Перегляд вихідного коду сторінки Колірний конфайнмент

[[Файл:Quark confinement.svg|thumb|Ілюстрація народження адронного струменя із початкової пари кварк-антикварк]]
'''Конфайнмент''' (утримання)&nbsp;— явище [[Квантова хромодинаміка|квантової хромодинаміки]], яке робить неможливим існування у вільному стані [[Кварк|кварків]] із [[Колірний заряд|колірним зарядом]] при нормальних умовах нижче температури Хагедорна (~10<sup>12</sup>&nbsp;[[Кельвін|K]]). Кварки та глюони завжди спостерігаються об'єднаними в групи, що утворюють так звані «безбарвні» або «білі» частинки [[Адрон|адрони]]. Наприклад, [[Баріон|баріони]], такі як [[протон]] і [[нейтрон]], складаються з трьох кварків різних кольорів: червоного, зеленого й блакитного. Інший тип адронів, [[мезони]], складаються з кварка та антикварка з відповідним антикольором, наприклад, зеленого й антизеленого, що вкупі теж утворюють «безбарвну» частинку. Іншими прикладами є [[Пентакварк|пентакварки]] та гіпотетичні [[Глюбол|глюболи]], що складаються виключно з колірно заряджених [[Глюон|глюонів]].

На даний момент{{коли?}} ще не існує аналітичного доведення цього явища в межах квантової хромодинаміки як неабелевої калібрувальної теорії (5-та проблема з [[Проблеми тисячоліття|задач тисячоліття]]). Загальне уявлення полягає в тому, що, оскільки глюони, які переносять взаємодію, також заряджені, при збільшенні відстані між кварками утворюється так звана сильновзаємодіюча глюонна трубка або струна. Як наслідок, пара взаємодіючих кварків буде зв'язана на будь-яких відстаннях, допоки енергії цієї струни не буде достатньо для утворення пари «кварк-антикварк».

Якщо внаслідок зіткнення високоенергетичних частинок у [[Прискорювач заряджених частинок|прискорювачах]] кварки починають розлітатися, то енергетично вигідним стає такий процес, коли з вакууму [[Народження пар|народжуються пари]] кварків-антикварків, які об'єднуються з початковими кварками та утворюють нові [[Адрон|адрони]]. При достатній енергії цей процес може продовжуватися далі, й таким чином виникають так звані адронні струмені або джети&nbsp;— потоки згрупованих мезонів та баріонів. Цей процес носить назву адронізації.

Гіпотетично, при дуже великих енергіях може утворитися [[кварк-глюонна плазма]]&nbsp;— стан багатьох вільних кольорових кварків, взаємодія між якими [[Екранування заряду|екранована]].

== Ренормгруповий потік константи зв'язку ==

Рівняння [[Ренормгрупа|ренормалізаційної групи]] описує ефективну силу взаємодії ([[Константа зв'язку|константу зв'язку]]) на різних просторових масштабах, або, що еквівалентно, імпульсах частинок. У КХД (далі — QCD) у першому порядку [[Теорія збурень|теорії збурень]] розв'язок має вигляд
: <math>
\alpha_s(Q^2) = \frac{2\pi}{\left(11 - \frac{2}{3} n_f\right) \ln \frac{Q}{\Lambda_{\text{QCD}}}}
</math>
де <math> \alpha_s</math> є власне константою зв'язку сильних взаємодії, <math> Q </math>&nbsp;— типовий масштаб енергії при взаємодії (наприклад, енергії кварків при розсіянні), <math> n_f</math>&nbsp;— кількість наближено безмасових кварків при цій енергії та <math> \Lambda_{\text{QCD}} \approx 200\,\text{MeV}</math>&nbsp;— масштаб конфайнменту у QCD (маса найлегших мезонів).

