브라바 격자

기하학과 결정학에서, Auguste Bravais(1850)^[1]의 이름을 딴 Bravais 격자는 3차원 공간에서 기술된 이산 변환 연산 세트에 의해 생성된 이산 점들의 무한 배열이다.

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3

여기서 n은_i 정수이고_i a는 서로 수직이 아닌 다른 방향으로 놓여 있는 원시 변환 벡터 또는 원시 벡터이며 격자에 걸쳐 있습니다.주어진 Bravais 격자에 대한 원시 벡터의 선택은 고유하지 않습니다.Bravais 격자의 기본적인 측면은 선택한 방향을 볼 때 각각의 이산 격자점에서 격자가 정확히 동일하게 나타난다는 것이다.

Bravais 격자 개념은 결정 배열과 그 (유한) 경계를 공식적으로 정의하기 위해 사용됩니다.결정체는 각각의 격자점에서 기초 또는 모티브라고 불리는 하나 이상의 원자로 구성되어 있다.기초는 고체 물질의 원자, 분자 또는 고분자 끈으로 구성될 수 있으며, 격자는 기초의 위치를 제공한다.

두 개의 Bravais 격자가 동형 대칭 그룹을 갖는 경우 종종 동등하다고 간주됩니다.이러한 의미에서 2차원 공간에는 5개의 가능한 Bravais 격자가 있고 3차원 공간에는 14개의 가능한 Bravais 격자가 있다.Bravais 격자의 14개의 가능한 대칭 그룹은 230개의 공간 그룹 중 14개이다.공간 그룹 분류의 맥락에서 브라바 격자는 브라바이스 클래스, 브라바이스 산술 클래스 또는 브라바이스 ^[2]그룹이라고도 불린다.

단위 셀

결정학에서는 인접한 격자점 사이의 공간뿐만 아니라 그 공간 내의 모든 원자를 포함하는 단위 셀의 개념이 있다.단위 셀은 R $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ 1 $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ 1 + $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ a $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ + $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ a $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $R$ } = $n_{1}$ \ $mathbf {a$ } _ { $1}$ \ mathbf { $a}$ _ {2} \ $mathbf$ {a} $_$ { $2}$ + $n_n_3$ 으로 기술된 모든 벡터의 서브셋을 통해 변환되는 공간으로 정의된다. $}\mathbf {a} _{$ 3 $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ 은 겹치거나 공백이 없는 격자 공간을 채웁니다(즉, 격자 공간은 단위 ^[3]셀의 배수입니다).단위 세포에는 주로 원시 단위 세포와 재래식 단위 세포 두 종류가 있습니다.원시 셀은 격자(또는 결정)의 가장 작은 구성 요소로, 격자 변환 연산과 함께 쌓이면 격자(또는 결정)^[4] 전체를 재현합니다.변환은 격자 변환 연산이어야 하며 변환 후에도 격자가 변경되지 않습니다.임의의 번역이 허용되면 실제 크기의 절반 크기의 원시 셀을 만들 수 있으며, 예를 들어 두 배의 빈도로 번역할 수 있습니다.격자 변환 연산을 호출하지 않는 원시 셀의 크기를 정의하는 또 다른 방법은 원시 셀이 전체 격자(또는 결정)를 재현하기 위해 반복될 수 있는 격자(또는 결정)의 최소 가능한 구성요소이며, 정확히 하나의 격자 점을 포함하는 것이라고 말하는 것입니다.어느 정의에서든 원시 세포는 작은 크기로 특징지어진다.쌓았을 때 전체 격자를 재현할 수 있는 셀의 선택지가 분명히 많이 있으며(예를 들어 두 개의 격자 반쪽), 최소 크기 요구사항은 원시 셀을 다른 모든 유효한 반복 단위와 구별합니다.격자 또는 결정이 2차원일 경우 원시 셀은 최소 면적을 가지며, 3차원일 경우 원시 셀은 최소 체적을 갖습니다.이러한 엄격한 최소 크기 요건에도 불구하고 원시 단위 셀에는 고유한 선택지가 없습니다.사실, 테두리가 원시 번역 벡터인 모든 세포는 원시 단위 세포가 될 것입니다.주어진 격자에 대한 원시 변환 벡터의 고유한 선택이 없다는 사실은 가능한 원시 단위 셀의 다양성으로 이어집니다.반면 기존 단위 셀은 최소 크기의 셀이 아닙니다.이들은 순전히 편의상 선택되며 종종 일러스트레이션 목적으로 사용됩니다.그것들은 느슨하게 정의되어 있다.

