Меандр (математика)

Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая без самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз. Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку мостами в нескольких местах.

Меандр

Если задана ориентированная прямая L на плоскости R², меандр порядка n — это замкнутая кривая без самопересечений на R², которая поперечно пересекает прямую в 2n точках для некоторого положительного n. Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему. Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L в себя, а один меандр в другой.

Пример

Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:

Меандровые числа

Число различных меандров порядка n называется меандровым числом M_n. Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность A005315 в OEIS).

M₁ = 1

M₂ = 2

M₃ = 8

M₄ = 42

M₅ = 262

M₆ = 1828

M₇ = 13820

M₈ = 110954

M₉ = 933458

M₁₀ = 8152860

M₁₁ = 73424650

M₁₂ = 678390116

M₁₃ = 6405031050

M₁₄ = 61606881612

M₁₅ = 602188541928

Меандровые перестановки

Меандровая перестановка
(1 8 5 4 3 6 7 2)

Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве {1, 2, …, 2n} и определяется меандровой системой следующим образом:

• Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечаются целыми числами, начиная с 1.
• Кривая с точки пересечения, помеченной 1, ориентируется вверх.
• Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом ориентированной кривой через помеченные точки.

На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической нотации, её не следует путать с линейной нотацией.

Если π является меандровой перестановкой, то π² состоит из двух циклов, одна содержит все чётные элементы, другая — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называется чередующимися перестановками (не путать с чередующимися в смысле возрастания-убывания). Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой не является.

Открытый меандр

Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскости R², открытый меандр порядка n — это ориентированная кривая без самопересечений на R², которая пересекает прямую в n точках для некоторого положительного целого числа n. Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:

Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:

Открытые меандровы числа

Число различных открытых меандров порядка n называется открытым меандровым числом m_n. Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность A005316 в OEIS).

m₁ = 1

m₂ = 1

m₃ = 2

m₄ = 3

m₅ = 8

m₆ = 14

m₇ = 42

m₈ = 81

m₉ = 262

m₁₀ = 538

m₁₁ = 1828

m₁₂ = 3926

m₁₃ = 13820

m₁₄ = 30694

m₁₅ = 110954

Полумеандр

Если дан ориентированный луч R на плоскости R², полумеандр порядка n — — это непересекающаяся кривая в R², которая пересекает луч в n точках для некоторого положительного n. Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:

Полумеандровые числа

Количество различных полумеандровых чисел порядка n называется полумеандровым числом M_n (обычно обозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность A000682 в OEIS).

M₁ = 1

M₂ = 1

M₃ = 2

M₄ = 4

M₅ = 10

M₆ = 24

M₇ = 66

M₈ = 174

M₉ = 504

M₁₀ = 1406

M₁₁ = 4210

M₁₂ = 12198

M₁₃ = 37378

M₁₄ = 111278

M₁₅ = 346846

Свойства меандровых чисел

Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:

M_n = m_2n−1

Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:

M_n ≤ M_n ≤ M_2n

Для n > 1 меандрические числа чётны:

M_n ≡ 0 (mod 2)

Ссылки

• «Approaches to the Enumerative Theory of Meanders» by Michael La Croix
• Статья «Меандры» в журнале Квант авторства В. И. Арнольда