Цей вираз одразу демонструє дві важливі особливості QCD. По-перше, це [[Асимптотична свобода|асимптотична свобода]], тобто малість взаємодії при великих <math> Q \gg \Lambda_{\text{QCD}}</math>. По-друге, при <math> Q \approx \Lambda_{\text{QCD}}</math> сила взаємодії необмежено росте. Хоча це рівняння некоректно застосовувати при великих значеннях <math> \alpha_s</math> (оскільки це лише перший порядок теорії збурень), воно дає якісний опис ''чому'' відбувається конфайнмент. Питання ''як'' відбувається конфайнмент наразі{{коли?}} є невирішеною проблемою сучасної фізики.

== Траєкторії Редже та модель обертання палиці ==

[[Файл:Траекторії Редже для адронів.png|thumb|Траєкторії Редже для адронів]]
Спектр частинок у QCD має особливість: [[Теорія Редже|траєкторії Редже]] адронів досить добре апроксимуються лінійними залежностями [[Спін|спіну]] від квадрату маси.

Таку залежність можна приблизно описати, розглянувши модель мезона, що являє собою пряму палицю з взаємодіючих глюонів довжиною L=2R та лінійною масою σ. Розглянувши обертання цієї палиці та вважаючи, що кінці рухаються зі [[Швидкість світла|швидкістю світла]], масу та кутовий момент можна обчислити таким чином:

<math>m=2\int\limits_0^R \frac{\sigma}{\sqrt{1-v^2(r)}}\,dr=\pi\sigma R</math>

<math>J=2\int\limits_0^R \frac{\sigma r v(r)}{\sqrt{1-v^2(r)}}\,dr=\frac{2}{R}\int\limits_0^R\frac{\sigma r^2}{\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}}\,dr=\frac{\pi\sigma R^2}{2}</math>

Якщо порівняти ці два вирази, знаходимо, що <math>J=\frac{m^2}{2\pi\sigma}=\alpha m^2</math>, де <math>\alpha</math> є нахилом Редже. Експериментально отримане значення лінійної маси (натягу струни): <math>\sigma \approx 0.9 \,\text{GeV}\,\text{fm}^{-1}</math>.

Звичайно, така модель не є ідеальною, оскільки траєкторії Редже не проходять через початок координат і мають різні нахили. Однак, саме ця особливість була ключовою для гіпотези лінійного [[Потенціальна енергія|потенціалу]] взаємодії між кварками.

== Спроба якісно уявити явище конфайнменту ==
У квантовій хромодинаміці (або в більш загальному випадку квантових калібрувальних теорій), якщо відбувається зв'язок, тобто колірний конфайнмент, можливе утворення струноподібних степенів свободи, які називаються струнами QCD або трубо-потоками QCD. Наразі{{коли?}} не існує загальноприйнятого опису, яким чином струноподібні об'єкти з'являються з фундаментальної теорії взаємодій кварків та глюонів. Одним із можливих способів є утворення колірно заряджених тунельних струмів. Можна уявити, що електрична складова колірно зарядженого поля проходить між статичними кварком та антикварком і, через певні причини, має вигляд циліндра, переріз якого не залежить від відстані L між кварком та антикварком. У цьому випадку, енергія глюонного поля росте зі збільшенням відстані: <math>E=\sigma L </math>, де <math>\sigma=\int\,dx^2_\perp\frac{E^a_k(x)E^a_k(x)}{2}</math>, а поле <math>E^a_k(x)=F^a_{0k}(x)</math>, інтеграл береться по перерізу тунельного струму. Недолік цієї моделі полягає в тому, що вона не здатна описати розрив струни. У реальній QCD не спостерігається нескінченого лінійного зростання енергії взаємодії. На дуже малих відстанях домінує асимптотична свобода, потенціал має вигляд Кулона; на середніх відстанях утворюється тунельний потік поля, потенціал лінійний; на великих відстанях енергетично вигідніше утворити кварк та антикварк пару з масами <math>m_q</math>, і зламати тунельний потік поля&nbsp;— колірне поле статичних кварків екранується динамічними полями.

