Visa källa för Trigonometrisk funktion

[[File:TrigFuncs.png|thumb|upright=1|De grundläggande trigonometriska funktionerna inritade i [[enhetscirkeln]]. Vinkeln ''θ'':s storlek i [[radian]]er är lika med båglängden (röd) för den inneslutna delen av enhetscirkeln]]
Inom [[matematik]]en är '''[[trigonometri]]ska funktioner''' en klass av funktioner vars funktionsvärden beror av en [[vinkel]]. Funktionerna beskriver samband mellan [[vinkel|vinklar]] och sidor hos [[triangel|trianglar]]. De har sitt ursprung inom [[geometri]]n men används inom flera grenar av matematiken liksom inom många [[Tillämpad vetenskap|tillämpade vetenskaper]]. De trigonometriska funktionerna är [[periodisk]]a{{förtydliga|vilken artikel om någon?|datum=2017-05}} och är viktiga inom [[matematisk analys]] för att studera såväl periodiska som icke-periodiska funktioner (se [[Fourieranalys]]).

De grundläggande trigonometriska funktionerna är [[sinus]], [[cosinus]] och [[tangens]] samt deras [[reciprok (matematik)|inverterade]] motsvarigheter (cosekans, sekans och cotangens). Ibland räknas även [[korda]]funktionen, som är den historiskt äldsta, till de trigonometriska funktionerna.

Funktionerna kan definieras på flera olika ekvivalenta sätt, exempelvis enligt
* för allmänna trianglar som kvoten mellan två sidor i en [[triangel|rätvinklig triangel]] (dock endast för argument i [[första kvadranten]])
* som [[koordinat]]erna för en punkt på [[enhetscirkeln]] eller kvoter mellan dessa värden
* som en [[serie (matematik)|potensserieutveckling]]

Användbara samband mellan funktionerna finns listade i artikeln ''[[Lista över trigonometriska identiteter]]''.

{| class=wikitable style="margin-left:1em"
! style="text-align:left" | '''Funktion'''
! style="text-align:left" | '''Förkortning'''
! style="text-align:left" | '''Beskrivning'''
! style="text-align:left" | '''[[Lista över trigonometriska identiteter|Identitet]] (med [[radian]]er)'''
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Sinus]]'''
| sin
|align=center|[[katet|motstående]]/[[hypotenusa]]
| <math>\sin \theta \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\csc \theta}</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Cosinus]]''' eller kosinus
| cos
|align=center|[[katet|närliggande]]/hypotenusa
| <math>\cos \theta \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}\,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Tangens]]''' eller tangent
| tan (ibland&nbsp;tg)
|align=center|motstående/närliggande
| <math>\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> och <math>\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} (\theta \notin \{\frac{k\pi}{2}:k\in\mathbb{Z}\})</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cotangens''', kotangens,<br>cotangent eller [[kotangent]]
| cot (ibland&nbsp;ctg eller&nbsp;ctn)
|align=center|närliggande/motstående
| <math>\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> och <math>\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} (\theta \notin \{\frac{k\pi}{2}:k\in\mathbb{Z}\})</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Sekans''' eller sekant
| sec
|align=center|hypotenusa/närliggande
| <math>\sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta} </math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cosekans''', kosekans,<br>cosekant eller kosekant
| csc (ibland&nbsp;cosec)
|align=center|hypotenusa/motstående
| <math>\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\sin \theta} </math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Korda]]'''
| crd
|colspan="2"| <math> \mbox{crd}\ \theta \equiv \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} \equiv \sqrt{2-2\cos \theta} \equiv 2 \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \equiv 2 \sin \frac{\theta}{2}</math>
|}

== Geometrisk definition ==
[[Fil:Vinkel.png]]

[[Hypotenusa]]n är motstående sida till den räta vinkeln, i detta fall ''c''. Sidorna ''a'' och ''b'' är [[katet|kateter]].

