Công thức Viète

Trong toán học, công thức Viète là một công thức tích vô hạn biểu diễn giá trị của hai lần nghịch đảo hằng số toán học $π$ : ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$ Ngoài ra, công thức này cũng có thể được biểu diễn bằng kí hiệu tích vô hạn: ${\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}$

Nhà toán học người Pháp François Viète công bố công thức vào năm 1593, và công thức này được đặt theo tên ông.^[1] Công thức Viète biểu diễn một hằng số bằng một chuỗi các phép tính dài vô hạn,^[2] nó cũng có thể biểu thị ý nghĩa chặt chẽ về mặt giới hạn,^[3] và cũng đánh dấu sự khởi đầu của giải tích toán học. Công thức này có một tốc độ hội tụ xác định, để từ đó có thể được sử dụng để tính số $π$ ,^[4] tuy nhiên các phương pháp trước và sau khi công thức này ra đời lại có độ chính xác cao hơn. Công thức này cũng được sử dụng để tính toán sự chuyển động của hệ các lò xo kèm với khối lượng,^[5] ngoài ra cũng đóng vai trò như một ví dụ để thúc đẩy sự xuất hiện khái niệm độc lập thống kê.

Công thức Viète có thể được coi như một kết quả của chuỗi lồng nhau của cả chu vi và diện tích của một đa giác đều trong quá trình suy biến trở thành đường tròn. Cũng bằng việc sử dụng liên tục các công thức nhân đôi góc của lượng giác để suy ra các công thức tổng quát, Leonhard Euler đã thu được công thức Viète như một trường hợp đặc biệt của các công thức tổng quát nêu trên.

Dẫn nhập

François Viète (sinh năm 1540, mất năm 1603) là một luật sư người Pháp, làm việc trong viện cơ mật cho hai đời vua Pháp và là một nhà toán học nghiệp dư. Ông lần đầu tiên công bố công thức Viète vào năm 1593 trong công trình nghiên cứu Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (dịch từ tiếng Latinh: Đáp án cho các vấn đề toán học, cuốn VIII). Trong thời gian này, các phương pháp nhằm tính xấp xỉ số $π$ với độ chính xác khác nhau đã được biết đến rộng rãi. Phuơng pháp riêng của Viète có thể được coi như một lối tư duy khác cho ý tưởng của Archimedes của việc tính xấp xỉ chu vi một đường tròn bằng việc sử dụng đa giác đều nhiều cạnh.^[1] Ý tưởng này Archimedes đã giúp tìm được chặn giá trị của số $π$ :^[6]

${\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.$ Bằng việc công bố phương pháp tính của mình dưới dạng một công thức toán học, Viète lần đầu tiên đưa ra một ví dụ mà ngày nay được định nghĩa là tích vô hạn trong toán học,^[7]^[8] và cũng là ví dụ đầu tiên mà một công thức cụ thể có thể tính toán giá trị chính xác của số $π$ .^[9]^[10] Lần đầu tiên nền toán học châu Âu có một công thức mà một số được thể hiện bằng kết quả của một chuỗi các phép tính vô hạn.^[11] Eli Maor đã coi công thức Viète như dấu mốc khởi đầu cho giải tích toán học,^[2] trong khi Jonathan Borwein gọi sự xuất hiện của công thức này là "buổi bình minh của toán học hiện đại" (the dawn of modern mathematics).^[12]

Viète sử dụng công thức của chính mình để tính toán số $π$ chính xác tới 9 chữ số thập phân sau dấu phẩy.^[4] Tuy nhiên, đây lại không phải là phép xấp xỉ số pi có độ chính xác cao nhất tại thời điểm đó, khi mà nhà toán học người Ba Tư Jamshid al-Kashi đã tính số $π$ chính xác tới 16 chữ số thập phân sau dấu phẩy, tức là 9 chữ số nếu tính theo hệ lục thập phân vào năm 1424.^[12] Không lâu sau khi Viète công bố công thức của mình, Ludolph van Ceulen cũng đã sử dụng một phương pháp gần tương tự với công thức của Viète để tính toán số $π$ chính xác tới 35 chữ số. Phương pháp tính này chỉ được công bố sau khi Ceulen qua đời vào năm 1610.^[12]

