Ecuația lui Dirac: Diferență între versiuni
Conținut șters Conținut adăugat
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.2 |
m →Bibliografie: wl |
||
| (Nu s-au afișat 37 de versiuni intermediare efectuate de alți 7 utilizatori) | |||
Linia 8:
==Electronul liber==
Funcția de stare relativistă a electronului are forma
:<span style="padding-right:4em" id="f1"><math>\left( 1 \right)</math></span><math>\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{pmatrix} \, ,</math>
:<span style="padding-right:4em" id="f2"><math>\left( 2 \right)</math></span><math>\left ( \phi , \psi \right ) \ = {\phi_1}^* \psi_1 + {\phi_2}^* \psi_2 + {\phi_3}^* \psi_3 + {\phi_4}^* \psi_4 \, .</math>
Linia 37:
:<span style="padding-right:4em" id="f5"><math>\left( 5 \right)</math></span><math>\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0 ,\quad \alpha_i \beta + \beta \alpha_i = 0 ,\quad \left( i ,\, j = 1 ,\, 2 ,\, 3 ;\quad i \ne j \right) \, ,</math>
iar pătratele lor sunt ''[[matrice unitate|matricea unitate]]'':
:<span style="padding-right:4em" id="f6"><math>\left( 6 \right)</math></span><math>{\alpha_1}^2 = {\alpha_2}^2 = {\alpha_3}^2 = {\beta}^2 = 1 \, .</math>
Linia 101:
:<span style="padding-right:4em" id="f16"><math>\left( 16 \right)</math></span><math>\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \boldsymbol{\sigma} \\ \boldsymbol{\sigma} & \mathbf{0} \end{pmatrix} \, , \quad \beta = \begin{pmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{1} \end{pmatrix} \, ,</math>
unde <math>\boldsymbol{\sigma} = \{ \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 \} \,</math> sunt [[Spin_½_și_matricile_lui_Pauli#Matricile_lui_Pauli|matricile lui Pauli]], '''1''' e matricea unitate, iar '''0''' e [[matrice nulă|matricea cu toate elementele zero]]. Se obține [[sistem de ecuații liniare|sistemul liniar]] omogen de patru ecuații cu patru necunoscute (componentele spinorilor <math>\phi</math> și <math>\chi</math>)
:<span style="padding-right:4em" id="f17"><math>\left( 17 \right)</math></span><math>\begin{matrix} \left( mc^2-E \right) \phi + c\left( \boldsymbol{\sigma} \mathbf{p} \right) \chi = 0 \, ,\\ c\left( \boldsymbol{\sigma} \mathbf{p} \right) \phi - \left( mc^2+E \right) \chi = 0 \, .\end{matrix}</math>
Linia 157:
==Electronul în câmp extern==
Electronul liber este un concept idealizat; electronul real are o sarcină electrică (negativă prin convenție) și este supus acțiunii câmpului electromagnetic. Pentru un electron care interacționează cu un câmp electromagnetic descris de potențialul vector <math>\mathbf{A} \left( \mathbf{x} , t \right)\,</math> și potențialul scalar <math>\Phi \left( \mathbf{x} , t \right)</math> trebuie luate în considerare contribuțiile câmpului la
:<span style="padding-right:4em" id="f20"><math>\left( 20 \right)</math></span><math>\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p} - \frac{e}{c} \mathbf{A} \,,\quad H \rightarrow H + e \Phi \,,</math>
Linia 179:
:<span style="padding-right:4em" id="f24"><math>\left( 24 \right)</math></span><math>\mathbf{j} = c \left ( \psi , \boldsymbol \alpha \psi \right )</math>
sunt interpretate ca [[densitate de probabilitate]], respectiv densitate a curentului de probabilitate, pentru localizarea electronului. Densitatea de probabilitate, care e pozitiv definită, trebuie să fie normată la unitate în volumul la care e limitată mișcarea particulei. <ref>Țițeica, p. 576.</ref>
===Conjugarea de sarcină===
Linia 323:
|}
Datele experimentale privitoare la structura fină a nivelelor de energie ale atomilor hidrogenoizi sunt în substanțial acord cu aceste rezultate, însă acordul nu e perfect. În [[1947]], [[Willis Lamb]] și Robert Retherford au detectat o diferență între energiile stărilor 2s<sub>1/2</sub> și 2p<sub>1/2</sub> ale hidrogenului. Cunoscută sub numele de ''deplasare Lamb'', această ridicare a degenerării este o „corecție radiativă” la teoria Dirac uniparticulă, explicată de electrodinamica cuantică.