1. '''sinus''' för en vinkel är kvoten av motstående katet och hypotenusan
:<math>\sin A  = {a \over c}</math>

2. '''cosinus''' för vinkeln ''A'' är kvoten av närliggande katet och hypotenusan
:<math>\cos A  = {b \over c}</math>

3. '''tangens''' för vinkeln ''A'' är kvoten av motstående och närliggande katet
:<math>\tan A  = {a \over b}</math>.

I främst engelskspråkig litteratur kan man stöta på ytterligare tre trigonometriska funktioner:

4. '''cotangens''' är inverterade värdet av tan ''A'', det vill säga kvoten av närliggande och motstående katet
:<math>\cot A  = {b \over a}</math>.

5. '''sekans''', är inverterade värdet av cos ''A'', det vill säga kvoten av hypotenusan och närliggande katet
:<math>\sec A  = {c \over b}</math>

6. '''cosekans''' är inverterade värdet av sin ''A'', det vill säga kvoten av hypotenusan och motstående katet
:<math>\csc A  = {c \over a}</math>

Samtliga trigonometriska funktioner baseras på förhållandet mellan två av triangelns tre sidor. Då [[Pythagoras sats]] ger den tredje sidan om två är kända, skulle strängt taget en enda trigonometrisk funktion, exempelvis sin&nbsp;A, vara tillräckligt. 

I praktiken används både sinus och cosinus ofta och tangens är ganska vanlig. Med dessa tre kan man direkt ställa upp uttryck för godtyckliga trigonometriska problem. De sista tre funktionerna som utgör inverterade värden tillför inte mycket och används därför sällan. Det kan dock vara bra att känna till deras definition.

:[[Fil:Circle-trig6.svg|420px]]

Samtliga trigonometriska funktioner av vinkeln ''θ'' i enhetscirkeln.

== Analys ==
Sinus- och cosinusfunktionernas derivator är:
:<math>\frac{d}{dx}\sin x =\cos x  \qquad \frac{d}{dx}\cos x =-\sin x </math>

Därmed är [[Taylorserie]]rna för respektive funktioner
:<math>\sin x =\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!} \qquad \cos x =\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}</math>
där ''x'' anges i [[radian]]er.

Vidare har vi att 
:<math>e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{k}}{k!}</math>

Om vi sätter ''x = iy'', där ''i'' är komplexa enheten, dvs. ''i''<sup>2</sup> = -1, kan [[Eulers formel]] erhållas:
:<math>\ e^{iy}=\cos y +i\sin y </math>
eller att 
:<math>\cos y =\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2} \qquad \sin y =\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}</math>

Med ''y'' = π så fås vad som har kallats ''The most remarkable formula in the world'' ([[Richard Feynman]]), nämligen [[Eulers identitet]], 
:<math>\ e^{i\pi}+ 1 = 0</math>

== Trigonometriska identiteter ==
{{Huvudartikel|Lista över trigonometriska identiteter}}

;Samband för en vinkel
:<math>\begin{align}
\sin^2\theta &+ \cos^2 \theta = 1 \\
\sin 2\theta &= 2 \sin\theta \cos\theta \\
\cos 2\theta &= 2 \cos^2\theta - 1 = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2 \sin^2\theta \\
\tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\
\end{align}</math>

;Samband för två vinklar
:<math>\begin{align}
\sin(x + y) &= \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y) \\
\cos(x + y) &= \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y) \\
\tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \\
\end{align}</math>

Se även artikeln ''[[derivata]]'' för de trigonometriska funktionernas derivator.

