Matematička ekonomija

Matematička ekonomija je poseban pristup u ekonomskoj analizi, koji se umesto rečima, izražava matematičkim simbolima, umesto rečenica radije koristi jednačine, a logični zaključaci se izvodi pomoću matematičkih teorema. Prednost matematičke ekonomije u odnosu na eksplicitnu ekonomiju, sastoji se u korišćenju konciznijeg i preciznijeg jezika, uz upotrebu svih postojećih matematičkih metoda, što isključuje mogućnost donošenja neželjenih ili implicitnih zaključka, a pruža mogućnost uopštavanja na slučaj n-promenljivih. Kao nedostatak ovog pristupa ekonomske analize, može se uvrstiti činjenica da je matematika apstraktna, a ne realna nauka. Međutim, bez obzira što je ekonomija društvena nauka, matematički jezik, postao je dominantan u mnogim njenim sferama.

Model

Ekonomski model u ovom slučaju se prikazuje pomoću matematičkog modela. Za opisivanje njegove strukture koriste se jednačine, dobijene usvajanjem određenog skupa pretpostavki, na osnovu kojih se uspostavlja veza između različitih promenljivih u jednačinama. Tako se iz pretpostavki, primenom matematičkih operacija nad jednačinama izvode zaključci.

Za uspostavljanje matematičkog modela koriste se sledeći termini:

• promenljive
• konstante
• parametri
• jednačine
• funkcije

Promenljive

Promenljiva je nešto što može da menja vrednost, zbog čega se uvek prikazuje pomoću simbola, umesto brojnih vrednosti. U ekonomiji, to obično mogu biti cene, količina uvoza, izvoza itd. One promenljive čije vrednosti tražimo u jednačinama, nazivaju se endogene. Osim njih, u modelu se mogu naći i promenljive koje zavise od spoljašnjih uslova, nezavisno od samog modela, pa se u tom slučaju nazivaju egzogene promenljive.

Konstante

Promenljive se u okviru jednačina, najčešće pojavljuju u kombinaciji sa fiksnim ili konstantnim vrednostima. Kada se konstante vrednosti direktno vezuju uz promenljivu, one se nazivaju koeficijentima i takođe prikazuju pomoću simbola: najčešće latiničnim (a, b, c) ili grčkim slovima (α, β, γ), radije nego brojnim vrednostima. Ove konstate, predstavljene simbolima u okviru modela, mogu da uzimaju bilo koju vrednost, sve dok se ne zamene konkretnim brojevima. Da bi se naznačio ovakav njihov specijalni status, nazivaju se parametarske konstante ili kraće parametri.

Jednačine

Promenljive u modelu mogu da stoje nezavisno, međutim one postaju zanimljive samo kada su međusobno povezane u jednačinma ili takođe, nejednačinama. U ekonomiji se razlikuju tri tipa jednačina:

• jednačine za definisanje, u kojima se između dva alternativna iskaza istog značenja postavlja znak jednakosti (=), a može se koristiti i znak indentične jednakosti (≡)
• jednačine za opisivanje ponašanja, u kojima se prikazuje kako se jedna promeljniva menja u zavisnosti od promena drugih promenljivih
• jednačine uslova ravnoteže, odnosno ekvilibrijuma, koriste se samo u slučaju da je model postigao ravnotežu.

Funkcije

Realne funkcije su osnovni pojam i centralni objekat u svim matematičkim analizama. Funkcijom se definiše pravilo po kome se neka promenljiva x iz podskupa (domena) realnih brojeva D pridružujue jedan i samo jedna promenljiva iz skupa realnih borjeva R, što se označava na sledeći način:

$y=f(x),x\in D$

Funkcije se koriste npr. u predstavljanju troškova, prihoda i dobiti.

