Лагранжиан

Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ динамической системы, является функцией обобщённых координат $\ \varphi _{i}(s)$ и описывает развитие системы. Например, уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,$

где действие — функционал ${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

а $\varphi _{i}$ — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные),$\ s_{j}$ обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком — ещё электрические или другие физические параметры. Названа в честь Жозефа Луи Лагранжа.

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера – Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.

Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения уравнений геодезических и проблема Плато.

Через преобразование Лежандра лагранжиан связан с гамильтонианом (в котором за основу берутся импульсы). На гамильтониане основана гамильтонова формулировка классической механики.

Пример из классической механики

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

${\frac {1}{2}}\,m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),$

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, ${\vec {x}}$ — радиус-вектор частицы, $m$ — её масса и $V$ — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа будет иметь вид

$m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,$

где $\nabla V$ — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу $F$ в терминах потенциала ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$, тогда мы получим уравнение ${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}$, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению ${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами $r$, $\theta$, $\varphi$ с лагранжианом

${\frac {m}{2}}\,({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$

можно получить следующие уравнения Эйлера – Лагранжа:

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.$

Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы

Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан свободной частицы в теории относительности совпадает (с точностью до знака) со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского (то есть со скоростью изменения собственного времени), умноженной на массу частицы $m$ и на квадрат скорости света $c$:

${\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$

где $v$ — обычная трёхмерная скорость частицы.

Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).

Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля

• В классической и квантовой теории поля делают различие между лагранжианом L, через который действие выражается как интеграл только по времени

$S=\int {L\,dt},$

и плотностью лагранжиана ${\mathcal {L}}$, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному (а в некоторых теориях и более многомерному) пространству-времени:

$S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.$

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.

• В последнее время плотность лагранжиана ${\mathcal {L}}$ часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.

Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные ${\vec {x}}$ в индекс $i$ или в параметры $s$ в $\varphi _{i}(s)$. Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах ${\mathcal {L}}$. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электромагнитный лагранжиан

В этом разделе речь идёт о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих разделах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории).

Электростатика

Электростатика — физика статических (то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным потенциалом, и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике.

В классической механике лагранжиан есть

${\mathcal {L}}=T-V,$

где $T$ — кинетическая энергия и $V$ — потенциальная энергия.

Для заряженной частицы массой $m$ и зарядом $q$, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом $\varphi \$, кинетическая энергия задаётся выражением

$T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$ — для одной частицы (для многих берётся сумма).

Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как

$V=q\varphi \$ для одного точечного заряда (для многих суммируется),

или

$V=\int \rho \varphi \ dxdydz$ — в виде для непрерывного распределения заряда.

(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц, записываясь как:

$T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,$

где $\varkappa$ — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.

Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:

${\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},$

(каждый член его выписан выше).

• Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.

Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом, легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):

$\nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho$

и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):

$m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .$

Электродинамика

Трёхмерная формулировка

В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):

$V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,$

или

$V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,$

где $c$ — скорость света, $v$ — скорость частицы, j — вектор плотности тока, А — векторный потенциал.

Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля:

$T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,$

где векторы напряжённости электрического поля E и напряжённости магнитного поля H следует считать выраженными через скалярный потенциал $\varphi$ и векторный потенциал А:

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},$

$\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .$

Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

$L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.$

или

$L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c}})dxdydz+T_{s}.$

Здесь в качестве лагранжиана вещества $T_{s}$ можно использовать приближённое выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц

$T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля и т. д., что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.

При варьировании действия с этим лагранжианом по φ и по $A_{x},A_{y},A_{z}$ (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:

$d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},$

где p — (трёхмерный) импульс частицы, $\mathbf {F} _{L}$ — сила Лоренца (включая электрический член).

Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см. далее).

Четырёхмерная формулировка

В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (при использовании системы единиц c = 1):

$L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.$

Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:

$S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.$

(Член $L_{s}$ — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).

Здесь $F^{ik}$ — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), $A_{i}$ — 4-потенциал, $j^{i}$ — четырёхмерная плотность тока, $x^{i}$ — 4-координата точки в области, в которой проводится интегрирование; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.

Варьированием по $A_{i}$ легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:

$\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},$

а варьированием по $x^{i}$ — уравнение движения для частицы:

$dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,$

где $p_{i}=mu_{i}$ — 4-импульс, $u^{k}$ — 4-скорость.

Лагранжиан квантовой теории поля

Лагранжиан квантовой теории поля (КТП) в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или корректно проинтерпретировать их; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом приближение стационарной фазы (стационарного действия) — то есть найдя классическое приближение описания системы.

Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они используются в КТП, представляя в определённом отношении её основу.

Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для квантовой электродинамики (КЭД):

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{D}\!\!\!\!/\ -m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },$

где $\psi$ — спинор (четырёхмерный), ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ — его дираковское сопряжение, $F^{\mu \nu }$ — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная и ${D}\!\!\!\!/\$ — обозначение Фейнмана для $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$.

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для дираковского поля

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{\partial }\!\!\!/\ -m)\psi .$

Лагранжиан квантовой хромодинамики

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики

${\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}({D}\!\!\!\!/+m_{n})\psi _{n},$

где $D_{\mu }$ — калибровочная ковариантная производная КХД и $F^{\alpha }{}_{\mu \nu }$ — тензор напряжённости глюонного поля.

Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа

В классической механике необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Лагранжа является $det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\right\|_{j,k=1}^{n}\neq 0$.

Ссылки

• Christoph Schiller. Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain (2005)
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

Литература

Исторические публикации

• Ж. Лагранж. Аналитическая механика. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — 594 с.

Курсы теоретической физики

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.