== Linjärkombinationer ==
En linjärkombination av sinus- och cosinusvågor är ekvivalent med en fasskiftad och omskalad [[sinusvåg]],<ref>{{MathWorld|id=HarmonicAdditionTheorem|title=Harmonic Addition Theorem}}</ref> 
:<math>a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2 + b^2}\cdot\sin(x+\varphi)</math>
där fasvinkeln <math>\varphi</math> ges av
:<math> \varphi = \operatorname{atan2} \left( b,\ a\right).</math>

== Enkla uttryck för vissa trigonometriska funktionsvärden ==

Alla definierade trigonometriska funktionsvärden är exakta tal. De flesta av dem är dock svåra att beskriva enbart med hjälp av de vanliga räknesätten. Ofta är det enklast att beskriva de exakta värdena som oändliga summor. För vissa vinklar kan man ange de exakta funktionsvärdena med hjälp av heltal samt ändligt många tillämpningar av de fyra vanliga [[räknesätt]]en och kvadratrotsutdragning.

Betrakta exempelvis en likbent rätvinklig triangel. Den har två lika vinklar θ = 45° = π/4 (mätt i [[radian]]er). Vi kan välja ''a'' = ''b'' = 1. Från detta kan sin, cos och tan för vinkeln 45° beräknas då [[Pythagoras sats]] ger hypotenusan ''c'' = √(''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>) = √2

Därför gäller, att
:<math>\sin \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2} </math>
:<math>\cos \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2} </math>
:<math>\tan \left(45^\circ\right) =\frac{\frac{1} {\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}} = 1</math>

För att bestämma de trigonometriska funktionernas värden för 60° = π/3 och 30° = π/6 kan vi betrakta en liksidig triangel med sidlängden 1 och vinklarna θ = 60°. Genom att bilda höjden mot en av sidorna får vi två nya trianglar med sidorna ''a'' = (√3)/2 (höjden), ''b'' = 1/2 (halva sidan)och ''c'' = 1.

Detta ger

:<math>\sin \left(30^\circ\right) = \frac{1} {2}</math>
:<math>\cos \left(30^\circ\right) = \frac{\sqrt3}{ 2}</math>
:<math>\tan \left(30^\circ\right) = \frac{1}{\sqrt3}</math>

och

:<math>\sin \left(60^\circ\right) = \frac{\sqrt3}{2}</math>
:<math>\cos \left(60^\circ\right) = \frac{1}{2}</math>
:<math>\tan \left(60^\circ\right) = \sqrt3</math>

Vinklar som kan uttryckas som heltals[[linjärkombination]]er och halveringar av dessa vinklar (30°, 45°, 60° och 90°) kan sedan beräknas genom att använda [[Lista över trigonometriska identiteter|trigonometriska identiteter]]. Exempelvis kan cos 22,5° kan beräknas från cos 45° = 1/√2

: 1/√2 = cos(45°) = cos(22,5° + 22,5°) = ... = 2·cos<sup>2</sup>(22,5°) - 1<=> cos(22,5°) = √(1+1/√2).

Man kan visa att en heltalsdel av ett helt varv, alltså en vinkel <math>\frac{2\pi}n = 180^\circ/n</math> (där ''n'' är ett positivt heltal) kan uttryckas med hjälp av ändligt många heltal och additioner, subtraktioner, multiplikationer, divisioner och kvadratrotsutdragningar, precis om ''n'' inte delas av kvadraten på något udda primtal och dessutom varje udda primtal som delar ''n'' är ett [[fermatprimtal]]. Det är alltså möjligt att uttrycka de trigonometriska funktionsvärdena på detta vis för ''n''&nbsp;=&nbsp;1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,18,20,24,30,32,... men däremot inte för ''n''&nbsp;=&nbsp;7,9,11,12,14,17,18,19,21,22,23,25,26,27,28,29,31,.... Detta medför också att de förra men inte de senare vinklarna är möjliga att konstruera med hjälp av enbart en perfekt passare och (omärkt) [[linjal]].

Speciellt existerar ingen allmän metod för att med endast dessa medel [[Vinkelns tredelning|tredela en godtycklig vinkel]], eftersom vinkeln 60° (''n''&nbsp;=&nbsp;6) men inte vinkeln 20° (''n''&nbsp;=&nbsp;18) kan konstrueras.