===Ecuația lui Dirac într-un spațiu-timp general relativist===
Abordarea ecuației lui Dirac într-un spațiu-timp general relativist prezintă interes din cauza posibilelor efecte cuantice în câmpuri gravitaționale intense, care pot să existe în vecinătatea și interiorul găurilor negre, precum și în câmpurile gravitaționale, generate în cazul Universului incipient, după [[Big Bang]]. Totuși, în acest caz există dificultăți considerabile de ordin matematic și tehnic, din cauză că derivata covariantă a spinorului necesită o definiție separată. Problema a fost abordată încă la sfârșitul anilor '20 ai secolului al XX-lea și a fost soluționată cu succes în<ref>V.A. Fok, D.D. Ivanenko, Zs f. Phys., 1929, Vol.54, p.798</ref><ref>V.A. Fok, D.D. Ivanenko, Comptes Rendue, 1929, vol.188, p.147</ref>, vezi și <ref>A. Eddington, Relativity theory of protons and electrons, Cambridge University Press, 1936</ref>. Ulterior, aceasta a permis separarea variabilelor și soluționarea ecuațiilor radiale ale ecuației Dirac, în cele mai simple cazuri<ref>A. Eddington,Relativity theory of protons and electrons, Cambridge University Press, 1936 </ref><ref>D.R. Brill, J.A. Wheeler, Rev. Mod. Phys., 1957, vol.29, p.465</ref>, cum ar fi cel al [[Soluția Schwarzschild|Soluției Schwarzschild]], sau un Univers sferic în expansiune (spatiul Friedman- Lemaitre- Robertson- Walker). Actualmente au fost dezvoltate metode numerice de rezolvare a ecuației Dirac în câmp gravitațional<ref>Peter Collas, David Klein,The Dirac equation in Curved spacetime. A guide for calculations, Springer , Springer briefs in Physics, 2019</ref>. Rezultate notabile au fost obținute și de cercetătorii români<ref>I.I. Cotaescu,C. Crucean, C.Sporea, Partial wave analysis of the Dirac fermions, scattered from Schwarzschild Black Holes, Eur. Phys.J., 2016, C76: 102, pp.1- 19.</ref><ref>I. Dobrescu, A.Gaina,Dirac equation in a Schwarzschild space- time in a Eddington- Finkelstein coordinates, Rom. J. Phys, 1994, vol.39, p.99</ref>. Cel mai spectaculos rezultat obținut pe cale analitică în acest caz este calculul secțiunilor eficace de absorbție pentru electroni pe o gaura neagră Schwarzschild microscopică cu raza gravitațională mult mai mică decât lungimea de undă a electronilor.<ref>W. Unruh,Absorption cross section of small black holes, Phys. RevD, 1976,vol.14, p.3251 </ref> Totuși, în cazul unor metrici complicate, cum ar fi cea a lui [[Roy Patrick Kerr|Kerr]], metodele și rezultatele obținute pe această cale sunt destul de modeste. În acest cazuri, este nevoie să se aplice procedura de separare a variabilelor, dezvoltată pe baza formalismului Newman- Penrose de către [[Astrofizică|astrofizician]]ul indian [[Subrahmanyan Chandrasekhar]].
