Sferoit

Dikey dönme eksenli sferoidler
basık (oblate)		kutuplarda uzatılmış (prolate)

Bir sferoit, küremsi veya dönel elipsoit, bir elipsin ana eksenlerinden biri etrafında döndürülmesiyle elde edilen kuadrik bir yüzeydir; başka bir deyişle, iki eşit yarıçapa sahip bir elipsoitdir. Bir sferoit, dairesel simetriye sahiptir.

Elips, ana ekseni etrafında döndürülürse, sonuç, bir Amerikan futbolu veya ragbi topu biçiminde şekillendirilmiş, kutuplarda uzatılmış (prolate) bir sferoittir. Elips, küçük ekseni etrafında döndürülürse, sonuç mercimek şeklinde yassı (düzleştirilmiş, oblate) bir sferoittir. Cismi oluşturan elips bir daire ise, sonuç küredir.

Yerçekimi ve dönmenin birleşik etkileri nedeniyle, Dünya'nın şekli (ve tüm gezegenlerin) tam olarak bir küre değildir, bunun yerine dönüş ekseni yönünde hafifçe düzleştirilmiştir. Bu nedenle, haritacılık ve jeodezide Dünya'ya genellikle bir küre yerine referans elipsoid olarak bilinen basık bir sferoit olarak yaklaşılır. Mevcut Dünya Jeodezik Sistemi modeli, yarıçapı Ekvatorda 6,378137 km (3,963191 mi) ve kutuplarda 6,356752 km (3,949903 mi) olan bir sferoit kullanır.^[1]

Sferoid kelimesi, aslında iki veya üç eksenli elipsoidal şeklin ötesinde düzensizlikleri kabul eden "yaklaşık olarak küresel bir gövde" anlamına geliyordu ve bu terim, jeodezi hakkındaki bazı eski makalelerde (örneğin, Yeryüzünün kesik küresel harmonik genişlemelerine atıfta bulunarak) bu şekilde kullanılmaktadır.^[2]

Denklemi

Bir küreye yarı eksenlerin atanması. Eğer

c < a

(solda) ise kutuplardan basık olduğu durum (oblate) ve eğer

c > a

(sağda) ise kutuplara doğru uzatılmış olan durum (prolate) söz konusudur.

Koordinat eksenleri boyunca hizalanmış $a$ , $b$ ve $c$ yarı eksenleri ile orijinde merkezlenmiş üç eksenli bir elipsoidin denklemi

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.

Bir sferoidin simetri ekseni olarak $z$ alınırsa ve $a = b$ olarak ayarlanırsa denklemi aşağıdaki şekilde verilir:

{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.

Yarı eksen $a$ , sferoitin ekvator yarıçapıdır ve $c$ , simetri ekseni boyunca merkezden kutba olan mesafedir. Olası iki durum vardır:

$c < a$ : kutuplardan basık (oblate) sferoit,
$c > a$ : kutuplara doğru uzatılmış (prolate) sferoit,

$a = c$ durumu ise bir küreye indirgenir.

Özellikleri

Alan

$c < a$ olan yassı bir sferoid aşağıdaki yüzey alanına sahiptir:

S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}{\text{artanh}}\,e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\quad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.

Yassı sferoit, yarı büyük ekseni $a$ ve yarı küçük ekseni $c$ olan bir elipsin $z$ ekseni etrafında dönerek oluşturulur, bu nedenle $e$ eksantriklik olarak tanımlanabilir. (Bkz. Elips)^[3]

$c > a$ olan bir kutuplara doğru uzatılmış sferoit aşağıdaki yüzey alanına sahiptir:

S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\qquad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.