Funkcija troškova

U ekonomski modelu ukupni troškovi su glavna promenljiva, dok su ostale promenljive faktori koji na nju utiču. Ukupni troškovi mogu se podeliti na dve vrste:

• stalni (fiksni) troškovi, koji ne zavise direktno od procesa proizvodnje (amortizacija, plate itd)
• promenljivi (varijabilni) troškovi, koji zavise od procesa proizvodnje i menjaju se sa njenim porastom ili padom

Funkcija ukupnih troškova (T) može da se predstavi na sledeći način:

$T(Q)=fT+vT(Q)$

gde je:

$Q$ — količina proizvodnja

$fT$ — fiksni troškovi

$vT(Q)$ — varijabilni troškovi proporcionalni proizvodnji.

Pošto fiksni troškovi ne zavise od količine proizvodnje, a u slučaju da ne postoji proizvodnja, neće biti troškova koji zavise od nje :

$Q=0,vT(0)=>T(0)=fT$

Prosečni trošak

Prosečni ili unutrašnji trošak, je trošak proizvodnje jednog proizvoda. Dobija se deljenjem ukupnih troškova sa količinom proizvodnje:

${\overline {T(Q)}}={\frac {T(Q)}{Q}}$

Funkcija prihoda

Prihod (P) je jednak količini proizvoda pomnoženoj sa cenom (p) proizvoda. To znači da se prihod predstavlja u funkciji cene:

$P(p)=Q\cdot p$,

ali s obzirom da se analiza troškova računa u odnosu na proizvodnju, u obzir se uzima inverzna funkcija:

$P(Q)=Q\cdot p(Q)$

Funkcija dobiti

Dobit je razlika između prihoda i ukupnih troškova:

$D(Q)=P(Q)-T(Q)$

Za razliku od prihoda i troškova, dobit može biti i negativna.

Ravnoteža

Ravnoteža u ekonomskoj analizi predstavlja ono stanje koje ne teži promenama, pa se zbog toga njena analiza ponekad takođe naziva i statička analiza. Matematička ekonomija za ovo stanje bira skup međusobno povezanih unutrašnjih promenljivih, koje se bitno ne menjaju. Ravnotežno stanje može da bude poželjno npr. u slučaju da se dostiže u trenutku maksimalne dobiti, ali može biti i nepoželjno, u slučaju npr. visoke nezaposlenosti. Jednačinama ravnoteže iskazuje se preduslov za njeno uspostavljanje. Najpoznatije jednačine ravnoteže su jednakost količine ponude i potražnje na tržištu, kao i jednakost namenske štednje i namenskih investicija u modelu nacionalnog dohotka.

Primer linearnog tržišnog modela

Linearni model izolovanog tržišta sa jednom vrstom robe

Prvi zadatak kod modela ravnotežnog stanja je pronalaženje takvog skupa vrednosti endogenih promenljivih, koji će zadovoljiti uslov ravnoteže. Ovaj skup vrednosti zapravo definiše stanje ravnoteže. Npr. u slučaju izolovanog tržišta sa samo jednom vrstom robe, moguće je definisati model preko tri promenljive:

$P$ — cena robe;

$Q_{t}$ — količina tražene robe izražene npr. u kilogramima po mesecu

$Q_{p}$ — količina ponuđene ili proizvedene robe izražene takođe u kilogramima po mesecu

Uslov ravnoteže koja se postiže samo u slučaju da su ponuda i potražnja jednaki, izražava se jednačinom:

$Q_{p}=Q_{t}$

Ako se pretpostavi da se potražnja može predstaviti monotono opadajućom linearnom funkcijom, koja zavisi od cene:

$Q_{t}=a-bP$ u kojoj su $(a,b>0)$

a ponuđena ili proizvedena količina robe monotono rastućom linearnom funkcijom:

$Q_{p}=-c+dP$ u kojoj su $(c,d>0)$

konstruiše se matematički model, sistem od tri jednačine sa tri promenljive i četiri parametarske konstante. NJihovim rešavanjem dolazi se do jedinstevnog rešenja, koje se nalazi u tačci preseka dve funkcije, koja predstavlja uređeni par: cenu (${\overline {P}}$) i količinu robe (${\overline {Q}}$) u ravnotežnom stanju, u zaivisnosti od konstanti (a,b,c,d):

$({\overline {P}};{\overline {Q}})=({\frac {a+c}{b+d}};{\frac {ad-bc}{b+d}})$, pri čemu je neophodno ispuniti uslov $(ad-bc>0)$, da bi se rezultat za količinu nalazio na pozitivnom delu ose i imao smisla.

