Brez škode za splošnost

Brez škode za splošnost (pogosto skrajšano na BŠS; tudi brez izgube splošnosti) je izraz, ki se pogosto uporablja v matematiki. Uporablja se, ko se v dokzu sicer osredotočimo le na določen primer, vendar to ne vpliva na splošno veljavnost dokaza. Ostali primeri so dovolj podobni že dokazanemu primeru, tako da bi jih lahko dokazali na enak način. Tako bi bilo dokaz, podan za določen primer, trivialno podajati tudi za ostale.

V mnogih primerih je uporaba "brez škode za splošnost" mogoča zaradi simetrije. Na primer, če vemo, da je neka lastnost $P(x,y)$ na realnih številih simetrična (tj. $P(x,y)=P(y,x)$), potem pri dokazovanju, da $P(x,y)$ velja za vsaka $x$ in $y$, lahko "brez škode za splošnost" predpostavimo, da velja $x\leq y$ in dokažemo $x\leq y\implies P(x,y)$. Pri tem dokazu škode za splošnost seveda ni, saj dokaz $y\leq x\implies P(y,x)$ sledi neposredno iz simetričnosti lastnosti $P$.

Če v trditvi, ki jo dokazujemo, ni nobene simetrije ali kakršnekoli druge oblike ekvivalentnosti, potem je raba "brez škode za splošnost" napačna. Trditev smo tako dokazali le za določen primer.

Primer

Oglejmo si naslednjo trditev:

Če imamo tri predmete in vsakega pobarvamo bodisi z rdečo bodisi z modro barvo, potem sta vsaj dva predmeta iste barve.

Dokaz:

Brez škode za splošnost predpostavimo, da je prvi predmet rdeče barve. Če je rdeč še vsaj eden izmed ostalih dveh smo trditev dokazali. Če ne, pa morata biti ostala predmeta oba modre barve. S tem je trditev dokazana.

Zgornji navedeni dokaz je pravilen, ker bi lahko na popolnoma enak način sklepali tudi, če bi rekli, da je prvi predmet moder. Besedi 'rdeč' in 'moder' torej lahko v dokazu prosto zamenjujemo. Posledično je v tem primeru uporaba "brez škode za splošnost" veljavna.