Kutuplara doğru uzatılmış (prolate) sferoit, yarı büyük ekseni $c$ ve yarı küçük ekseni $a$ ile bir elipsin $z$ ekseni etrafında dönerek oluşturulur; bu nedenle, $e$ yine eksantriklik olarak tanımlanabilir. (Bkz. Elips) ^[4]

Bu formüller $S basık$ formülü aynı şekilde uzatılmış küremsi ve yardımcısı yüzey alanının hesaplanması için aynı şekilde kullanılabilir. Bununla birlikte, $e$ daha sonra sanal hale gelir ve artık doğrudan eksantriklikle tanımlanamaz. Bu sonuçların her ikisi de, standart matematiksel özdeşlikler ve elipsin parametreleri arasındaki ilişkiler kullanılarak birçok başka biçime dönüştürülebilir.

Hacim

Bir küremsi içindeki hacim ${\frac {4\pi }{3}}a^{2}c\approx 4.19a^{2}c$ . Eğer $A=2a$ ekvator çapı ve $C=2c$ polar çap ise hacim ${\frac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C$ 'dir.

Eğrilik

Bir sferoit aşağıdaki şekilde parametrik olarak ifade edilmişse;

{\vec {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta );\,\!

burada $β$ , azaltılmış veya parametrik enlem, $λ$ boylam, $- π / 2 < β < + π / 2$ ve $-π < λ < +π$ olmak üzere, Gauss eğriliği aşağıdaki şekilde hesaplanır;

K(\beta ,\lambda )={c^{2} \over \left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}};\,\!

ve ortalama eğrilik ise aşağıdaki şekilde hesaplanır:

H(\beta ,\lambda )={c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right) \over 2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}.\,\!

Bu eğriliklerin her ikisi de her zaman pozitiftir, böylece bir sfero üzerindeki her nokta eliptiktir.

En boy oranı

Bir yassı sferoidin/elipsin en boy oranı, $c : a$ , kutupsal uzunlukların ekvatoryal uzunluklara oranıdır, düzleşme (aynı zamanda basıklık olarak da adlandırılır) $f$ , ekvator-kutup uzunluğu farkının ekvator uzunluğuna oranıdır:

f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.

İlk eksantriklik (genellikle yukarıdaki gibi basitçe eksantriklik) genellikle yassılaşma yerine kullanılır.^[5] Şu şekilde tanımlanır:

e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}

Eksantriklik ve basıklık arasındaki ilişkiler şunlardır:

e={\sqrt {2f-f^{2}}}

,

f=1-{\sqrt {1-e^{2}}}

Tüm modern jeodezik elipsoidler, yarı büyük eksen ile birlikte yarı küçük eksen (en-boy oranını verir), düzleştirme veya ilk eksantriklik ile tanımlanır. Bu tanımlar matematiksel olarak birbirinin yerine kullanılabilirken, gerçek dünyadaki hesaplamaların bir miktar kesinlik kaybetmesine neden olur. Karışıklığı önlemek için, elipsoidal bir tanım, kendi değerlerinin verdiği biçimde kesin olduğunu kabul eder.

Uygulamaları

Bir atom çekirdeğindeki protonların ve nötronların yoğunluk dağılımı için en yaygın şekiller küresel, uzatılmış ve basık sferoidaldir; burada kutup ekseninin dönme ekseni (veya dönme açısal momentum vektörünün yönü) olduğu varsayılır. Protonlar arasındaki elektromanyetik itme, yüzey gerilimi ve kuantum kabuk etkileri arasındaki rekabetin bir sonucu olarak deforme nükleer şekiller oluşur.

Basık sferoitler

Jüpiter gezegeni, 0.06487 düzleşme ile basık bir sferoittir.

Basık sferoit, Dünya, Satürn, Jüpiter ve hızla dönen yıldız Altair dahil olmak üzere, dönen gezegenlerin ve diğer gök cisimlerinin yaklaşık şeklidir. Satürn, 0.09796 düzleşme ile Güneş Sistemindeki en uzatılmış gezegendir. Jean Richer'in sarkaç deneylerinden ve Christiaan Huygens'in teorilerinden yola çıkan aydınlanma bilimcisi Isaac Newton, Jüpiter ve Dünya'nın merkezkaç kuvveti nedeniyle basık sferoidler olduğunu düşündü.^[6]^[7] Dünyanın çeşitli kartografik ve jeodezik sistemleri, tümü basık olan referans elipsoidlere dayanmaktadır.