Công thức Viète không chỉ quan trọng về mặt toán học hay lịch sử toán học, mà còn có thể được sử dụng để giải thích cho sự tán sắc trong một hệ có vô số lò xo với khối lượng cho trước, để từ đó sự xuất hiện của số $π$ làm tiền đề để giải thích giới hạn để một vận tốc pha thay đổi tính chất của nó.^[5] Thêm vào đó, một hệ quả được dẫn xuất từ công thức Viète là kết quả của phép toán với các số nguyên xuất hiện trong hệ Rademacher, từ đó giúp đưa ra các ví dụ nhằm định nghĩa khái niệm về độc lập thống kê.^[13]

Sự hội tụ của công thức Viète

Công thức Viète có thể được biểu diễn dưới dạng kết quả của một phép tính giới hạn^[3] $\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}$ mà ở đó dãy số ${a}_{n}$ được cho bởi công thức truy hồi ${\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}$

Với mỗi giá trị $n$ xác định, biểu thức giới hạn là một phép tính hữu hạn các nhân tử, tuy nhiên khi $n$ tiến dần tới vô cùng, kết quả giới hạn này càng ngày càng gần hơn tới kết quả của công thức Viète. François Viète đã nghiên cứu công thức Viète trước cả khi khái niệm về giới hạn và các chứng minh về sự hội tụ trong toán học ra đời; khi mà chứng minh đầu tiên cho việc tồn tại giới hạn nêu trên mới được tìm ra lần đầu tiên trong nghiên cứu của Ferdinand Rudio vào năm 1891.^[1]^[14]

Đồ thị so sánh tốc độ hội tụ của công thức Viète (được đánh dấu đỏ) và các chuỗi vô hạn trong lịch sử được sử dụng để tính số

π

, với

S_{n}

là xấp xỉ sau khi thực hiện phép tính với

n

biểu thức. Từ phải qua trái, chiều ngang của mặt phẳng đồ thị được phóng đại lên thêm 10 lần.

Tốc độ hội tụ của một phép tính giới hạn có liên quan mật thiết tới số lượng biểu thức tham gia phép tính để đạt được một độ chính xác nhất định về mặt số chữ số trong một phép tính. Đối với công thức Viète, số lượng nhân tử và số chữ số tỉ lệ thuận với nhau, và kết quả của công thức Viète cho $n$ nhân tử đầu tiên cho ra xấp xỉ số $π$ với sự chính xác cho 0,6 $n$ chữ số.^[4]^[15] Tốc độ hội tụ này khá tương đồng với kết quả Wallis – một công thức cũng sử dụng tích vô hạn để tìm kiếm công thức tính số $π$ ra đời vào năm 1656. Mặc dù công thức của bản thân Viète được chính ông sử dụng để tính số $π$ với độ chính xác là chín chữ số sau dấu phẩy, một dẫn xuất khác với tốc độ hội tụ nhanh hơn được sử dụng để tính $π$ tới khoảng vài nghìn chữ số.^[4]

Công thức liên quan

Công thức Viète có thể được coi như một trường hợp đặc biệt cho công thức liên quan tới hàm sinc. Nhà toán học Leonhard Euler được cho là người tìm ra^[16] công thức này hơn một thế kỷ sau đó:^[1]

${\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots$

Thay $x = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2$ vào công thức này, ta có:^[17]

${\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots$

Sau đó, biểu diễn từng nhân tử ở vế phải sử dụng công thức nhân đôi góc:

$\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$ cho ta công thức Viète.^[9]

Ta cũng có thể thu được từ công thức Viète một công thức biểu thị trực tiếp giá trị của số $π$ với vô số các căn bậc hai chữa số 2, nhưng chỉ sử dụng duy nhất một phép nhân:^[18]

$\pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{\text{ dấu căn bậc hai}}},$

Công thức này có thể được thu gọn lại dưới dạng dãy số:

${\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}}\\[5px]a_{1}&=0\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}$ Nhiều công thức cho số $π$ và các hằng số khác như tỷ lệ vàng cũng có dạng công thức giống với công thức Viète khi sử dụng việc lồng các căn thức bậc hai hoặc các chuỗi vô hạn các công thức lượng giác.^[8]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]

Nguồn gốc

Một chuỗi các đa giác đều có số cạnh là lũy thừa của 2 nội tiếp một đường tròn. Tỉ lệ giữa diện tích hoặc chu vi của đa giác khi số cạnh tăng dần cho công thức dưới dạng công thức Viète