== Петля Вільсона та кварковий потенціал ==
Якісно новий підхід у розумінні сильних взаємодій можна отримати, розглядаючи систему на <math>d</math>-вимірній [[Квантова хромодинаміка на ґратці|ґратці]]. Подібний аналіз є загальним, тобто описує не лише сильні взаємодії, але й довільну калібрувальну теорію. Калібрувальні поля задаються дискретно своїми значеннями <math> A_\mu(x)</math> на лінках (зв'язках) між точками <math>x</math> та <math> x+a\hat \mu </math> (<math>a</math>&nbsp;— стала ґратки, <math>\mu =\overline{0,d-1}</math>&nbsp;— напрямок від точки). Для опису динаміки цих полів [[Кеннет Геддес Вільсон|Вільсон]] запропонував застосувати як ступені свободи величину

: <math> 
U_\mu(x) = \exp (igaA_\mu(x)) = \exp( igaA^k_\mu(x)t_k) 
</math>
замість безпосередньо польових змінних; <math> 
t_k 
</math>&nbsp;— генератори групи симетрії. Перевага цього підходу полягає в тому, що за допомогою <math> U_\mu(x) </math> можна сконструювати дію системи та досліджувати калібрувально-інваріантні спостережувані величини. Дія набуває вигляд

: <math> 
S = -\frac{1}{g^2}\sum_{\underset{x}{\mu<\nu}} \text{Tr}\,\left[ U_\mu(x) U_\nu(x+a\hat\mu) U^*_\mu(x+a\hat\nu) U^*_\nu(x) + \text{h.c.}\right] 
</math>
Ця дія є коректною, оскільки дійсно у неперервному ліміті <math>a\rightarrow 0</math> переходить у,
: <math> 
S \overset{a\rightarrow 0}{\longrightarrow} -\frac{1}{2} \int d^{d-1} x \,\text{Tr}\,F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}, \qquad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu - ig[A_\mu, A_\nu]
</math>

Де <math>F_{\mu\nu}</math> це тензор електромагнітного поля в теорії Янга-Міллса. Кожен доданок у сумі для дії є послідовним перемноженням чотирьох <math>U</math> на квадраті (плакетці) зі сторонами <math> \mu </math> та <math> \nu</math>. Ця комбінація є калібрувально-інваріантною, що можна побачити з наступного правила перетворення:

: <math> 
U_\mu(x) \rightarrow G(x) U_\mu(x) G(x+a\hat\mu) 
</math>

яке в неперервному ліміті набуває правильного вигляду

: <math> 
A_\mu(x) \rightarrow G(x) A_\mu(x) G^\dagger(x)  - \frac{i}{g} G(x) \partial_\mu G^\dagger(x) 
</math>

'''Петлею Вільсона''' називається калібрувально-інваріантна величина, що є узагальненням виразу <math> U_{\mu}(x)U_\nu(x+a\hat \mu) U^*_\mu(x+a\hat \nu)U^*_{\nu} (x) </math> на довільному замкненому контурі <math>C</math>:

: <math> 
W_C(\{A_\mu\}) = \text{Tr}\,\prod_{x\in C} U_\mu(x)
</math>

Фізичний зміст цієї величини є найбільш прозорим саме в описі за допомогою ґратки, однак <math>W_C</math> можна одразу визначити й у неперервній теорії поля:

: <math> 
W_C(\{A_\mu\}) = \text{Tr} \,\mathcal{P} \exp \left(ig\oint_C dx^\mu A_\mu(s)\right) 
</math>

де контур <math>C = \{x_\mu(s)\}</math> задається параметром <math>s</math>, а символ [[Часове упорядкування|упорядкування]] <math>\mathcal{P}</math> ставить множники з більшими значеннями <math>s</math> зліва від множників з меншими.