Osim linearnih, funkcije ponašanja ponude i potražnje mogu da budu kvadratne ili u opštem slučaju polinomne jednačiname. NJihovo rešavanje je daleko komplikovanije od proste zamene promenljivih iz jedne jednačine u drugu, uključujući u tom slučaju i potrebu za traženje grafičkog rešenja funkcije. Rešenje nije uvek obavezno moguće, a u slučaju da postoji, ne mora biti jedinstveno, kao u linearnom primeru.

Opšta tržišna ravnoteža

Na isti način kako je konstruisan model jednog, moguće je rešiti i slučaj dva ili više različitih proizvoda. U opštem slučaju, razmatra se n proizvoda, svaki sa svojom cenom, ponudom, potražnjom, parametima i ravnoteža će biti uspostavljena samo u slučaju da se ispune uslovi za svaki od n proizvoda. Model se predstavlja pomoću 3n jednačina, koje mogu biti znatno složenije od parcijalnog modela, koje se uopšteno predstavljaju na sledeći način:

$Q_{pi}=Q_{pi}(P_{1},P_{2},...,P_{n})$

$Q_{ti}=Q_{ti}(P_{1},P_{2},...,P_{n})$

$Q_{pi}=Q_{ti}$

gde je $(i=1,n)$

U koliko postoji rešenje, dobiće se n cena sa kojima se usposatvlja ravnoteža. Cene zavise od m parametara i njihov broj ne mora nužno da bude jednak broju proizvoda n.

$P_{i}=P_{i}(a_{1},a_{2},...,a_{m})$

Model nacionalnog dohotka

Ravnoteža nacionalnog dohotka predstavljena pomoću grubog i jednostavnog Kejnesovog modela, sastoji se od uslova ravnoteže, koji kaže da je ukupan nacionalni dohodak jednak ukupnoj potršnji:

$D=P+I_{0}+V_{0}$

Ovaj uslov uključuje endogene promenljive:

$D$ — nacionalni dohodak

$P$ — nacionalna potrošnja

egzogene promenljive:

$I_{0}$ — investicije

$V_{0}$ — vladina potrošnja

i jednačinu ponašanja:

$P=a+bD$

sa parametrima:

$a$ — autonomna potrošnja

$b$ — granična sklonost potrošnji

Rešavanjem ovih jednačina dobija se uređeni par za ravnotežni nacionalni dohodak i ravnotežnu nacionalnu potrošnju:

$({\overline {D}};{\overline {P}})=({\frac {a+I_{0}+V_{0}}{1-b}};{\frac {a+b(I_{0}+V_{0})}{1-b}})$

gde je nepohodno da se ispuni uslov da je $b<>1$, kako bi se izbeglo deljenje sa nulom.

Složeniji model nacionalnog dohotka uključuje tržište robe i novca.

Međusektorski model

Vasilije Leontijev (rus. Vasiliй Vasilьevič Leóntьev; 1906—1999), dobitnik Nobelove nagrade (1973), u svojoj statičkoj ulazno-izlaznoj (engl. input-output) analizi američke privrede, objavljenoj 1941. godine je pretpostavio da se privredna aktivnost može svesti na n povezanih sektora. Pomoću statičke analize, on je pokušao da pronađe odgovarajući nivo proizvodnje svakog proizvoda, koja bi zadovoljila ukupnu potražnju za tim proizvodom. Krenuo je od pretpostavke da svaka industrija ima samo jedan homogeni proizvod i da se za njegovu proizvodnju upotrebljava fiksni odnos potrošnje, te da je svaka industrija podređena konstantnim prinosima na opseg. Ove su pretpostavke nerealne, ali se industrije, koje imaju npr. više od jednog proizvoda, u teoriji mogu razmatrati kao posebne industrije. Leontijev je došao do otvorene i zatvorene forme modela. U zatvorenom modelu, komponente potražnje se tretiraju endogeno, pa je u jednom sektoru potrošnja proizvoda iz drugog sektora direktno proporcionalna obimu proizvodnje tog sektora:

$Q_{ij}=a_{ij}Q_{j}$

gde je:

$Q_{ij}$ — potrošnja proizvoda iz sektora i u sektoru j

$Q_{j}$ — proizvodnja sektora j

$a_{ij}$ — tehnički koeficijent utroška, odnosno koeficijent proporcionalnosti, konstantna vrednost, određena tehnološkim faktorima

Kod otvorenog modela, koji je našao širu primenu, komponente finalne potražnje po sektorima su date egzogeno, pa je potrošnja proizvoda jednog sektora jednaka zbiru isporuka u svim ostalim sektorima i egzogeno datih isporuka za finalnu potražnju (potražnja koja nije utrošak ni za jednu industriju).

$Q_{i}=a_{i1}Q_{1}+a_{i2}Q_{2}+....a_{in}Q_{n}+P_{i},(i=1,...,n)$

gde je

$P_{i}$ — ezgogena isporuka proizvoda za sektor i

Model se jednostavnije prikazuje u matričnom obliku:

$Q=AQ+P$

gde je:

$Q$ — vektor kolona proizvodnje dimenzije n

$A$ — kvadratna matrica tehničkih koeficijanata dimenzija (n x n)

$P$ — vektor kolona finalne tražnje dimenzije n

Proizvod matrice A i vektora Q je vektor kolona dimenzije n, koja pokazuje apsolutni obim isporuka sektora i sektoru j, koji odgovara datoj tehnologiji i datom obimu proizvodnje u sektoru j.

Rešavanjem ove matrične jednačine za komplikone sistem dobija se proizvodnja u svakom sektoru, koja je potrebna da bi se podmirila egzogeno određena tražnja:

$Q=(I-A)^{-1}P$

gde je:

$(I-A)^{-1}$ matrica sektorskih multiplikatora dimenzija (n x n), koji pokazuju koliko je, direktno i indirektno, potrebno proizvoda sektora i po jedinici proizvodnje u sektoru j da bi se obezbedio dati vektor finalne potrošnje. Nalažnje inverzne matrice može biti veoma dugačko i mučno, čak i uz upotrebu računara, zbog čega se koriste aproksimativne metode za njihovo nalaženje, pri čemu se matrica multiplikatora može iskazati u sledećem obliku:

$(I-A)^{-1}=(I+A+A_{2}+A_{3}+....)$

gde elementi matrice A pokazuju direktnu zavisnost između sektora, dok elementi ostalih matrica (A2, A3, ...) pokazuju indirektne veze između sektora.

U kasnijem periodu Leontijev je postavio temelje i objavio (1953) dinamički međusektorski model:

$Q_{t}=AQ_{t}+B(Q_{t+1}-Q_{t})+(1+r)^{t}P_{0}$

gde je:

$A$ — kvadratna matrica tehničkih koeficijanta reda (n x n)

$P_{0}$ — vektor kolona početnog nivo agregatne tražnje reda n

$r$ — egzogeno određena konstantna stopa rasta agregatne tražnje

$B$ — kvadratna matrica marginalnih kapitalnih koeficijenata reda (n x n). Elementi ove matrice pokazuju vrednost investicionih dobara, koju sektor i treba da isporuči sektoru j da bi se generisao određeni prirast proizvodnje u sektoru j:

$b_{ij}={\frac {I_{ijt}}{Q_{jt+1}+Q_{jt}}}$

Osim što je postavio teorijsku osnovu ulazno-izlazne analize, Leontijev je sastavio prve tabele za američku privredu, a zatim i aktivno sarađivao na njihovoj izradi zajedno sa Biroom za statistiku rada. NJegova metodološka rešenja su korišćena u programu redovnih statističkih istraživanja državnih institucija.