Viète thu được công thức này khi so sánh diện tích của các đa giác đều với số cạnh lần lượt là $2 n$ và $2 n + 1$ cùng nội tiếp một đường tròn.^[1]^[2] Tỉ lệ đầu tiên khi so sánh diện tích của một hình vuông và một hình bát giác là $\sqrt 2 / 2$ – cũng chính là nhân tử đầu tiên trong công thức Viète, nhân tử thứ hai thu được khi so sánh một hình bát giác với một hình 16 cạnh. Theo đó, chuỗi nhân tử này lồng nhau liên tục để cho ra tỉ lệ diện tích giữa hình vuông (đa giác đều đầu tiên) và đường tròn (trường hợp giới hạn của một đa giác có $2 n$ cạnh). Ngoài ra, các nhân tử xuất hiện trong chuỗi phép nhân vô hạn cũng thể hiện tỉ lệ của chu vi chuỗi đa giác như cách lập luận trên.^[25]

Một cách khác để thu được công thức Viète được dựa trên các đẳng thức lượng giác và công thức Euler. Bằng việc liên tục sử dụng công thức nhân đôi góc

$\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},$

dẫn tới việc đưa ra một chứng minh bằng phép quy nạp rằng với mọi số nguyên $n$ ,

$\sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).$

Biểu thức $2 n sin x / 2 n$ tiến dần tới $x$ khi mà $x$ trong phép giới hạn tiến dần tới dương vô cùng. Bằng việc thay $x = π / 2$ sẽ cho ra được công thức Viète.^[9]^[13]

Xem thêm

Tham khảo

^ ^a ^b ^c ^d ^e Beckmann, Petr (1993). A history of [pi] (pi) . New York: Barnes & Noble. tr. 94–95. ISBN 0-88029-418-3. OCLC 28616481.
^ ^a ^b ^c Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press. tr. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7. OCLC 769343155.
^ ^a ^b Eymard, Pierre (2004). The number [pi]. J. P. Lafon. Providence, R.I.: American Mathematical Society. tr. 44–46. ISBN 0-8218-3246-8. OCLC 53434668.
^ ^a ^b ^c ^d Kreminski, Rick (tháng 6 năm 2008). “π to Thousands of Digits from Vieta's Formula”. Mathematics Magazine (bằng tiếng Anh). 81 (3): 201–207. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549. ISSN 0025-570X.
^ ^a ^b Cullerne, J P; Dunn Goekjian, M C (tháng 1 năm 2012). “Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula”. Physics Education. 47 (1): 87–91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87. ISSN 0031-9120.
^ Beckmann, Petr (1993). A history of [pi] (pi) . New York: Barnes & Noble. tr. 67. ISBN 0-88029-418-3. OCLC 28616481.
^ De Smith, Michael John (2006). Maths for the mystified : an exploration of the history of mathematics and its relationship to modern-day science and computing. Leicester, U.K.: Matador. tr. 165. ISBN 978-1-905237-81-4. OCLC 123080375.
^ ^a ^b Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (tháng 10 năm 2013). “On Viète-like formulas”. Journal of Approximation Theory (bằng tiếng Anh). 174: 90–112. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006.
^ ^a ^b ^c Morrison, Kent E. (tháng 10 năm 1995). “Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums”. The American Mathematical Monthly. 102 (8): 716. doi:10.2307/2974641.
^ Oldham, Keith B. (2009). An atlas of functions : with Equator, the atlas function calculator. Jan C. Myland, Jerome Spanier, Jerome Preceded by: Spanier. New York, NY. tr. 15. ISBN 978-0-387-48807-3. OCLC 656394964.
^ Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton: Princeton University Press. tr. 221–234. ISBN 978-1-4008-3407-5. OCLC 650305544.
^ ^a ^b ^c Borwein, Jonathan M. (2014), Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen (biên tập), “The Life of π: From Archimedes to ENIAC and Beyond”, From Alexandria, Through Baghdad (bằng tiếng Anh), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, tr. 531–561, doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24, ISBN 978-3-642-36735-9, truy cập ngày 27 tháng 1 năm 2023
^ ^a ^b Dajani, Karma (2002). Ergodic theory of numbers. Cor Kraaikamp. [Washington, DC]. tr. 1–12. ISBN 978-1-61444-027-7. OCLC 877868949.
^ Abidoye, Rotimi Boluwatife; Chan, Albert P.C. (4 tháng 7 năm 2016). “Critical determinants of residential property value: professionals' perspective”. Journal of Facilities Management. 14 (3): 283–300. doi:10.1108/jfm-02-2016-0003. ISSN 1472-5967.
^ Osler, T. J. (15 tháng 1 năm 2007). “A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (bằng tiếng Anh). 38 (1): 136–142. doi:10.1080/00207390601002799. ISSN 0020-739X.
^ Trong nghiên cứu của Leonhard Euler vào năm 1738: variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi^{[liên kết hỏng]} - Về các phương pháp khác nhau để biểu thị cầu phương, công thức hàm sinc là công thức cuối cùng trong nghiên cứu đó. Một công thức tương tự cũng xuất hiện trong một nghiên cứu vào năm 1783: observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes^{[liên kết hỏng]} - Các góc nhìn khác nhau về góc với cấp số nhân
^ Wilson, Robin J. (2018). Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics (PDF) . Oxford, United Kingdom. tr. 57–58. ISBN 9780198794929. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 20 tháng 9 năm 2022. Truy cập ngày 27 tháng 1 năm 2023.
^ Servi, L. D. (tháng 4 năm 2003). “Nested Square Roots of 2”. The American Mathematical Monthly. 110 (4): 326. doi:10.2307/3647881.
^ Servi, L. D. (tháng 4 năm 2003). “Nested Square Roots of 2”. The American Mathematical Monthly. 110 (4): 326. doi:10.2307/3647881.
^ Nyblom, M.A. (1 tháng 4 năm 2012). “Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals”. Rocky Mountain Journal of Mathematics. 42 (2): 751–758. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-751. ISSN 0035-7596.
^ Levin, Aaron (1 tháng 6 năm 2006). “A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant”. The American Mathematical Monthly (bằng tiếng Anh). 113 (6): 510. doi:10.2307/27641976.
^ Levin, Aaron (tháng 12 năm 2005). “A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for π”. The Ramanujan Journal (bằng tiếng Anh). 10 (3): 305–324. doi:10.1007/s11139-005-4852-z. ISSN 1382-4090.
^ Stolarsky, Kenneth (1 tháng 7 năm 1980). “Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products”. Pacific Journal of Mathematics (bằng tiếng Anh). 89 (1): 209–227. doi:10.2140/pjm.1980.89.209. ISSN 0030-8730.
^ F. S. M.; E. H. N.; Anderson, W. C. F. (tháng 10 năm 1930). “W. J. Greenstreet”. The Mathematical Gazette (bằng tiếng Anh). 15 (209): 181–185. doi:10.1017/S0025557200137258. ISSN 0025-5572.
^ Rummler, Hansklaus (tháng 11 năm 1993). “Squaring the Circle with Holes”. The American Mathematical Monthly. 100 (9): 858. doi:10.2307/2324662.