===Värdetabell===
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|- align="center" bgcolor="#dddddd"
| colspan="3" |&nbsp;'''Vinkel <math>\alpha</math>'''&nbsp; || rowspan="2" | &nbsp;'''<math>\sin\alpha</math>'''&nbsp; || rowspan="2" | &nbsp;'''<math>\cos\alpha</math>'''&nbsp; || rowspan="2" | &nbsp;'''<math>\tan\alpha</math>'''&nbsp; || rowspan="2" | &nbsp;'''<math>\cot\alpha</math>'''&nbsp; || rowspan="2" | &nbsp;'''<math>\sec\alpha</math>'''&nbsp; || rowspan="2" | &nbsp;'''<math>\csc\alpha</math>'''&nbsp;
|- align="center" bgcolor="#dddddd"
|i [[Varv (vinkelenhet)|varv]]
| i [[grad (vinkelenhet)|grader]]|| i [[radian]]er
|-
|0
| <math>0^\circ</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || <math>1</math> || <math>0</math> || Ej definierad || <math>1</math> || Ej definierad
|-
|<math>\frac{1}{24}</math>
| <math>15^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{12}</math> || <math>\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right)</math> || <math>\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)</math> || <math>2 - \sqrt{3}</math> || <math>2 + \sqrt{3}</math> || <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math> || <math>\sqrt{6} + \sqrt{2}</math>
|-
|<math>\frac{1}{20}</math> = 50 m()
| <math>18^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{10}</math> || <math>\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}</math> || <math>\sqrt{1 - 0.4 \sqrt{5}}</math> || <math>\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}</math> || <math>\sqrt{2 - \frac{2}{\sqrt{5}}}</math> || <math>\sqrt{5} + 1</math>
|-
|<math>\frac{1}{12}</math>
| <math>30^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{6}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt3}{2}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt3}</math> || <math>\sqrt3</math> || <math>\frac{2}{\sqrt3}</math> || <math>2</math>
|-
|<math>\frac{1}{10}</math> = 100 m()
| <math>36^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{5}</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}</math> || <math>\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} + 1\right)</math> || <math>\sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}</math> || <math>\sqrt{1 + 0.4 \sqrt{5}}</math> || <math>\sqrt{5} - 1</math> || <math>\sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{8}</math>= 125 m()
| <math>45^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{4}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt2}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt2}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt2</math> || <math>\sqrt2</math>
|-
|<math>\frac{1}{6}</math>
| <math>60^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{3}</math> || <math>\frac{\sqrt3}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\sqrt3</math> || <math>\frac{1}{\sqrt3}</math> || <math>2</math> || <math>\frac{2}{\sqrt3}</math>
|-
|<math>\frac{1}{4}</math> = 250 m()
| <math>90^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{2}</math> || <math>1</math> || <math>0</math> || Ej definierad || <math>0</math> || Ej definierad || <math>1</math>
|-
|<math>\frac{1}{3}</math>
| <math>120^\circ</math> || <math>\frac{2\pi}{3}</math> || <math>\frac{\sqrt3}{2}</math> || <math>-\frac{1}{2}</math> || <math>-\sqrt3</math> || <math>-\frac{1}{\sqrt3}</math> || <math>-2</math> || <math>\frac{2}{\sqrt3}</math>
|-
|<math>\frac{1}{2}</math> = 500 m()
| <math>180^\circ</math> || <math>\pi</math> || <math>0</math>|| <math>-1</math> || <math>0</math> || Ej definierad || <math>-1</math> || Ej definierad
|-
|<math>\frac{3}{4}</math> = 750 m()
| <math>270^\circ</math> || <math>\frac{3\pi}{2}</math> || <math>-1</math> || <math>0</math> || Ej definierad || <math>0</math> || Ej definierad || <math>-1</math>
|-
|1
| <math>360^\circ</math> || <math>2\pi</math> || <math>0</math> || <math>1</math> || <math>0</math> || Ej definierad || <math>1</math> || Ej definierad
|}

== Funktionsvärden för godtyckliga vinklar ==
De trigonometriska funktionerna kan även åskådliggöras med hjälp av [[enhetscirkel]]n, en [[cirkel]] med radien 1. Enhetscirkeln ger inga nya verktyg för att beräkna funktionsvärderna för olika vinklar, men är åskådlig för att tolka vinklar utanför intervallet <math>0-90</math> grader eller <math>0 - \pi/2</math> radianer.