Prednost ulazno-izlazne metode sastoji se u sveobuhvatnosti podataka, koji pružaju mogućnost analize direktnih i indirektnih efekata promena u jednom sektoru na druge sektore privrede, a mana metode je to što pretpostavka o konstantnoj stopi prinosa i fiksnim tehničkim koeficijentima ne odgovara stvarnosti, niti svaki sektor proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, niti su svi proizvodi u jednom sektoru identični. Osim toga, zbog kompleksnosti tabela potrebno je izvesno vreme za njihovu izradu, tako da postiji vremenski pomak između trenutka prikupljanja podataka i njihovog objavljivanja, što ograničava primenu modela u praksi. Zbog toga se table rade samo u određenim višegodišnjim razmacima ili sporadično. U cilju prevazilaženja ovog problema, razvijene su različite numeričke metode, kojima se na osnovu ograničenog skupa podataka ažurira celokupna tabela. Kod dinamičkih tabela, postoji još veći problem oko prikupljanja podataka, pa se za njihovu izradu koriste pojednostavljeni modeli, zbog čega takvi još više odstupaju od realnog privrednog mehanizma.

Nakon višegodišnjeg zastoja, ponovo su aktuelizovani modeli svetske privrede sa ulazno-izlaznom analizom, kako pri modelovanju specifičnih pojava, tako i za proveru konsistentnosti drugih modela na nivou sektora. Najnovija baza podataka OECD sadrži ulazno izlazne tabele za 28 zemalja članica. Primene ulazno-izlazne analize obuhvataju procenu efekata stvaranja zone slobodne trgovine između SAD i Australije, kao i procenu efekata NAFTA sporazuma o spoljnoj trgovini (engl. North American Free Trade Agreement). Tokom poslednjih godina vrlo je intenzivna i njena primena na modeliranje ekoloških tokova.

Ulazno-izlazna analiza je po svom objavljivanju vrlo brzo bila prihvaćena i u bivšim socijalističkim zemljama, za različite svrhe: analizu spoljne trgovine, kretanje sistema cena, uticaj tehnoloških promena, ekologije u tržišnim privredama, odnosno za planiranje, zbog čega je kasnije preovladalo mišljenje da je ovakva analiza neadekvatna. Bivša Jugoslavija pripadala je grupi zemalja koje su prve izradile ulazno-izlaznu tabelu. Prva eksperimentalna tabela objavljena je 1957. godine, sa podacima za 1955. Od početka, 60-ih godina izrada tabela sa dvogodišnjom periodikom, uključena je u redovan program statističkih istraživanja, a povremeno su rađene i na nivou republika. Poslednja redovna ulazno-izlazna tabela za Srbiju odnosi se na 1987. godinu. S obzirom na intenzitet strukturnih promena, ove su tabele na našim prostorima postale potpuno neupotrebljive za analizu funkcionisanja savremene privrede na početku 21. veka.

Komparativna statička analiza

Uporedna ili komparativna statika se bavi upoređivanjem različitih statičkih stanja. Promenom vrednosti početnih parametara i egzogenih promenljivih, iz početne ravnoteže, ako je moguće dolazi se u neko novo ravnotežno stanje. Komparativna analiza po prirodi može biti kvalitativna, u koliko se samo razmatra smer promena endogenih promenljivih (njihovo povećanje ili smanjenje) ili kvantitativna, kada se razmatraju i veličine promena, zbog čega kvantitativna u sebi uvek sadrži i kvalitativnu analizu. U komparativnoj analizi, glavni pojmovi su: stopa promene ravnotežnih stanja i derivacija, koja u matematičkom smislu obuhvata diferencijalni račun.