Liên kết ngoài

Tác phẩm Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (công bố lần đầu năm 1593) của François Viète trên nền tảng Google Books. Công thức Viète nằm ở nửa sau của trang 30.

"Công thức Viète" là một bài viết tốt của Wikipedia tiếng Việt.
Mời bạn xem phiên bản đã được bình chọn vào ngày 2 tháng 3 năm 2023 và so sánh sự khác biệt với phiên bản hiện tại.

[:0-1] Beckmann, Petr (1993). A history of [pi] (pi) . New York: Barnes & Noble. tr. 94–95. ISBN 0-88029-418-3. OCLC 28616481.

[:1-2] Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press. tr. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7. OCLC 769343155.

[:2-3] Eymard, Pierre (2004). The number [pi]. J. P. Lafon. Providence, R.I.: American Mathematical Society. tr. 44–46. ISBN 0-8218-3246-8. OCLC 53434668.

[:3-4] Kreminski, Rick (tháng 6 năm 2008). “π to Thousands of Digits from Vieta's Formula”. Mathematics Magazine (bằng tiếng Anh). 81 (3): 201–207. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549. ISSN 0025-570X.

[:4-5] Cullerne, J P; Dunn Goekjian, M C (tháng 1 năm 2012). “Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula”. Physics Education. 47 (1): 87–91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87. ISSN 0031-9120.

[6] Beckmann, Petr (1993). A history of [pi] (pi) . New York: Barnes & Noble. tr. 67. ISBN 0-88029-418-3. OCLC 28616481.

