Матриця Тепліца

Матриці Тепліца (діагонально-постійна матриця) — матриця, в якій на всіх діагоналях, паралельних головній, стоять однакові елементи.

Названа на честь німецького математика Отто Тепліца.

У загальному вигляді матриця Тепліца розміру $n\times n$ має вигляд:

$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}$

Тобто виконується співвідношення:

$a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}.$

Зауваження

Дві матриці Тепліца можна скласти за $\Theta (n)$ операцій. Матрицю Тепліца можна помножити на вектор за $\Theta (n\log n)$ операцій, а множення матриць Тепліца можна провести за $\Theta (n^{2})$ операцій.

Система лінійних рівнянь виду $Ax=b$ може бути вирішена методом Левінсона за час $\Theta (n^{2})$.

Матриці Тепліца також пов'язані з рядами Фур'є, тому що оператор множення на многочлен з синусів або косинусів, спроектований на скінченновимірний простір, можна представити такою матрицею.

Див. також

• Ганкелева матриця

Посилання

• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray. [Архівовано 29 серпня 2014 у Wayback Machine.]