Koeficijent razlika

Ako se promena (varijacija) neke promeljnive $y$ posmatra u zavisnosti od neke druge promenljive $x$:

$y=f(x)$

kada se neka promenljivla $x$ promeni od početne vrednosti $x_{0}$ do vrednosti $x_{1}$, onda se njena promena označava pomožu izraza

$\Delta {x}=x_{1}-x_{0}$

Odnosno:

$x_{1}=\Delta {x}+x_{0}$

promena promeljnive $y$ računa za date vrednosti promenljive $x$,

$\Delta {y}=f(x_{1})-f(x_{0})$

onda se odnosom:

${\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}={\frac {f(\Delta {x}+x_{0})-f(x_{0})}{\Delta {x}}}$

meri prosečna stopa promene promenljive $y$ funkciji od $x_{0}$ i $\Delta {x}$ Koeficijent razlike eliminiše upotrebu mernih jediica i pokazuje odstupanja u obliku neimenovanog broja, najčešće u procentima. Koristi se u slučajevima kada su promenljive izražene u različitim jedinicama mere.

Kritika matematičkoj ekonomiji

Jedan broj stručnjaka iz oblasti ekonomije smatra da je pretvaranje ekonomske u tehničku nauku, koja teži ka matematičkoj formalizaciji, gde se u obzir uzimaju isključivo matematički merljivi parametari, posledica vladavine neoliberalizma, ideologije koja se zalaže za slobodno tržište, idividualizam i privatnu svojinu. Oni kritički gledaju na težnju da se ekonomija pretvori u univerzalnu nauku, bez bilo kakvih geografskih i istorijskih specifičnosti, kao što se to može učiniti sa matematikom i fizikom, čije su zakonitosti jednako primenljive svuda u svetu. Za svoje tvrdnje navode primere da su većina danas ekonomski najbogatijih država, istovremeno i najveći pobornici slobodnog tržišta, kakvo se sada „natura“ i svim drugim državama, u svom nastanku imale sasvim drugačiji pristup. Naime, većina danas razvijenih država su u svom nastanku, da bi zaštitile sopstvene nacionalne interese, uvodile potpuno suprotne ekonomske mere, od onih za koje se danas zalažu, kao što su carine, državne subvencije i restrikcije u trgovini s inostranstvom. Navodeći primere iz prošlosti, oni su došli do zaključka da svaka država ima svoje specifičnosti i da se ekonomska analiza za svaku pojedinačno ne može svesti samo na opštevažeće matematičke zakonitosti. Osim toga, oni ističu da se današnji ekonomisti sreću i sa drugim problemima, vezanim za neoliberalizam i matematički pristup analize, kao što je uska specijalizovanost stručnjaka, koja onemogućava sagledavanje ekonomskih procesa, predviđanje ili pronalaženje odgovarajućeg rešenja. Takođe, smatraju da će tendencije stručnjaka iz oblasti ekonomije, koje potenciraju matematički pristup, vremenom morati da se promene, s obzirom da su rezultati njihovih dosadašnjih analiza doveli do katastrofalnih posledica u ekonomijama pojedinih država i značajno doprineli ekonomskoj krizi na globalnom nivou.

Ekonometrija

Matematičku ekonomiju treba razlikovati od ekonometrije, koja se bavi merenjem ekonomskih podataka, dok matematička ekonomija pruža alatku za njihovu analizu. Matematička ekonomija i ekonometrija su podjednako bitne u teoriji odlučivanja. Međutim, dok se matematička ekonomija formalizuje ekonomske modele, koje ekonomska teorija pretpostavlja, ekonometrija primenjuje statističke metode na stvarne podatke da bi ocenila modele koje ekonomska teorija pretpostavlja.

Spoljašnje veze

• (en) Texas A&M University : „Mathematical Economics, ECMT 660“ Arhivirano 2013-03-19 na Wayback Machine-u, Dr. Guoqiang Tian, pristup 22.5.2013