'''Мезонний потенціал'''

Щоб якісно зрозуміти фізичний зміст петлі Вільсона, розглянемо теорію з масивними нерухомими скалярними частинками <math> \phi</math>, що взаємодіють із калібрувальними полями на ґратці. Дія:
: <math>
S = \sum_{x} m^2 \phi^\dagger(x) \phi(x)  + \sum_{x, \mu} \frac{\phi^\dagger(x)}{a^2} \big(\phi(x) - U_\mu(x) \phi(x+a\hat \mu)\big)
</math>

Оператор
: <math> 
Q(R,t) = \phi^\dagger(0,t) U_1(a\hat 1,t)U_1(2a\hat 1,t)\dots U_1((R-a)\hat 1,t) \phi(R\hat 1, t)
</math>
є калібрувально-інваріантним виразом, що народжує частинку у точці <math> x =0</math> та античастинку у <math> x = R \hat 1</math>. З [[Інтеграл вздовж траєкторій|функціонального інтегралу]] можна показати, що для фіксованої конфігурації калібрувальних полів (інтегруючи лише <math> \phi</math>):
: <math>
\langle Q^\dagger(R,T) Q(R,0) \rangle_{\phi} \approx \text{Tr}\, \bigg[\langle\phi(R\hat 1,0)\phi^\dagger(R\hat 1, T)\rangle \,\,\,U^\dagger\big((R-a)\hat 1, T\big)\dots U^\dagger\big(a\hat 1,T\big)\,\,\, \langle \phi(0,T)\phi^\dagger(0,0)\rangle \,\,\,  U\big(a\hat 1,0\big)\dots U\big((R-a)\hat 1, 0\big)\bigg] \approx O(m^{-4(T+1)}) \text{Tr}\, [UU\dots U]_C
</math>
де контур <math>C</math> є межею прямокутника <math>[0,R\hat 1]\times [0, T\hat 0]</math>.


Таким чином петлю Вільсона можна інтерпретувати як амплітуду народження пари частинки та античастинки та їх подальшої анігіляції. Зокрема, її можна безпосередньо пов'язати до кварк-антикваркової взаємодії у мезоні.

З операторного формалізму в [[Поворот Віка|евклідовому часі]] ми маємо

: <math>
\langle Q^\dagger(T) Q(0) \rangle \overset{T\rightarrow\infty}{\Longrightarrow} \frac{\sum_{nm} \langle 0| Q^\dagger|n\rangle \langle n| e^{-HT} |m\rangle \langle m|Q|0\rangle}{ \langle 0| e^{-HT}|0\rangle}=\sum\limits_n|c_n|^2 e^{-(E_n - E_0) T}
</math>
де <math> H </math>&nbsp;— гамільтоніан калібрувальних полів при фіксованих джерелах у вигляді двох частинок.

У границі <math>T\rightarrow \infty</math> домінуючий вклад походить від першого збудженого рівня з енергією зв'язку <math> E_1 - E_0 \equiv V(R) </math>. Отже, петля Вільсона, розрахована в евклідовому часі по контуру у вигляді прямокутника <math> R\times T </math> визначає енергію калібрувальної струни, що пов'язує дві частинки:
: <math>
\langle W(R,T) \rangle \sim  e^{-V(R)\cdot T}
</math>

Еквівалентно можна записати такі співвідношення:
: <math>
V_{q\bar q}(R) = -\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{\langle\log W(R, T)\rangle}{T} = -\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{a}\log \frac{\langle W(R, T+a)\rangle}{\langle W(R,T) \rangle}, \qquad \sigma_{q\bar q}(R) \equiv \frac{V_{q\bar q}(R)}{R} = -\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{\langle\log W(R, T)\rangle}{R\cdot T}
</math>


'''Баріонний потенціал'''

Аналогічно можна розглянути взаємодію між трьома кварками у баріоні, пов'язавши її до петлі Вільсона спеціальної форми (так звана книжкова спостережувана). Однак, тричастинковий потенціал, або форма глюонної конфігурації, що пов'язує кварки в баріоні, наразі невідома. Розглядають два варіанти: <math> \Delta </math>-закон, в якому глюонні струни натягнуто між кожною парою кварків, та <math>Y</math>-закон, в якому струни з'єднуються в [[Точка Ферма|точці Ферма-Торічеллі трикутника]].

