Cinematică: Diferență între versiuni

← Diferența anterioară Diferența următoare →

Conținut șters Conținut adăugat

Aliniat

Versiunea de la 9 iunie 2022 21:58

Cinematica (în lb. greacă κινεῖν, kinein, a se mișca) este o ramură a mecanicii clasice ce se ocupă cu studiul mișcării obiectelor fără a lua în considerație cauza ce duce la această mișcare.

Cinematica nu trebuie confundată cu altă ramură a mecanicii clasice, dinamica (care studiază relația între mișcarea obiectelor și cauza care o determină).

Mișcarea liniară

Poziție, deplasare, și distanță

Poziția unui punct în spațiu este locația sa relativă față de o origine.

Cinematica punctului material

Punctul material

Prin punctul material se înțelege un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în descrierea mișcării sale. Posibilitatea acestei neglijări depinde de condițiile concrete ale diferitelor probleme studiate. Astfel, planetele pot fi considerate puncte materiale când se studiază mișcarea lor în jurul Soarelui, dar nu și când se studiază mișcarea lor în jurul axei proprii.

Vectorul de poziție

Poziția unui punct material este determinată de vectorul de poziție $\mathbf {r}$ , ce unește originea sistemului de coordonate cu punctul material considerat și ale cărui componente coincid cu coordonatele carteziene $x,\,y,\,z,\,$ $\mathbf {r} _{A}=(x_{A},y_{A},z_{A})$ ale acestui punct: ${\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}\ .$ Mărimea acestui vector este: $|\mathbf {r} |={\sqrt {x_{A}^{\ 2}+y_{A}^{\ 2}+z_{A}^{\ 2}}}\ .$

Mișcarea și repausul

Viteza punctului material

Viteza unui punct material este un vector definit prin relația:

{\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\ .

Vectorul ${\vec {v}}$ este orientat după tangenta la traiectoria punctului material.

Accelerația

Accelerația unui punct material este dată de expresia:

{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}\ .

Vectorul accelerație nu este tangent la traiectorie (exceptând cazul mișcării rectilinii).

Deplasarea

Deplasarea reprezintă un vector care descrie schimbarea poziției unui punct material în decursul unei perioade de timp. Din punct de vedere geometric, deplasarea reprezintă cea mai scurtă distanță dintre două puncte, fiind independentă de cadrul referențial. Dacă punctul $A$ are vectorul de poziție $\mathbf {r} _{A}=(x_{A},\,y_{A},\,z_{A})$ și punctul $B$ are vectorul de poziție $\mathbf {r} _{B}=(x_{B},\,y_{B},\,z_{B})$ , atunci deplasarea $\mathbf {r} _{AB}$ de la $A$ la $B$ este dată de expresia:

\mathbf {r} _{AB}=(x_{A}-x_{B},\,y_{A}-y_{B},\,y_{A}-y_{B})\ ,

și având modulul:

||\mathbf {r} _{AB}||={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}\ .

Distanța

Distanța este o mărime scalară, care descrie lungimea drumului parcurs de un punct material între două repere. Dacă poziția punctului este cunoscută în funcție de timp ( $\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$ ), distanța $s$ parcursă de la timpul $t_{1}$ la timpul $t_{2}$ este:

s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|d\mathbf {r} |=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ds=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}\;dt\ .

