一共有12个独立解，具体如下：

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
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4									4
3									3
2									2
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独立解1

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8									8
7									7
6									6
5									5
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3									3
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独立解2

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8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
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2									2
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独立解3

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
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独立解4

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
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独立解5

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8									8
7									7
6									6
5									5
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独立解6

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
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独立解7

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
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独立解8

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
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独立解9

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
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独立解10

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
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独立解11

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
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独立解12

解的个数

下表给出了n皇后问题的解的个数包括独立解U（OEIS數列A002562）以及可行解D（OEIS數列A000170）的个数：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	..
U	1	0	0	1	2	1	6	12	46	92	341	1,787	9,233	45,752	..
D	1	0	0	2	10	4	40	92	352	724	2,680	14,200	73,712	365,596	..

可以注意到六皇后问题的解的个数比五皇后问题的解的个数要少。现在还没有已知公式可以对n计算n皇后问题的解的个数。

示例程序

下面是求解n皇后的C代码，在程序中可以自己设置n个皇后以及选择是否打印出具体解。

#include <stdio.h>

#define QUEENS       8 /*皇后数量*/
#define IS_OUTPUT    1 /*(IS_OUTPUT=0 or 1)，Output用于选择是否输出具体解,为1输出，为0不输出*/

int A[QUEENS + 1], B[QUEENS * 3 + 1], C[QUEENS * 3 + 1], k[QUEENS + 1][QUEENS + 1];
int inc, *a = A, *b = B + QUEENS, *c = C;
void lay(int i) {
  int j = 0, t, u;

  while (++j <= QUEENS)
    if (a[j] + b[j - i] + c[j + i] == 0) {
      k[i][j] = a[j] = b[j - i] = c[j + i] = 1;
      if (i < QUEENS) lay(i + 1);
      else {
        ++inc;
        if (IS_OUTPUT) {
          for (printf("(%d)\n", inc), u = QUEENS + 1; --u; printf("\n"))
            for (t = QUEENS + 1; --t; ) k[t][u] ? printf("Q ") : printf("+ ");
          printf("\n\n\n");
        }
      }
      a[j] = b[j - i] = c[j + i] = k[i][j] = 0;
    }
}

int main(void) {
  lay(1);
  printf("%d皇后共计%d个解\n", QUEENS, inc);
  return 0;
}

以下列出尼克劳斯·维尔特的Pascal语言程序^[4]。此程序找出了八皇后问题的一个解。

program eightqueen1(output);
 
var i : integer; q : boolean;
    a : array[ 1 .. 8] of boolean;
    b : array[ 2 .. 16] of boolean;
    c : array[ -7 .. 7] of boolean;
    x : array[ 1 .. 8] of integer;
 
procedure try( i : integer; var q : boolean);
    var j : integer;
    begin 
    j := 0;
    repeat 
        j := j + 1; 
        q := false;
        if a[ j] and b[ i + j] and c[ i - j] then
            begin 
            x[ i    ] := j;
            a[ j    ] := false; 
            b[ i + j] := false; 
            c[ i - j] := false;
            if i < 8 then
                begin
                try( i + 1, q);
                if not q then
                    begin 
                    a[ j] := true; 
                    b[ i + j] := true; 
                    c[ i - j] := true;
                    end
                end 
            else 
                q := true
            end
    until q or (j = 8);
    end;
 
begin
for i :=  1 to  8 do a[ i] := true;
for i :=  2 to 16 do b[ i] := true;
for i := -7 to  7 do c[ i] := true;
try( 1, q);
if q then
    for i := 1 to 8 do write( x[ i]:4);
writeln
end.

使用回溯法进行求解八皇后问题

#include<stdio.h>

#define PRINTF_IN 1 //定义是否打印，1：打印，0：不打印

int queens(int Queens){
    int i, k, flag, not_finish=1, count=0;
    //正在处理的元素下标，表示前i-1个元素已符合要求，正在处理第i个元素
	int a[Queens+1];    //八皇后问题的皇后所在的行列位置，从1幵始算起，所以加1
    i=1;
    a[1]=1;  //为数组的第一个元素赋初值

    printf("%d皇后的可能配置是:",Queens);

    while(not_finish){  //not_finish=l:处理尚未结束
        while(not_finish && i<=Queens){  //处理尚未结束且还没处理到第Queens个元素
            for(flag=1,k=1; flag && k<i; k++) //判断是否有多个皇后在同一行
                if(a[k]==a[i])
                    flag=0;

            for (k=1; flag&&k<i; k++)  //判断是否有多个皇后在同一对角线
                if( (a[i]==a[k]-(k-i)) || (a[i]==a[k]+(k-i)) )
                    flag=0;