원시 단위 셀은 주어진 결정에서 가장 작은 부피를 가진 단위 셀로 정의됩니다.(결정은 격자이며 모든 격자점의 기초입니다.)가장 작은 셀 부피를 가지려면 원시 단위 셀은 (1) 하나의 격자점과 (2) 최소의 염기 성분(예를 들어, 기초 내 원자의 최소 수)을 포함해야 한다.전자의 요건의 경우, 단위 셀의 격자 점 수를 계수하는 것은 격자 점을 그 격자점 주위에 m개의 인접한 단위 셀이 공유하는 경우, 그 점은 1/m으로 계수된다.격자 및 베이스의 둘 이상의 조합으로 설명할 수 있는 결정이 있기 때문에 후자의 요건이 필요하다.예를 들어, 결정체는 모든 격자점에 위치한 단일 종류의 원자를 가진 격자(가장 단순한 기저 형태)로 볼 수 있으며, 두 개의 원자를 가진 격자라고도 볼 수 있다.이 경우, 원시 단위 셀은 최소 단위 셀 부피를 확보하기 위해 결정을 기술하는 첫 번째 방법으로 하나의 격자점만을 가진 단위 셀이다.

주어진 결정을 위해 원시 셀을 선택하는 방법 이상의 것이 있을 수 있고 각각의 선택은 다른 원시 셀 형태를 가질 것입니다, 그러나 원시 셀의 부피는 모든 선택에서 동일하고 각각의 선택은 원시 단위 셀과 이산 격자점 사이에 일대일 대응이 확립될 수 있는 특성을 가질 것입니다.연관 격자주어진 결정의 다른 모양을 가진 모든 원시 단위 셀은 정의상 부피가 같다. 주어진 결정의 경우, n이 최소 기저 성분량을 보장하는 격자 점의 밀도이고 v가 선택된 원시 셀의 부피라면, nv = 1이 되고, 따라서 모든 원시 셀은 v = 1/n이 된다.e의 1/n.^[3]

주어진 결정에 대해 가능한 모든 원시 셀 중에서 명백한 원시 셀은 선택된 원시 번역 벡터에 의해 형성된 평행입방체일 수 있다. (다시 말하지만, 이들 벡터는 최소의 기저 성분으로 격자를 만들어야 한다.)^[3]즉, 모든 $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ 의 집합 r $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ x $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ + $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ 2 + x $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ {\ $displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2$ $}\mathbf {a} _{2}+x_{3$ $}\mathbf {a} _{$ 3 $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ } $0\leq x_{i}<1$ 서 0 $0\leq x_{i}<1$ ≤ $0\leq x_{i}<1$ $0\leq x_{i}<1$ < 1 \ $\mathbf {a} _{i}$ $displaystyle 0$ \ $leq x$ _ { i } $\mathbf {a} _{i}$ $0\leq x_{i}<1$ i $0\leq x_{i}<1$ \ displaystyle \ $mathbf$ { $a }$ { i $\mathbf {a} _{i}$ }는 $선택$ 된 원시 벡터입니다.이 원시 세포는 주어진 결정의 명확한 대칭을 항상 보여주지는 않는다.이 경우 결정대칭을 표시하기 쉬운 종래의 단위셀을 사용하는 경우가 많다.기존의 단위 셀 부피는 원시 단위 셀 부피의 정수 배수가 됩니다.