[[Fil:Unit circle angles color.svg|500px]]

I bilden är ett antal vinklar utritade, uttryckta i vinkelmåttet [[radian]]er. Vinklar mäts som positiva i moturs riktning och som negativa i medurs riktning.

Vinklar större än 2π eller mindre än -2π motsvarar rotationer större än ett varv, vilket illustrerar att sinus- och cosinusfunktionerna är periodiska (se [[Periodisk funktion|periodiska funktioner]]) med [[period]]en <math>2\pi</math>.

Sambandet

:<math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2k\pi\right)</math>
:<math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2k\pi\right)</math>

gäller för alla vinklar <math>\theta</math> och [[heltal]] ''k''.

Samtliga trigonometriska funktioner är [[periodisk funktion|periodiska]]. Sinus- och sekantfunktionerna har dubbelt så stor period som tangensfunktionerna:

[[Fil:Trigonometric functions.svg|575px]]

Ovanstående figur illustrerar funktionerna <span style="color:#00A">sinus</span>, <span style="color:#0A0">cosinus</span>, <span style="color:#A00">tangens</span>, <span style="color:#00A">cosekans (streckad)</span>, <span style="color:#0A0">sekans (streckad)</span> och <span style="color:#A00">cotangens (streckad)</span>.

== Serieutvecklingar ==
Om vinklarna anges i [[radian]]er gäller (se [[maclaurinutveckling]])

:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots; \quad -\infty < x < +\infty</math>
:<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots;  \quad -\infty < x < +\infty</math>
:<math>\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \cdots; \  \quad |x| < \frac{\pi}{2}</math>

Med hjälp av serieutveckling kan trigonometriska funktioner definieras även för [[komplexa tal|komplexa]] värden.

== Inversa funktioner ==

[[Invers funktion|Inverser]] till de trigonometriska funktionerna existerar endast på begränsade intervall. Det finns funktioner dock som är definierade på olika intervall som ibland oegentligt betecknas som inverser. Dessa kallas '''arcus-funktioner''' (till exempels ''arcus cosinus'') eller '''cyklometriska funktioner'''. I allmänhet brukar de förkortas med arctan, arcsin och arccos, men på [[miniräknare]] och i mindre nogräknade matematiska skrifter brukar dessa funktioner skrivas <math>\tan^{-1}</math>, <math>\sin^{-1}</math> respektive <math>\cos^{-1}</math>. Det finns en nackdel med denna notation, och det är att likartad notation används i ett annat syfte. Till exempel gäller att <math>\sin^{2}(x) = (\sin (x))^2</math> men inte <math>\sin^{-1}(x) = (\sin (x))^{-1}</math>. Därför bör inte <math>\sin^{-1}</math> användas när det finns risk för feltolkning. Funktionerna används till exempel för att beräkna värdet på en okänd vinkel i en rätvinklig triangel där sidolängderna är kända. I en rätvinklig triangel där [[katet]]erna har längderna <math>a</math> och <math>b</math>, har vinkeln mellan [[hypotenusa]]n och kateten <math>a</math> värdet <math>\arctan(b/a)</math> och vinkeln mellan hypotenusan och kateten <math>b</math> värdet <math>\arctan(a/b)</math>.