            if(!flag){  //若存在矛盾不满足要求，需要重新设置第i个元素
                if(a[i]==a[i-1]){  //若a[i]的值已经经过一圈追上a[i-1]的值
                    i--;  //退回一步，重新试探处理前一个元素

                    if(i>1 && a[i]==Queens)
                        a[i]=1;  //当a[i]为Queens时将a[i]的值置1
                    else
                        if(i==1 && a[i]==Queens)
                            not_finish=0;  //当第一位的值达到Queens时结束
                        else
                            a[i]++;  //将a[il的值取下一个值
                }else if(a[i] == Queens)
                    a[i]=1;
                else
                    a[i]++;  //将a[i]的值取下一个值
            }else if(++i<=Queens)
                if(a[i-1] == Queens )
                    a[i]=1;  //若前一个元素的值为Queens则a[i]=l
                else
                    a[i] = a[i-1]+1;  //否则元素的值为前一个元素的下一个值
        }

        if(not_finish){
            ++count;
			if(PRINTF_IN){
				printf((count-1)%3 ? "   [%2d]:" : "\n[%2d]:", count);
				
				for(k=1; k<=Queens; k++) //输出结果
                printf(" %d", a[k]); 
			}
   
            if(a[Queens-1]<Queens )
                a[Queens-1]++;  //修改倒数第二位的值
            else
                a[Queens-1]=1;

            i=Queens -1;    //开始寻找下一个满足条件的解
        }
    }
	return count;
}

int main()
{
	int Num ; 

	printf("输入一个N皇后数值：");
	scanf("%d" , &Num);
	printf("\n%d皇后有%d种配置\n",Num,queens(Num));
}

使用回溯法进行求解八皇后问题(Java版本)，可直接复制到 N-Queens - LeetCode （页面存档备份，存于互联网档案馆）测试。

class Solution {

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> results = new ArrayList<>();
        // 使用 char[][] 是为了展示结果时，直接使用 new String(char[])。
        // 一般情况下，使用 boolean[][] 即可。
        char[][] result = new char[n][n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                result[i][j] = '.';
            }
        }
        backtrack(results, result, 0);
        return results;
    }

    private static void backtrack(List<List<String>> results, char[][] result, int x) {
        for (int j = 0; j < result.length; ++j) {
            if (isValid(result, x, j)) {
                result[x][j] = 'Q';
                if (x == result.length - 1) {
                    showResult(results, result);
                    // 可以直接 break
                } else {
                    // 皇后问题中，不会出现一行出现多个，所以直接跳到下一行
                    backtrack(results, result, x + 1);
                }
                result[x][j] = '.';
            }
        }
    }

    private static boolean isValid(char[][] result, int x, int y) {
        // ... (0, y)
        // ... ......
        // ... (x-1, y)
        // ... (x, y)
        for (int i = 0; i < x; ++i) {
            if (result[i][y] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // ...
        // ... (x-1, y-1)
        // ... .......... (x, y)
        for (int i = x - 1, j = y - 1; i >= 0 && j >= 0; --i, --j) {
            if (result[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // ...
        // ... ...... (x-1, y+1)
        // ... (x, y)
        for (int i = x - 1, j = y + 1; i >= 0 && j < result.length; --i, ++j) {
            if (result[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    private static void showResult(List<List<String>> results, char[][] result) {
        List<String> list = new ArrayList<>(result.length);
        for (char[] value : result) {
            list.add(new String(value));
        }
        results.add(list);
    }

}

#include "iostream"
#include "cmath"
using namespace std;
 
#define Max 20      //定義棋盤的最大值 
int a[Max];
int show(int S)    //定義出函數
{
	int i,p,q;
	int b[Max][Max]={0};     //定義且初始化b[1][]輸出模組 
 
	for(i=1;i<=S;i++)    //按橫列順序輸出a[i]的座標 
	{
		b[i][a[i]]=1;
		printf("(%d,%d)\t",i,a[i]);
	}
	printf("\n");
	for(p=1;p<=S;p++)     //按棋盤的橫列的順序標明的位置
	{
		for(q=1;q<=S;q++)
		{
			if(b[p][q]==1)     //在第p行第q列放置一顆棋子  
				printf("x");
			else
				printf("o");  
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}
 
int check(int k)    //定義check函數 
{
	int i;
	for(i=1;i<k;i++)    
	{
		if((a[i]==a[k]) || (a[i]-a[k]==k-i)|| (a[i]-a[k]==i-k) )    //檢查是否有多顆棋子在同一個直行上
		{
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}
 
