Shuma Ramanuxhan

Shuma Ramanujan ose sipas Ramanuxhanit është një teknikë e shpikur nga matematikani Srinivasa Ramanujan për caktimin e një vlere për seritë e pafundme divergjente . Megjithëse shuma Ramanuxhan e një serie divergjente nuk është një shumë në kuptimin tradicional, ai ka veti që e bëjnë atë matematikisht të dobishëm në studimin e serive të pafundme divergjente, për të cilat shumimi konvencional është i papërcaktuar.

Përmbledhja

Meqenëse nuk ka veti të një shume të tërë, shuma Ramanuxhan funksionon si një veti e shumave të pjesshme. Nëse marrim formulën e mbledhjes së Euler-Maclaurin së bashku me rregullin e korrigjimit duke përdorur numrat e Bernulit, shohim se:  

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)=\sum _{k=0}^{n}f(k)-{\frac {f(0)+f(n)}{2}}\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}$

Ramanujan e shkroi këtë përsëri për kufij të ndryshëm të integralit dhe shumës përkatëse për rastin në të cilin p shkon në pafundësi :

$\sum _{k=a}^{x}f(k)=C+\int _{a}^{x}f(t)dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)$

ku C është një konstante specifike e serisë dhe vazhdimi i saj analitik dhe kufijtë në integral nuk u specifikuan nga Ramanuxhani, por me sa duket ata ishin siç u dha më sipër. Duke krahasuar të dyja formulat dhe duke supozuar se R priret në 0 pasi x priret në pafundësi, shohim se, në një rast të përgjithshëm, për funksionet f ( x ) pa divergjencë në x = 0:

$C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)$

ku Ramanuxhani supozoi $a=0.$ Duke marrë $a=\infty$ ne zakonisht rikuperojmë përmbledhjen e zakonshme për seritë konvergjente. Për funksionet f ( x ) pa divergjencë në x = 1, marrim:

$C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)$

Versioni konvergjent i përmbledhjes për funksionet me kusht të duhur të rritjes është atëherë:

$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt$

Përmbledhja Ramanujan e serive divergjente

Në tekstin e mëposhtëm, $({\mathfrak {R}})$ nënkupton "Shuma Ramanuxhan". Kjo formulë fillimisht u shfaq në një nga fletoret e Ramanuxhanit, pa ndonjë shënim që tregonte se ajo ilustron një metodë të re përmbledhjeje.

Për shembull, $({\mathfrak {R}})$ nga 1 − 1 + 1 − ⋯ është:

$1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad ({\mathfrak {R}}).$

Ramanujan kishte llogaritur "shumat" e serive të njohura divergjente. Është e rëndësishme të përmendet se shumat Ramanuxhan nuk janë shumat e serisë në kuptimin e zakonshëm, dmth shumat e pjesshme nuk konvergjojnë në këtë vlerë, e cila shënohet me simbolin $({\mathfrak {R}}).$ Në veçanti, $({\mathfrak {R}})$ shuma e 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ është llogaritur si:

$1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\quad ({\mathfrak {R}})$

Duke u shtrirë edhe në fuqi pozitive, kjo dha:

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad ({\mathfrak {R}})$

dhe për fuqitë teke qasja sugjeroi një lidhje me numrat e Bernulit të trajtës:

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\quad ({\mathfrak {R}})$

Është propozuar të përdoret C (1) në vend të C (0) si rezultat i shumës së Ramanuxhanit, që atëherë mund të sigurohet se një seri $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)$ pranon një dhe vetëm një mbledhje të Ramanuxhanit, të përcaktuar si vlera në 1 e zgjidhjes së vetme të ekuacionit me diferenca $R(x)-R(x+1)=f(x)$ që vërteton gjendjen $\textstyle \int _{1}^{2}R(t)\,dt=0$ .

$\sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]$

Në veçanti kemi:

$\sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma$

ku γ është konstantja Euler–Mascheroni .