:<math>
\begin{matrix}

y = \arcsin \left(x\right)
& \iff &
x = \sin \left(y\right)
 & \mbox{ om }\, &
-\frac{\pi}{ 2} \le y \le \frac{\pi}{ 2} \\
y = \arccos \left(x\right)
& \iff  &
x = \cos\left(y\right)
 & \mbox{ om }\, &
0 \le y \le \pi\\
y = \arctan\left(x\right)
& \iff  &
x = \tan\left(y\right)
 & \mbox{ om }\, &
-\frac{\pi}{ 2} < y < \frac{\pi}{ 2}\\
y = \arccsc\left(x\right)
& \iff  &
x = \csc\left(y\right)
 & \mbox{ om }\, &
-\frac{\pi}{ 2} \le y \le \frac{\pi}{ 2} \, , y \neq 0\\
y = \arcsec\left(x\right)
& \iff  &
x = \sec\left(y\right)
 & \mbox{ om }\, &
0 \le y \le \pi  \, , y \neq \frac{\pi}{ 2}\\
y = \arccot\left(x\right)
& \iff  &
x = \cot\left(y\right)
 & \mbox{ om }\, &
0 < y < \pi
\end{matrix}
</math>

I vissa [[programbibliotek]] förekommer även eller istället en "arctangensfunktion" med två argument, vilken antar värden mellan <math>-\pi</math> och <math>\pi</math>. Matematiskt är den närmast att jämföra med [[Argument (matematik)|argumentfunktionen för ett komplext tal]], om det ena argumentet tolkas som imaginärdel och det andra som realdel, men den kan vara mera praktisk för problemet att uttrycka en riktning som en vinkel.

De inversa funktionerna motsvarar integralerna

:<math>\arcsin\left(x\right) =
\int^x_0 \frac 1 {\sqrt{1 - t^2}}dt</math>
:<math>\arccos\left(x\right) =
\int^x_1 \frac {-1} {\sqrt{1 - t^2}} dt</math>
:<math>\arctan\left(x\right) =
\int^x_0 \frac 1 {1 + t^2} dt</math>
:<math>\arccsc\left(x\right) =
\int \frac {-1} {x \sqrt{x^2 - 1} } dx</math>
:<math>\,\arcsec\left(x\right) = 
\int \frac 1 {x \sqrt{x^2 - 1}} dx</math>
:<math>\arccot\left(x\right) =
\int \frac {-1} {x^2 + 1} dx</math>

== Komplexa grafer ==
<gallery>
Fil:Complex sin.jpg|Komplex graf av sinusfunktionen
Fil:Complex cos.jpg|Komplex graf av cosinusfunktionen
Fil:Complex tan.jpg|Komplex graf av tangensfunktionen
Fil:Complex Cot.jpg|Komplex graf av cotangensfunktionen
Fil:Complex Sec.jpg|Komplex graf av sekantfunktionen
Fil:Complex Csc.jpg|Komplex graf av cosekantfunktionen
</gallery>

== Egenskaper och tillämpningar ==
[[Fil:Sincos pretty.png|höger|200px]]

Trigonometriska funktioner är, som benämningen antyder, av betydelse inom [[trigonometri]], bland annat genom följande satser:

*'''[[Sinussatsen]]'''
*'''[[Cosinussatsen]]'''
*'''[[Tangenssatsen]]''' 
*'''[[Areasatsen]]'''

Grafen till höger visar i ett [[polära koordinater|polärt]] [[koordinatsystem]] funktionen
:<math>(x(\theta),\,y(\theta)) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{F(n+1)} (\sin(\theta\cdot F(n)),\, \cos(\theta\cdot F(n)))\ </math> 

där <math>F(n)</math> är det ''n'':te [[Fibonaccital]]et.

==Se även==
*[[Eulers formler]]
*[[Lista över trigonometriska identiteter]]

== Referenser ==
<references/>

==Externa länkar==
* {{wiktionary|sinus}}
* {{wiktionary|cosinus}}
* {{wiktionary|tangens}}
*[https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab]: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)


{{Auktoritetsdata}}
[[Kategori:Trigonometriska funktioner| ]]