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测度：修订间差异

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第1行：
{{NoteTA |G1=Math}}
{{No footnotes|time=2021-05-23T09:25:59+00:00}}
[[File:Measure illustration.png|thumb|通俗的说，测度把每个具有[[单调性]]，如果[[集合映射到非负实 (数来规定这个学)|集合]]A是集合B的大小：空[[子集]]，那么集合A的测度是0；小于或等于集合变大时B的测度至少不会减小（因为要加上变大的部分。此外[[空集]]的测度，而它是非负为0。例如体积（物体所占据的空间的大小）就是一种测度。]]
 
在[[数学]]中，'''测度'''是一種將[[几何空間]]的[[度量]]（{{lang-en|Measure}}[[长度]]、[[面积]]、[[体积]]）在和其他常见概念（如[[数学大小]]、[[数学分析|分析质量]]里是指一个和[[函数事件]]，它对一个给定的[[集合 (數學)|集合概率]]）[[廣義化]]後產生的概念。传统的某些[[子集黎曼积分]]指定是在[[区间]]上进行的，為了把积分推广到更一个数。感官般的集合上，人們就发展出测度的概念相当于长度、面积、[[体积]]等。一个特别重要的例子是欧氏空间上的[[勒贝格测度]]，它把欧氏几何上传统的诸如长度、面积和体积等概念赋予從 <math>n</math> 维欧式空间 {{math|'''R'''<supmath>''{\R}^n''</supmath>}} 。例如出發，实数区间 [0, 1] 上的勒贝格测概括了傳統长度就是它显而易见、面积和体积等等的长度，即 1概念。
 
传统研究測度的學問被統稱為'''测度论'''，因為指定的數值通常是非負[[积分实数]]是在，所以测度论通常會被視為[[区间实分析]]上进行的，后来人们希望把积一个分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念支，它在[[数学分析]]和[[概率论]]有重要的地位。
 
==正式定义==▼
'''测度论'''是[[实分析]]的一个分支，研究对象有[[σ代数]]、测度、[[可测函数]]和[[积分]]，其重要性在[[概率论]]和[[统计学]]中都有所体现。
<!--
 
▲==定义==
<math>X</math>是個集合，定義在 <math>X</math>上的另一集合 <math>\mathcal{A}</math> ，<math>\mathcal A</math>中的元素是 <math>X </math>的子集合，而且是一個[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]，测度 <math>\mu </math>（详细的说法是'''可數可加的正测度'''）是個定義在 <math>\mathcal A</math> 上的函数，于<math>[0,\infty]</math>中取值，且满足以下性质：<!--
在測度論裡，也有把外測度叫測度的，待補充-->
{{math_theorem
|name=定義
|math_statement=
<math> (X,\,\Sigma) </math> 為[[可测空间]]，[[函数]] <math>\mu:\Sigma\to[0,\,\infty) </math> 若满足：
*<math> \mu(\varnothing) = 0 </math> (空集合的测度为零)
 
* '''非負可数可加性質'''( <math>\sigma</math>-可加性)： 若集合[[序列]] <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 對所有的不相等[[正整數]] <math>Ei\inneq \mathcal Aj</math>， 都有 <math>E_i\mu(E)cap E_j=\gevarnothing 0</math>，則
*'''空集合的测度为零'''：:<math> \mu\left(\varnothingbigcup_{n\in\N} E_n\right) = 0\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>，。
 
那 <math> \mu </math> 被稱為定義在 <math>\Sigma</math> 上的一個'''非負測度'''，或簡稱為'''測度'''。為了敘述簡便起見，也可稱 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 为一[[测度空间]]。
* '''可数可加性'''，或称 '''<math>\sigma</math>-可加性'''：若 <math>\{E_k\}_{k=1}^\infty</math> 为 <math>\mathcal{A}</math> 中可数个两两[[不交集|不相交]]元素的集合，換句話講，對所有 <math>E_i, E_j\in \{E_k\}_{k=1}^\infty</math>，<math>i\neq j</math> 有 <math>E_i\cap E_j=\varnothing </math>，則可得
}}
:<math> \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</math>。
直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]。
 
如果將 <math> \mu </math> 的值域擴展到[[複數]]，也就是說 <math>\mu:\Sigma\to\C </math> ，那 <math> \mu </math> 會被進一步稱為'''複數測度'''。<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=124-124}}</ref>
这样的三元组<math>(X, \mathcal{A}, \mu)</math>称为一个'''测度空间'''，而<math>\mathcal{A}</math> 中的元素称为这个空间中的'''可测集合'''。
 
=== 定義的分歧 ===
==性质==▼
若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成[[无穷大]]（如對 <math>{\R}^n</math> 本身取[[勒贝格测度]]），所以實際上不存在。但某些書籍<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=17-17}}</ref>會形式上將[[无穷大]]視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限[[实数]]值的測度稱為（非負）'''有限測度'''。但這樣"定義"，會造成可數可加性與[[極限 (數列)|數列收斂]]的定義產生矛盾。
 