[7] De Smith, Michael John (2006). Maths for the mystified : an exploration of the history of mathematics and its relationship to modern-day science and computing. Leicester, U.K.: Matador. tr. 165. ISBN 978-1-905237-81-4. OCLC 123080375.

[:7-8] Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (tháng 10 năm 2013). “On Viète-like formulas”. Journal of Approximation Theory (bằng tiếng Anh). 174: 90–112. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006.

[:6-9] Morrison, Kent E. (tháng 10 năm 1995). “Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums”. The American Mathematical Monthly. 102 (8): 716. doi:10.2307/2974641.

[10] Oldham, Keith B. (2009). An atlas of functions : with Equator, the atlas function calculator. Jan C. Myland, Jerome Spanier, Jerome Preceded by: Spanier. New York, NY. tr. 15. ISBN 978-0-387-48807-3. OCLC 656394964.

[11] Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton: Princeton University Press. tr. 221–234. ISBN 978-1-4008-3407-5. OCLC 650305544.

[:5-12] Borwein, Jonathan M. (2014), Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen (biên tập), “The Life of π: From Archimedes to ENIAC and Beyond”, From Alexandria, Through Baghdad (bằng tiếng Anh), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, tr. 531–561, doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24, ISBN 978-3-642-36735-9, truy cập ngày 27 tháng 1 năm 2023

[:8-13] Dajani, Karma (2002). Ergodic theory of numbers. Cor Kraaikamp. [Washington, DC]. tr. 1–12. ISBN 978-1-61444-027-7. OCLC 877868949.

[14] Abidoye, Rotimi Boluwatife; Chan, Albert P.C. (4 tháng 7 năm 2016). “Critical determinants of residential property value: professionals' perspective”. Journal of Facilities Management. 14 (3): 283–300. doi:10.1108/jfm-02-2016-0003. ISSN 1472-5967.

[15] Osler, T. J. (15 tháng 1 năm 2007). “A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (bằng tiếng Anh). 38 (1): 136–142. doi:10.1080/00207390601002799. ISSN 0020-739X.

[16] Trong nghiên cứu của Leonhard Euler vào năm 1738: variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi^{[liên kết hỏng]} - Về các phương pháp khác nhau để biểu thị cầu phương, công thức hàm sinc là công thức cuối cùng trong nghiên cứu đó. Một công thức tương tự cũng xuất hiện trong một nghiên cứu vào năm 1783: observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes^{[liên kết hỏng]} - Các góc nhìn khác nhau về góc với cấp số nhân

[17] Wilson, Robin J. (2018). Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics (PDF) . Oxford, United Kingdom. tr. 57–58. ISBN 9780198794929. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 20 tháng 9 năm 2022. Truy cập ngày 27 tháng 1 năm 2023.

[18] Servi, L. D. (tháng 4 năm 2003). “Nested Square Roots of 2”. The American Mathematical Monthly. 110 (4): 326. doi:10.2307/3647881.

[19] Servi, L. D. (tháng 4 năm 2003). “Nested Square Roots of 2”. The American Mathematical Monthly. 110 (4): 326. doi:10.2307/3647881.

[20] Nyblom, M.A. (1 tháng 4 năm 2012). “Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals”. Rocky Mountain Journal of Mathematics. 42 (2): 751–758. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-751. ISSN 0035-7596.

[21] Levin, Aaron (1 tháng 6 năm 2006). “A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant”. The American Mathematical Monthly (bằng tiếng Anh). 113 (6): 510. doi:10.2307/27641976.

[22] Levin, Aaron (tháng 12 năm 2005). “A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for π”. The Ramanujan Journal (bằng tiếng Anh). 10 (3): 305–324. doi:10.1007/s11139-005-4852-z. ISSN 1382-4090.

[23] Stolarsky, Kenneth (1 tháng 7 năm 1980). “Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products”. Pacific Journal of Mathematics (bằng tiếng Anh). 89 (1): 209–227. doi:10.2140/pjm.1980.89.209. ISSN 0030-8730.

[24] F. S. M.; E. H. N.; Anderson, W. C. F. (tháng 10 năm 1930). “W. J. Greenstreet”. The Mathematical Gazette (bằng tiếng Anh). 15 (209): 181–185. doi:10.1017/S0025557200137258. ISSN 0025-5572.

[25] Rummler, Hansklaus (tháng 11 năm 1993). “Squaring the Circle with Holes”. The American Mathematical Monthly. 100 (9): 858. doi:10.2307/2324662.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]