void check_m(int num)    //定義函數 
{
	int k=1,count=0;
	printf("N皇后問題的所有解(包含經由旋轉的解):\n");
	a[k]=1;
	while(k>0)
	{
		if(k<=num && a[k]<=num)    //從第k行第一列的位置開始，尋找之後的棋子的位置 
		{
			if(check(k)==0)    //第k行的a[k]列不能放置棋子
			{
				a[k]++;        //繼續試探該前行的下一列：a[k+1] 
			}
			else
			{
				k++;         //第K行的位置已經確定完畢，繼續尋找第k+1行棋子的位置
				a[k]=1;      //從第k+1的第一列開始查找
			}
		}
		else
		{
			if(k>num)     //若滿足輸出數組的要求就輸出該數組 
			{
				count++;
				printf("[%d]:  ",count);
				show(num);    //調用輸出函數show()
			}
			k--;      //棋子位置不符合要求則退回前一步
			a[k]++;   //繼續尋找下一列位置
		}
	}
	printf("總共有 %d \n",count,"個");
}
 
int main(void)
{
	int N,d;
	do
	{
		printf("                  N皇后問題的解(N<20)                  \n");

			printf("請輸入N的值：_");
			
			scanf("%d",&N);
			printf("\n");
			if(N>0&&N<20)
			{
				check_m(N);   
				break;
			}
			else
			{
				printf("輸入錯誤，請重新輸入");
				printf("\n\n");
				break; 
			}

		}
	while(1);
	system("pause");
	return 0;
}

大众文化

電腦游戲《第七訪客》中，伊格（Ego，玩家）在史陶夫的府邸的游戲室裏碰到的象棋問題正是八個皇后問題。^[5]^{（pp. 48-49,289-290）}

延伸阅读

Bell, Jordan; Stevens, Brett. A survey of known results and research areas for n-queens. Discrete Mathematics. 2009, 309 (1): 1–31. doi:10.1016/j.disc.2007.12.043.
Watkins, John J. Across the Board: The Mathematics of Chess Problems. Princeton: Princeton University Press. 2004. ISBN 978-0-691-11503-0.
O.-J. Dahl, E. W. Dijkstra, C. A. R. Hoare Structured Programming, Academic Press, London, 1972 ISBN 0-12-200550-3 see pp. 72–82 for Dijkstra's solution of the 8 Queens problem.
Allison, L.; Yee, C.N.; McGaughey, M. Three Dimensional NxN-Queens Problems. Department of Computer Science, Monash University, Australia. 1988 [2021-03-23]. （原始内容存档于2009-07-01）.
Nudelman, S. The Modular N-Queens Problem in Higher Dimensions. Discrete Mathematics. 1995, 146 (1–3): 159–167. doi:10.1016/0012-365X(94)00161-5.
Engelhardt, M. Der Stammbaum der Lösungen des Damenproblems (in German, means The pedigree chart of solutions to the 8-queens problem. Spektrum der Wissenschaft. August 2010: 68–71 [2022-02-19]. （原始内容存档于2013-01-28）.
On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
Wirth, Niklaus, Algorithms + Data Structures = Programs, Prentice-Hall Series in Automatic Computation (Prentice-Hall), 1976, Bibcode:1976adsp.book.....W, ISBN 978-0-13-022418-7
Wirth, Niklaus. The Eight Queens Problem. Algorithms and Data Structures (PDF). Oberon version with corrections and authorized modifications. 2004: 114–118 [updated 2012] [2021-03-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-17）.

參考資料

^ Watkins, John J. (2004). Across the Board: The Mathematics of Chess Problems. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11503-6
^ W. W. Rouse Ball（英语：W. W. Rouse Ball） (1960) The Eight Queens Problem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 165-171.
^ 奧利-約翰·達爾, 艾兹赫尔·戴克斯特拉, 東尼·霍爾 Structured Programming, Academic Press, London, 1972 ISBN 0-12-200550-3 see pp 72-82 for Dijkstra's solution of the 8 Queens problem.
^ Wirth, 1976, p. 145
^ DeMaria, Rusel. The 7th Guest: The Official Strategy Guide (PDF). Prima Games. 1993-11-15 [2021-04-22]. ISBN 978-1559584685. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-22）.

[1] Watkins, John J. (2004). Across the Board: The Mathematics of Chess Problems. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11503-6

[rouse_ball_1960-2] W. W. Rouse Ball（英语：W. W. Rouse Ball） (1960) The Eight Queens Problem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 165-171.

[3] 奧利-約翰·達爾, 艾兹赫尔·戴克斯特拉, 東尼·霍爾 Structured Programming, Academic Press, London, 1972 ISBN 0-12-200550-3 see pp 72-82 for Dijkstra's solution of the 8 Queens problem.

[4] Wirth, 1976, p. 145

[Guide_Book-5] DeMaria, Rusel. The 7th Guest: The Official Strategy Guide (PDF). Prima Games. 1993-11-15 [2021-04-22]. ISBN 978-1559584685. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-22）.

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