개념의 기원

2차원에서는 임의의 격자는 2개의 원시 변환 벡터의 길이와 그 사이의 각도로 특정할 수 있다.이런 식으로 설명할 수 있는 격자는 무궁무진하다.다양한 유형의 격자를 분류하는 방법이 필요합니다.이를 위한 한 가지 방법은 일부 격자가 고유한 대칭을 가지고 있다는 것을 인식하는 것입니다.원시 번역 벡터의 길이와 그 사이의 각도에 조건을 붙여 다양한 대칭 격자를 만들 수 있다.이러한 대칭 자체는 미러 대칭, 반전 대칭, 회전 대칭, 변환 대칭 등 다양한 유형으로 분류됩니다.이러한 대칭의 특정 조합(예: 이중 회전 대칭 및 거울 대칭)을 점 그룹이라고 합니다.따라서 격자는 적용되는 점 그룹에 따라 분류할 수 있습니다.가장 기본적인 점 그룹은 2µ 및 θ 미만의 회전 불변성 또는 1배 및 2배 회전 대칭에 해당합니다.이것은 실제로 모든 2차원 격자에 자동으로 적용되며 가장 일반적인 점 그룹입니다.이 그룹에 포함된 격자(기술적으로는 모든 격자, 그러나 일반적으로 다른 점 그룹에 속하지 않는 모든 격자)를 경사 격자라고 합니다.여기서부터 2차원에는 정사각형, 육각형, 직사각형 및 중심 직사각형 등 나머지 4개의 격자 카테고리에 대응하는 4개의 점 그룹(또는 원시 변환 벡터의 길이/각도에 대한 4가지 제한 유형)이 더 있습니다.따라서 총 5개의 Bravais 격자가 2차원에 있습니다.마찬가지로, 3차원에는 14개의 Bravais 격자가 있습니다. 즉, 1개의 일반 "휴지통" 범주(트리클린)와 13개의 범주가 있습니다.이러한 14개의 격자 유형은 편의상 7개의 격자 시스템(삼각형, 단사각형, 직교형, 사각형, 입방형, 삼각형 및 육각형)으로 그룹화됩니다.

2차원

2차원 공간에는 아래 표에 표시된 바와 같이 ^[5]4개의 격자 시스템으로 그룹화된 5개의 Bravais 격자가 있습니다.각 다이어그램 아래에는 해당 Bravais 격자에 대한 Pearson 기호가 있습니다.

주의: 다음 표의 단위 셀 다이어그램에서는 검은색 원을 사용하여 격자 점을 나타내고 검은색으로 표시된 평행사변형(사각형 또는 직사각형일 수 있음)을 사용하여 단위 셀을 나타냅니다.각 평행사변형의 네 모서리는 격자점에 연결되어 있지만, 기술적으로 네 개의 격자점 중 하나만 주어진 단위 셀에 속하고 나머지 세 개의 격자점은 인접한 단위 셀 중 하나에 속합니다.이는 단위 셀 평행 사변형을 격자 점의 검은색 원을 모두 고정시킨 상태에서 약간 왼쪽 및 약간 아래로 이동한다고 상상하면 알 수 있습니다.

격자계	점군 (Schönflys 표기법)	브라바 격자 5개
격자계	점군 (Schönflys 표기법)	원시(p)	중심(c)
단사정계(m)	C₂.	비스듬히 (mp)
정형외과(o)	D₂.	직사각형 (op)	중심 직사각형 (oc)
사각형(t)	D₄.	광장 (tp)
육각형(h)	D₆.	육각형 (hp)

단위 셀은 셀 엣지의 상대적인 길이(a, b)와 그 사이의 각도(θ)에 따라 지정됩니다.단위 셀의 면적은 표준 a × b를 평가하여 계산할 수 있습니다. 여기서 a와 b는 격자 벡터입니다.격자 시스템의 특성은 다음과 같습니다.