: <math>
V_\Delta = \sigma_{qqq} \Delta, \qquad \Delta = \frac{1}{2} \sum_{(ij)} |x_i - x_j|
</math>

: <math>
V_Y = \sigma_{qqq} Y, \qquad Y = \min_{x_0} \sum^3_{i=1} |x_i - x_0|
</math>
: З [[Метод Монте-Карло|Монте-Карловських]] розрахунків, маємо, що: <math>
\sigma_{q\bar q}\approx\sigma_{qqq}
</math>, тобто, натяг глюонної струни однаковий для три-кваркової взаємодії та для кварк-антикваркової взаємодії, i, здається, не залежить від форми.

== Порядок&nbsp;конфайнмента ==
Згідно з [[Теорема Елітцура|теоремою Елітцура]], калібрувальну теорію неможливо спонтанно порушити, тому не можна запровадити параметр, аналогічний [[Параметр порядку|параметру порядку]] в [[Модель Ізінга|моделі Ізінга]] або [[Рівняння Гінзбурга — Ландау|теорії Ландау-Гінзбурга]]. Однак, можна відокремити три можливі [[Фазовий перехід|фази]], що відрізняються асимптотичною поведінкою петлі Вільсона.

'''Масивна фаза'''

Міжчастинковий потенціал є [[Взаємодія Юкави|потенціалом Юкави]]:
: <math>
V(R) = -g^2 \frac{e^{-mR}}{R} + 2V_0
</math>
де <math> V_0 </math> є власною енергією взаємодіючих частинок. Значення петлі Вільсона визначається периметром контуру <math>P(C)</math>:
: <math>
W_C \sim \exp[-V_0 P(C)]
</math>

'''Безмасова фаза'''

Міжчастинковий потенціал є звичайним [[Закон Кулона|кулонівським потенціалом]]:
: <math>
V(R) = - \frac{g^2(R)}{R} + 2V_0
</math>
при цьому <math> g </math> залежить від <math> R </math> не сильніше, ніж [[Логарифм|логарифмічно]]. Петля Вільсона дорівнює
: <math>
W_C \sim \exp[-2V_0 T + g^2 T/R]
</math>
та знову зводиться до залежності від периметра при <math>R\gg V^{-1}_0</math>.


'''Фаза конфайнменту''' (фаза магнітного безладу)

Потенціал асимптотично лінійний:
: <math>
V(R) = \sigma R + 2V_0
</math>
Суттєвою відміною цієї фази від перших двох є залежність від площі петлі Вільсона <math>A(C)</math>:
: <math>
W_C \sim \exp[-\sigma A(C) - V_0 P(C)]
</math>

== Моделі, що мають конфайнмент ==
Окрім QCD у чотирьох просторово-часових вимірах, двовимірна модель Швінгера також має конфайнмент. Компактні абелеві калібрувальні теорії також проявляють конфайнмент у 2 та 3 просторово-часових вимірах. {{fact2|Нещодавно{{коли?}} було знайдено конфайнмент в елементарних збудженнях магнітних систем, званих спінонами}}.

== Джерела ==
* {{книга
|автор        = Индурайн Ф.
|назва        = Квантовая хромодинамика. Введение в теорию кварков и глюонов
|рік          = 1986
|видавництво  = Мир
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 288
}}

{{phys-stub}}

[[Категорія:Квантова хромодинаміка]]
[[Категорія:Нерозв'язані проблеми фізики]]