Диполь (электродинамика)

Дипо́ль (фр. dipôle, от греч. di(s) «дважды» + polos «ось», «полюс», буквально — «дву(х)полюсность») — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего слоя поля на такие системы.

Типичный и стандартный пример диполя — два заряда, равные по величине и противоположные по знаку, находящиеся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением при стремлении расстояния между зарядами к нулю при сохранении произведения величины заряда на расстояние между зарядами — постоянным (или стремящимся к конечному пределу; эта константа или этот предел будет дипольным моментом такой системы).

Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка^[1].
Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

размеры создающей или излучающей поле системы (области, содержащей заряды) малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Дипольный момент системы

Электрический диполь

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Произведение вектора ${\vec {l}},$ проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов $q\,,$ называется дипольным моментом: ${\vec {d}}=q{\vec {l}}.$

Во внешнем электрическом поле ${\vec {E}}$ на электрический диполь действует момент сил ${\vec {d}}\times {\vec {E}},$ который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна $-{\vec {E}}\cdot {\vec {d}}.$ (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя — его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием $R$ как $R^{-3},$ то есть быстрее, чем у точечного заряда ( $E\sim R^{-2}$ ).

Дипольное приближение для электростатического поля нейтральной системы

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом ${\vec {d}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {r}}_{i},$ где $q_{i}$ — заряд $i$ -го элемента, ${\vec {r}}_{i}$ — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

В точечном приближении, поле, создаваемое диполем в точке с радиус-вектором ${\vec {r}}$ даётся следующим соотношением:

{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3{\vec {r}}({\vec {r}},{\vec {d}})-{r^{2}}{\vec {d}}}{r^{5}}}

Дипольное приближение для электростатического поля не-нейтральной системы

Не электрически нейтральная система очевидным образом может быть представлена как сумма (суперпозиция) электрически нейтральной системы и точечного заряда. Для этого достаточно поместить куда-то внутрь системы точечный заряд, противоположный ее суммарному заряду, и в ту же точку еще один точечный заряд, равный ее суммарному заряду. После чего рассматривать первый заряд вместе с остальной системой (ее дипольный момент будет очевидно равен дипольному моменту, вычисленному по формуле, приведенной выше, если за начало координат взять положение добавленного точечного заряда: тогда сам добавленный заряд не войдет в выражение). Второй же точечный заряд даст кулоновское поле.

То есть, вдалеке от такой системы электростатическое поле, создаваемое ею, в дипольном приближении будет суммой (суперпозицией) кулоновского поля, создаваемого зарядом этой системы $Q=\sum _{i}q_{i},$ условно помещенного в некоторую точку внутри системы зарядов, и поля диполя с моментом ${\vec {d}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {r}}_{i},$ , где радиус-векторы берутся от положения заряда $Q.$ Нетрудно показать при этом и что такое поле в дипольном приближении не зависит от произвольно (но обязательно внутри системы зарядов или очень близко к ней) выбранного положения точечного заряда $Q,$ поскольку поправка в нужном порядке будет компенсироваться изменением вычисленного дипольного момента (ведь перемещение положения заряда $Q$ на некоторое ${\vec {D}}$ эквивалентно наложению диполя с моментом $Q{\vec {D}}$ ).

Магнитный диполь

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» — магнитных монополей. Эта аналогия условна, так как магнитные заряды не обнаружены. В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади $S\,,$ по которой течёт ток $I\,.$ При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину ${\vec {\mu }}=IS{\vec {n}},$ где ${\vec {n}}$ — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента ${\vec {M}}$ , действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного $U$ диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент ${\vec {m}}$ и вектор магнитной индукции ${\vec {B}}$ :

{\vec {M}}={\vec {m}}\times {\vec {B}},

U=-{\vec {m}}\cdot {\vec {B}}.

Поле колеблющегося диполя

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем $\mathbf {d} (t),$ находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях (ближняя зона)

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

\mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} ,\mathbf {d} )-\mathbf {d} }{R^{3}}}+{\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} ,{\dot {\mathbf {d} }})-{\dot {\mathbf {d} }}}{cR^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} (\mathbf {n} ,{\ddot {\mathbf {d} }})-{\ddot {\mathbf {d} }}}{c^{2}R}}

\mathbf {B} =\left[{\frac {\dot {\mathbf {d} }}{cR^{2}}}+{\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{Rc^{2}}},\mathbf {n} \right]=\left[\mathbf {n} ,\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {d} }{R^{3}}}\right],

где $\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {R} }{R}}$ — единичный вектор в рассматриваемом направлении, $c$ — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

\mathbf {Z} =-{\frac {1}{R}}\cdot \mathbf {d} \left(t-{\frac {R}{c}}\right).

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что $\mathbf {d}$ является функцией одной переменной. Тогда

\mathbf {E} =-\operatorname {rot} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {Z} ,

\mathbf {B} =-{\frac {1}{c}}\operatorname {rot} \,{\dot {\mathbf {Z} }}.

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

\mathbf {A} =-{\frac {\dot {\mathbf {Z} }}{c}},~~\phi =\operatorname {div} \,\mathbf {Z} .

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от $\mathbf {d} ,$ так как

{\frac {\dot {\mathbf {d} }}{c}}\approx {\frac {d}{\lambda }},

{\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{c^{2}}}\approx {\frac {d}{\lambda ^{2}}}.

Выражения для полей в системе СГС принимают вид

\mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}R}}[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ],~~\mathbf {H} =[\mathbf {n} ,\mathbf {E} ],

\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}R}}\left[[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ],\mathbf {n} \right],~~\mathbf {E} =[\mathbf {B} ,\mathbf {n} ].

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол $d\Omega$ равна

dI=c{\frac {H^{2}}{4\pi }}R^{2}d\Omega ,

поэтому для дипольного излучения

dI={\frac {1}{4\pi c^{3}}}[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ]^{2}d\Omega ={\frac {{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}}{4\pi c^{3}}}\sin ^{2}{\theta }d\Omega .

где $\theta$ — угол между векторами ${\ddot {\mathbf {d} }}$ и $\mathbf {n} .$ Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что $d\Omega =2\pi \,\sin {\theta }\,d\theta ,$ проинтегрируем выражение по $d\theta$ от $0$ до $\pi .$ Полное излучение равно

I={\frac {2}{3c^{3}}}{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}.

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора ${\ddot {\mathbf {d} }}$ на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

d{\mathcal {E}}_{\omega }={\frac {4\omega ^{4}}{3c^{3}}}\left|\mathbf {d} _{\omega }\right|^{2}{\frac {d\omega }{2\pi }}.

См. также

Примечания

↑ Для случая электростатики, магнитостатики и т.п. это означает сохранение в потенциале членов со степенями радиус-вектора от диполя к точке наблюдения −1 и −2; в случае же чисто дипольного поля (когда система источников имеет нулевой суммарный заряд) только степени −2.

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Ахманов С. А., Никитин С. Ю., «Физическая оптика», 2004.

[1] Для случая электростатики, магнитостатики и т.п. это означает сохранение в потенциале членов со степенями радиус-вектора от диполя к точке наблюдения −1 и −2; в случае же чисто дипольного поля (когда система источников имеет нулевой суммарный заряд) только степени −2.

[1]