격자계	지역	축 거리(엣지 길이)	축각
단사정계	$ab,\sin \theta$
정형외과	$ab$		θ = 90°
사각형	$a^{2}$	a = b	θ = 90°
육각형	$(\displaystyle\frac{3}}{2}},a^{2}})$	a = b	θ = 120°

3차원

다이아몬드 입방체 격자의 2×2×2 단위 셀

3차원 공간에는 14개의 브라바 격자가 있다.이 값은 7개의 격자 시스템 중 하나와 센터링 유형 중 하나를 결합하여 얻습니다.센터링 유형은 다음과 같이 단위 셀에서 격자 점의 위치를 식별합니다.

프리미티브(P): 셀 모서리만의 격자점(단순이라고도 함)
베이스 중심(S: A, B 또는 C): 셀의 1쌍의 평행한 면의 각 면 중앙에 1개의 추가점이 있는 셀 모서리 격자점(종단 중심이라고도 함)
본체 중심(I): 셀 모서리 격자점, 셀 중심에 추가점 1개 있음
면중심(F): 셀의 각 면 중앙에 1개의 추가점이 있는 셀 모서리의 격자점

격자 시스템과 센터링 유형의 모든 조합이 가능한 모든 격자를 설명하는 데 필요한 것은 아니며, 이들 중 여러 격자가 실제로 서로 동등하다는 것을 보여줄 수 있다.예를 들어 단사정 I 격자는 결정축의 선택에 따라 단사정 C 격자로 기술할 수 있다.마찬가지로 모든 A 중심 또는 B 중심 격자는 C 중심 또는 P 중심 중 하나로 설명할 수 있다.이것에 의해,^[6]^{: 744} 아래 표에 나타나 있듯이, 기존의 Bravais 격자의 수가 14개로 감소합니다.각 다이어그램 아래에는 해당 Bravais 격자에 대한 Pearson 기호가 있습니다.

주: 다음 표의 단위 셀 다이어그램에는 셀 경계상의 모든 격자점(모서리 및 면)이 표시되지만, 이들 격자점이 모두 특정 단위 셀에 속하는 것은 아닙니다.이는 격자점을 고정시킨 상태에서 단위 셀을 각 축의 음의 방향으로 약간 이동한다고 상상하면 알 수 있다.대략적으로 말하면 유닛 셀을 약간 왼쪽으로, 약간 아래로, 약간 화면 밖으로 이동시키는 것으로 생각할 수 있습니다.이는 8개의 모서리 격자점(특히 전면, 좌측, 하단) 중 하나만 주어진 단위 셀에 속함을 나타냅니다(다른 7개의 격자점은 인접한 단위 셀에 속함).또한 Base-center 컬럼의 상단 및 하단 면에 표시된 두 개의 격자점 중 하나만 지정된 단위 셀에 속합니다.마지막으로 면 중심 열의 면 6개 격자점 중 3개만 지정된 단위 셀에 속합니다.

크리스탈 패밀리	격자계	점군 (Schönflys 표기법)	브라바 격자 14개
크리스탈 패밀리	격자계	점군 (Schönflys 표기법)	프리미티브(P)	베이스 중심(S)	신체중심(I)	얼굴 중심(F)
삼사정어(a)		C_i.	aP
단사정계(m)		C_2h.	mP	씨
정형외과(o)		D_2h.	oP	os	oI	oF
사각형(t)		D_4h.	tP		tI
육각형(h)	마름모꼴	D_3d.	hR
육각형(h)	육각형	D_6h.	hP
큐빅(c)		오_h	cP		cI	cF

단위 셀은 셀 가장자리의 상대적 길이(a, b, c)와 그 사이의 각도(α, β, θ)인 6개의 격자 매개변수에 따라 지정됩니다.단위 셀의 부피는 삼중곱 a · (b × c)을 평가하여 계산할 수 있으며, 여기서 a, b, c는 격자 벡터이다.격자 시스템의 특성은 다음과 같습니다.

