Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка

Пусть даны два пространства с $\sigma$ -конечными мерами $\left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2$ . Обозначим через $\left(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2}\right)$ их произведение. Пусть функция $f\colon X_{1}\times X_{2}\to \mathbb {R}$ интегрируема относительно меры $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ . Тогда

функция $x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)$ определена $\mu _{1}$ -почти всюду и интегрируема относительно $\mu _{1}$ ;
функция $x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)$ определена $\mu _{2}$ -почти всюду и интегрируема относительно $\mu _{2}$ ;
имеют место равенства

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)

и

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right).

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2$ — вероятностные пространства, и $X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R}$ — случайная величина на $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})$ . Тогда

\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть $f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R}$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a,\;b]\times [c,\;d]$ , то есть $f\in \mathbb {R} (D)$ . Тогда

\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.

Доказательство

Любое разбиение $\lambda$ множества $[a,\;b]\times [c,\;d]$ получено некоторыми разбиениями $\lambda _{x}$ отрезка $X=[a,\;b]$ и $\lambda _{y}$ отрезка $[c,\;d]$ , при этом объём любого прямоугольника $X_{i}\times Y_{j}$ определяется $V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot \left|Y_{j}\right|$ , где $X_{i},Y_{j}$ ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла

\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)

и нижних и верхних интегральных сумм функции ${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)$ и ${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$ :
${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$
${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
Тогда при интегрируемости $f$ по $X\times Y$ , то есть равенстве $\sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$ из вышеуказанных оценок интеграл $(*)$ также существует и имеет такое же значение, как и $\iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$