Son derece uzatılmış bir gezegenin Bilimkurgu örneği, Hal Clement'in Mission of Gravity romanından Mesklin'dir.

Uzatılmış sferoidler

Bir Avustralya futbolu kuralları.

Uzatılmış sferoid, ragbi futbolu gibi çeşitli spor dallarında topun yaklaşık şeklidir.

Aslında üç eksenli Elipsoitler olsalar da Güneş Sisteminin çeşitli uyduları yaklaşık uzatılmış sferoidler şeklindedir. Örnekler Satürn'ün uyduları Mimas, Enceladus ve Tethys ile Uranüs'ün uydusu Miranda'dır.

Gök cisimleri, yakın bir yörüngede devasa bir cismin yörüngesinde döndüklerinde, şekilleri hızlı dönme yoluyla baskın sferoitlere doğru bozulmanın aksine, gelgit kuvvetleri yoluyla hafifçe uzatılmış sferoitlere doğru bozulur. En uç örnek, Jüpiter'in uydusu Io'dur ve hafif bir eksantriklik nedeniyle yörüngesinde az çok uzatılarak yoğun volkanizmaya neden olur. Uzatılmış sferoitin ana ekseni bu durumda uydunun kutuplarından geçmez, ekvator üzerindeki iki noktadan doğrudan öncüle doğru ve uzağa bakan iki noktadan geçer.

Terim ayrıca Yengeç Bulutsusu gibi bazı bulutsuların şeklini tanımlamak için de kullanılır.^[8] Uzayda dalga yayılmasını ve girişimi analiz etmek için kullanılan Fresnel bölgeleri, bir verici ile alıcı arasındaki doğrudan görüş hattı boyunca hizalanmış ana eksenlere sahip bir dizi eş merkezli uzatılmış sferoidlerdir.

Atom çekirdeklerinin ve aktinit ve lantanit elemanları uzatılmış sferoidler şeklinde biçimlendirilmiştir.^[9] Anatomide testis gibi sferoidlere yakın organlar uzun ve kısa eksenleri ile ölçülebilir.^[10]

Birçok denizaltı, uzatılmış sferoit olarak tanımlanabilecek bir şekle sahiptir.^[11]

Dinamik özellikler

Düzgün yoğunluğa sahip bir sferoit için, eylemsizlik momenti, ek bir simetri eksenine sahip bir elipsoidinkidir. Bir sferoitin ana ekseni $c$ ve küçük eksenleri $a$ ve $b$ olarak tanımlandığında, bu ana eksenler boyunca eylemsizlik momentleri $C$ , $A$ ve $B$ 'dir. Bununla birlikte, bir sferoidde küçük eksenler simetriktir. Bu nedenle, ana eksenler boyunca eylemsizlik terimleri şunlardır:^[12]