크리스탈 패밀리	격자계	용량	축 거리(엣지 길이)^[6]^{: 758}	축각^[6]	대응하는 예
삼사정어		$({displaystyle abc ^1-\cos ^{2}\cos ^{2}\cos ^{2}\cos +2\cos \cos \cos \cos \cos })$			KCrO₂₂₇, CuSO₄, 5HO₂, HBO₃₃
단사정계		$abc,\sin \sin$		α = β = 90°	단사정계 황, NaSO₂₄·10H₂O, PbCrO₃
정형외과		$(\displaystyle abc\)$		α = β = β = β = 90°	마름모꼴 황, KNO₃, BaaS₄
사각형		$a^{2}c$	a = b	α = β = β = β = 90°	화이트 주석, SnO₂, TiO₂, CaSO₄
육각형	마름모꼴	$a^{3}{1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }$	a = b = c	α = β = β	칼사이트(CaCO₃), 시나바르(HgS)
육각형	육각형	$(\displaystyle\frac{3}}{2}},a^{2}c)$	a = b	α = β = 90°,γ = 120°	흑연, ZnO, CdS
큐빅		$a^{3}$	a = b = c	α = β = β = β = 90°	NaCl, 아연 블렌드, 구리 금속, KCl, 다이아몬드, 실버

4차원

4차원에는 64개의 브라바 격자가 있습니다.이 중 23개는 원시이고 41개는 중심이다.10개의 브라바 격자가 에난티오모픽 ^[7]쌍으로 분할되었습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Historical Introduction". International Tables for Crystallography. A1 (1.1): 2–5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170. doi:10.1107/97809553602060000537. Archived from the original on 2013-07-04. Retrieved 2008-04-21.
^ "Bravais class". Online Dictionary of Crystallography. IUCr. Retrieved 8 August 2019.
^ ^a ^b ^c Ashcroft, Neil; Mermin, Nathaniel (1976). Solid State Physics. Saunders College Publishing. pp. 71–72. ISBN 0030839939.
^ Peidong Yang (2016). "Materials & Solid State Chemistry (course notes)" (PDF). UC Berkeley. Chem 253.{{cite web}}: CS1 maint :url-status (링크)
^ Kittel, Charles (1996) [1953]. "Chapter 1". Introduction to Solid State Physics (Seventh ed.). New York: John Wiley & Sons. p. 10. ISBN 978-0-471-11181-8. Retrieved 2008-04-21.
^ ^a ^b ^c Hahn, Theo, ed. (2002). International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. International Tables for Crystallography. Vol. A (5th ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7.
^ Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

추가 정보

Bravais, A. (1850). "Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace" [Memoir on the systems formed by points regularly distributed on a plane or in space]. J. École Polytech. 19: 1–128. (영어: 회고록 1, 1949년 미국 결정학회).

외부 링크

격자 카탈로그 (Nebe와 Sloane)
Smith, Walter Fox (2002). "The Bravais Lattices Song".

[1] Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Historical Introduction". International Tables for Crystallography. A1 (1.1): 2–5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170. doi:10.1107/97809553602060000537. Archived from the original on 2013-07-04. Retrieved 2008-04-21.

[2] "Bravais class". Online Dictionary of Crystallography. IUCr. Retrieved 8 August 2019.

[:0-3] Ashcroft, Neil; Mermin, Nathaniel (1976). Solid State Physics. Saunders College Publishing. pp. 71–72. ISBN 0030839939.

[4] Peidong Yang (2016). "Materials & Solid State Chemistry (course notes)" (PDF). UC Berkeley. Chem 253.{{cite web}}: CS1 maint :url-status (링크)

[5] Kittel, Charles (1996) [1953]. "Chapter 1". Introduction to Solid State Physics (Seventh ed.). New York: John Wiley & Sons. p. 10. ISBN 978-0-471-11181-8. Retrieved 2008-04-21.

[Hahn-6] Hahn, Theo, ed. (2002). International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. International Tables for Crystallography. Vol. A (5th ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7.

[7] Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

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