所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義[[勒贝格测度]]），那就必須把[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]換成條件比較寬鬆的{{Link-en|半集合環|Semiring#Semiring_of_sets}}，然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的{{Link-en|前測度|Pre-measure}}。
下面的一些性质可从测度的定义导出：
 
更進一步的，如果對測度空間 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 來說，母集合 <math>X</math> 可表示為 <math>\Sigma</math> 內的某可測集合序列 <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 的[[并集]]：
 
:<math>X = \bigcup_{n\in\N} E_n</math>
 
且 <math> \mu </math> 只容許取有限值，則 <math> \mu </math> 會被進一步的稱為（非負）[[σ-有限测度]]。
 
▲==性质==
 
===单调性===
第43行 ⟶ 第56行：
这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
 
==σ-有限测度完备性==
{{math_theorem
{{main|σ-有限测度}}
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\Sigma,\,\mu) </math> 是[[测度空间]]，若<math>N \in \Sigma</math> 且 <math>\mu(N)=0\ </math>，则 <math>N</math> 被称为'''零测集'''（null set ）。
 
若所有'''零测集'''的子集都可测，则 <math>\mu </math> 称为'''完备的'''（complete）。
如果<math>\mu(X)\ </math>是一个有限实数（而不是<math>\infty</math>），则测度空间<math>(X, \mathcal{A}, \mu)</math>称为'''有限测度空间'''。非零的有限测度与[[概率测度]]类似，因为可以通过乘上比例因子<math>\frac{1}{\mu(X)}</math>进行归一化。如果<math>X\ </math>可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为'''<math>\sigma</math>-有限测度空间'''。如果测度空间中的一个集合<math>A\ </math>可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称<math>A\ </math>'''具有<math>\sigma</math>-有限测度'''。
}}
 
直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意测度可以按如下的定理擴展为完备测度：<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|url=https://archive.org/details/realcomplexanaly00rudi_0|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1974|isbn=0070542333|pages=[https://archive.org/details/realcomplexanaly00rudi_0/page/29 29]-29}}</ref>
作为例子，[[实数集]]赋以标准[[勒贝格测度]]是<math>\sigma</math>-有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑[[闭区间]][[集合_(数学)#定义|族]][k, k+1]，k取遍所有的[[整数]]；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的[[计数测度]]，即对实数集的每个[[有限集|有限]]子集，都把元素个数作为它的测度，至于[[无限集|无限]]子集的测度则令为<math>\infty</math>。这样的测度空间就不是<math>\sigma</math>-有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要[[不可数]]个有限测度集。<math>\sigma</math>-有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，<math>\sigma</math>-有限性可以类比于[[拓扑空间]]的[[可分性]]。
 
{{math_theorem
==完备性==
| math_statement = <br/>
对于一个可测集<math>N</math>，若<math>\mu(N)=0\ </math>成立，则称为'''零测集'''，其子集称为'''可去集'''。
<math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 是[[测度空间]]，若取：
 
:<math>\Sigma^\star
一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。
:=
\bigg\{
S \,\bigg|\,
(S \subseteq X)
\wedge
(\exists A)(\exists B)\{
(A,\, B \in \Sigma)
\wedge
(A \subseteq S \subseteq B)
\wedge
[\mu(B-A) = 0]
\}
\bigg\}
</math>
 
那 <math>\Sigma^\star</math> 是一個[[Σ-代数]]，此時若定義：
如果所有的可去集都可测，则称该测度为'''完备测度'''。
 
:<math>\mu^\star
一个测度可以按如下的方式[[延拓]]为完备测度：
:=
\bigg\{
\langle S,\,r \rangle \,\bigg|\,
(S \subseteq X)
\wedge
(\exists A)(\exists B)\{
(A,\, B \in \Sigma)
\wedge
(A \subseteq S \subseteq B)
\wedge
[\mu(B-A) = 0]
\wedge
[r = \mu(A)]
\}
\bigg\}
</math>
 
那 <math>\mu^\star </math> 是定義在 <math>\Sigma^\star</math> 上的完備測度，且有：
考虑<math>X</math>的所有与某个可测集<math>E</math>仅差一个可去集的子集<math>F</math>，可得到<math>E</math>与<math>F</math>的[[对称差]]包含于一个零测集中。
 
:<math>(\forall S \in \Sigma)[\mu^\star(S) = \mu(S)]</math>
由这些子集<math>F</math>生成的[[σ代数]]，并定义<math>\mu(F)=\mu(E)</math>，所得到的测度即为完备测度。
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
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|}
 
==例子==
检索自“https://zh.wikipedia.org/wiki/测度”