Mișcarea de rotație

Sisteme de coordonate

Restricții în cinematică

Vezi și

Traiectorie

@@ Linia 2: / Linia 2: @@
 '''Cinematica''' (în [[limba greacă veche|lb. greacă]] {{politonic|κινεῖν}}, ''kinein'', a se mișca) este o ramură a [[mecanică clasică|mecanicii clasice]] ce se ocupă cu studiul mișcării obiectelor fără a lua în considerație cauza ce duce la această mișcare.
-''Cinematica'' nu trebuie confundată cu altă ramură a mecanicii clasice, [[dinamică|dinamica]] (care studiază relația între mișcarea obiectelor și cauza care o determină.
+''Cinematica'' nu trebuie confundată cu altă ramură a mecanicii clasice, [[dinamică|dinamica]] (care studiază relația între mișcarea obiectelor și cauza care o determină).
 == Mișcarea liniară ==
@@ Linia 12: / Linia 12: @@
 == Cinematica punctului material ==
 === Punctul material ===
-Prin [[punct material|punctul material]] se înțelege un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în descrierea mișcării sale. Posibilitatea acestei neglijări depinde de condițiile concrete ale diferitor probleme studiate. Astfel, [[planetă|planetele]] pot fi considerate puncte materiale când se studiază mișcarea lor în jurul [[Soare]]lui, dar nu și când se studiază mișcarea lor în jurul axei proprii.
+Prin [[punct material|punctul material]] se înțelege un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în descrierea mișcării sale. Posibilitatea acestei neglijări depinde de condițiile concrete ale diferitelor probleme studiate. Astfel, [[planetă|planetele]] pot fi considerate puncte materiale când se studiază mișcarea lor în jurul [[Soare]]lui, dar nu și când se studiază mișcarea lor în jurul axei proprii.
 === Vectorul de poziție ===
-Poziția unui punct material este determinată de vectorul de poziție '''r''', ce unește originea [[sistem de coordonate|sistemului de coordonate]] cu punctul material considerat și ale cărui componente coincid cu [[coordonate carteziene|coordonatele carteziene]] ''x, y, z'' (:<math>\mathbf{r}_A = (x_A,y_A,z_A),</math> ale acestui punct:
+Poziția unui punct material este determinată de vectorul de poziție <math>\mathbf{r}</math>, ce unește originea [[sistem de coordonate|sistemului de coordonate]] cu punctul material considerat și ale cărui componente coincid cu [[coordonate carteziene|coordonatele carteziene]] <math>x, \, y, \, z, \,</math> <math>\mathbf{r}_A = (x_A,y_A,z_A)</math> ale acestui punct:<math display="block">\vec r = x \vec i+ y \vec j + z \vec k \ .</math>Mărimea acestui vector este:<math display="block">|\mathbf{r}| = \sqrt{x_A^{\ 2} + y_A^{\ 2} + z_A^{\ 2}} \ .</math>
-::<math> \vec r = x \vec i+ y \vec j + z \vec k. </math>
-Mărimea acestui vector este :<math>|\mathbf{r}| = \sqrt{x_A^{\ 2} + y_A^{\ 2} + z_A^{\ 2}}.</math>.
 === Mișcarea și repausul ===
 === Viteza punctului material ===
 Viteza unui punct material este un vector definit prin relația:
-::<math> \vec v = \frac {d \vec r}{dt}. </math>
+::<math> \vec v = \frac {d \vec r}{dt} \ . </math>
-Vectorul '''v''' este orientat după [[tangentă (geometrie)|tangenta]] la traiectoria punctului material.
+Vectorul <math>\vec{v}</math> este orientat după [[tangentă (geometrie)|tangenta]] la traiectoria punctului material.
 === Accelerația ===
 Accelerația unui punct material este dată de expresia:
-::<math> \vec a = \frac {d \vec v}{dt} = \frac {d^2 \vec r}{dt^2} </math>
+::<math> \vec a = \frac {d \vec v}{dt} = \frac {d^2 \vec r}{dt^2} \ . </math>
 Vectorul accelerație nu este tangent la traiectorie (exceptând cazul mișcării rectilinii).
 === Deplasarea ===
-[[Deplasare (geometrie)|Deplasarea]] reprezintă un vector care descrie schimbarea poziției unui punct material în decursul unei perioade de timp. Din punct de vedere geometric, deplasarea reprezintă cea mai scurtă distanță dintre două puncte, fiind independentă de cadrul referențial. Dacă punctul ''A'' are vectorul de poziție '''r'''<sub>''A''</sub> = (''x<sub>A</sub>'',''y<sub>A</sub>'',''z<sub>A</sub>'') și punctul ''B'' are vectorul de poziție '''r'''<sub>''B''</sub> = (''x<sub>B</sub>'',''y<sub>B</sub>'',''z<sub>B</sub>''), atunci deplasarea '''r'''<sub>''AB''</sub> de la ''A'' la ''B'' este dată de expresia
+[[Deplasare (geometrie)|Deplasarea]] reprezintă un vector care descrie schimbarea poziției unui punct material în decursul unei perioade de timp. Din punct de vedere geometric, deplasarea reprezintă cea mai scurtă distanță dintre două puncte, fiind independentă de cadrul referențial. Dacă punctul <math>A</math> are vectorul de poziție<math>\mathbf{r}_A = (x_A,\, y_A,\,z_A)</math> și punctul ''<math>B</math>'' are vectorul de poziție <math>\mathbf{r}_B = (x_B,\, y_B,\,z_B)</math>, atunci deplasarea <math>\mathbf{r}_{AB}</math> de la ''<math>A</math>'' la ''<math>B</math>'' este dată de expresia:
+:<math>\mathbf{r}_{AB} = (x_A-x_B, \, y_A-y_B, \, y_A-y_B) \ , </math>
-:saasds
 și având modulul:
-::<math>|| \mathbf{r}_{AB} || = \sqrt {(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}. </math>
+:<math>|| \mathbf{r}_{AB} || = \sqrt {(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \ . </math>
 === Distanța ===
-Distanța este o mărime scalară, care descrie lungimea drumului parcurs de un punct material între două repere. Dacă poziția punctului este cunoscută în funcție de timp ({{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''(''t'')}}), distanța ''s'' parcursă de la timpul ''t''<sub>1</sub> la timpul ''t''<sub>2</sub> este
+Distanța este o mărime scalară, care descrie lungimea drumului parcurs de un punct material între două repere. Dacă poziția punctului este cunoscută în funcție de timp (<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math>), distanța <math>s</math> parcursă de la timpul <math>t_1</math> la timpul <math>t_2</math> este:
-:<math>s = \int_{t_1}^{t_2} |d\mathbf{r}| =  \int_{t_1}^{t_2} ds =\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\; dt.</math>
+:<math>s = \int_{t_1}^{t_2} |d\mathbf{r}| =  \int_{t_1}^{t_2} ds =\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\; dt \ .</math>
 == Mișcarea de rotație  ==