A=B={\frac {1}{5}}M(a^{2}+c^{2}),

C={\frac {1}{5}}M(a^{2}+a^{2})={\frac {2}{5}}M(a^{2}),

burada $M$ , cismin kütlesi olarak tanımlanır

M={\frac {4}{3}}\pi \rho ca^{2}.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ "The earth's shape is a spheroid". 8 Ekim 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020.
^ Torge, Wolfgang (2001). Geodesy (3. bas.). Berlin, New York: Walter de Gruyter. s. 104. ISBN 978-3-11-017072-6. OCLC 46641599.
^ Bu sonucun bir türevi şu adreste bulunabilir: "Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 3 Eylül 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Haziran 2014.
^ Bu sonucun bir türevi şu adreste bulunabilir: "Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 Ekim 2003. 21 Haziran 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Haziran 2014.
^ Brial, Pierre; Shaalan, Cécile (Kasım 2009), Introduction à la Géodésie et au Géopositionnement par satellites (PDF) (Fransızca), s. 8, doi:10.13140/RG.2.2.30646.86085, 30 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 29 Aralık 2020
^ Greenburg, John L. (1995). "Isaac Newton and the Problem of the Earth's Shape". History of Exact Sciences. Springer. 49 (4): 371-391. doi:10.1007/BF00374704. JSTOR 41134011.
^ Durant, Will; Durant, Ariel (28 Temmuz 1997). The Story of Civilization: The Age of Louis XIV. MJF Books. ISBN 1567310192.
^ Trimble, Virginia Louise (Ekim 1973), "The Distance to the Crab Nebula and NP 0532", Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 85 (507), s. 579, Bibcode:1973PASP...85..579T, doi:10.1086/129507
^ "Nuclear fission - Fission theory". Encyclopedia Britannica. 7 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.
^ Pellerito, John; Polak, Joseph F. (2012). Introduction to Vascular Ultrasonography (6. bas.). Elsevier Health Sciences. s. 559. ISBN 9781455737666.
^ "What Do a Submarine, a Rocket and a Football Have in Common?". Scientific American. 8 Kasım 2010. 28 Mart 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Haziran 2015.
^ Weisstein, Eric W. "Spheroid". MathWorld--A Wolfram Web Resource. 20 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Mayıs 2018.

Dış bağlantılar

"Spheroid Calculator". 23 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Mart 2021.
John D. Cook (27 Kasım 2018). "Geometry of an oblate spheroid". 27 Şubat 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi.
Dan Mosher. "Prolate Spheroid". Geogebra. 1 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020.
"Matlab Reference Spheroids". MathWorks. 1 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020.

[1] "The earth's shape is a spheroid". 8 Ekim 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020.

[2] Torge, Wolfgang (2001). Geodesy (3. bas.). Berlin, New York: Walter de Gruyter. s. 104. ISBN 978-3-11-017072-6. OCLC 46641599.

[3] Bu sonucun bir türevi şu adreste bulunabilir: "Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 3 Eylül 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Haziran 2014.

[4] Bu sonucun bir türevi şu adreste bulunabilir: "Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 Ekim 2003. 21 Haziran 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Haziran 2014.

[5] Brial, Pierre; Shaalan, Cécile (Kasım 2009), Introduction à la Géodésie et au Géopositionnement par satellites (PDF) (Fransızca), s. 8, doi:10.13140/RG.2.2.30646.86085, 30 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 29 Aralık 2020

[6] Greenburg, John L. (1995). "Isaac Newton and the Problem of the Earth's Shape". History of Exact Sciences. Springer. 49 (4): 371-391. doi:10.1007/BF00374704. JSTOR 41134011.

[7] Durant, Will; Durant, Ariel (28 Temmuz 1997). The Story of Civilization: The Age of Louis XIV. MJF Books. ISBN 1567310192.

[Trimble1973-8] Trimble, Virginia Louise (Ekim 1973), "The Distance to the Crab Nebula and NP 0532", Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 85 (507), s. 579, Bibcode:1973PASP...85..579T, doi:10.1086/129507

[9] "Nuclear fission - Fission theory". Encyclopedia Britannica. 7 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.

[10] Pellerito, John; Polak, Joseph F. (2012). Introduction to Vascular Ultrasonography (6. bas.). Elsevier Health Sciences. s. 559. ISBN 9781455737666.

[scientific_american-11] "What Do a Submarine, a Rocket and a Football Have in Common?". Scientific American. 8 Kasım 2010. 28 Mart 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Haziran 2015.

[12] Weisstein, Eric W. "Spheroid". MathWorld--A Wolfram Web Resource. 20 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Mayıs 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]