===Ecuația lui Dirac în câmp slab gravitațional===
În cazul când procesele fizice în care sunt implicați fermionii (în speță electronii) au loc la distante relativ mari de raza gravitațională a corpului gravific, de exemplu, de zeci ori mai mari decât Rg= 2GM/c^2, atunci se poate dezvolta o aproximație a câmpului gravitațional în care metrica este dezvoltată într-o serie după parametrul G/c^2. Ecuația lui Dirac, în acest caz, capătă o expresie relativ simplă, care este tratabilă cu metode cunoscute din [[electrodinamica cuantică]]. Istoric, aceasta aproximație a fost dezvoltată de către fizicianul rus [[Matvei Bronștein]] în anul [[1936]]<ref>M. Bronștein, Cuantificarea undelor gravitaționale, Jurnal Eksperimental'noi i teoreticeskoi fiziki, 1936, vol. 6,p. 195</ref> cu scopul de a deduce producția de "gravitoni" (a cuantelor câmpului gravitațional cu spin s=2), și de a o compara cu puterea radiației undelor gravitaționale emise de către un sistem binar de stele, în rezultatul emiterii de unde gravitaționale, calculată de [[Albert Einstein]] încă de la începuturile [[Teoria relativității generale|teoriei relativității generale]] și cunoscută ca „formula cuadrupolară”. Din motive politice, Matvei Bronștein a fost arestat în anul [[1935]], lucrarea sa fiind interzisă în [[URSS]] de către regimul lui [[Iosif Vissarionovici Stalin|Stalin]], iar după război, altor fizicieni li s-a impus să recalculeze și să republice rezultatele obținute anterior de către Bronștein, fără referire la acesta. În anul [[1947]], fizicienii [[Arseni Sokolov]] și [[Dmitri Ivanenko]] au recalculat lucrarea lui Bronștein<ref>D.D. Ivanenko,A.A. Sokolov, Teoria cuantică a gravitației, Vestnik Moskovskogo Universiteta, 1947, N.8, p.103 </ref> și au publicat-o fără referințe la originalul din [[1936]] al lui Bronștein. Ulterior aceeași aproximație a fost dezvoltată de fizicienii sovietici Ivar Piir, Nikolay Mitchevici și Iuri Vladimirov in anii 50-70, vezi de exemplu <ref>N.V.Mitchevici, ''Fiziceskie polia v obshchei teorii otnoditel'noști'', Moskva, Nauka, 1969</ref>, dar pe alocuri au fost comise greșeli de calcul, astfel că a fost nevoie de o reevaluare a acelor rezultate. Aceeași aproximație, care are aplicație la calculul multor procese fizice în câmp slab gravitațional a fost reevaluată de mai multi fizicieni, atât în Vest , cât și în [[România]], astfel că astăzi avem o trecere în revistă cât se poate de completă a acestei aproximații în cartea<ref>Daniel Radu, Ioan Merches, Dorian Tatomir, ''Free and interacting Quantum fields. First order processes on electromagnetic and gravitational intercations'', World Scientific, 2018</ref>.
În paralel cu aceste investigații, aproximația câmpului slab gravitațional a fost dezvoltată de către [[Nicolae Ionescu-Pallas]] și Alex Găină, adaptand-o pentru calculul structurii fine a nivelelor electronilor (fermionilor) în câmp slab [[Soluția Schwarzschild]] și Reissner- Nordstrom<ref> A.B. Gaina, N.I. Ionescu- Pallas, The fine and hyperfine structure of fermionic levels in gravitational fields, Romanian Journal of Physics, 1993, vol. 38, n.7, p.729</ref><ref>Alex Gaina, N.I. Ionescu, Romanian Reports on Physics, 1997, vol.49, p.729</ref>.
==Note==
Linia 331 ⟶ 338:
==Bibliografie==
*Berestetskii, V.B., [[Evgheni Lifșiț |Lifshitz, E.M.]] și Pitaevskii, L.P.: ''Relativistic Quantum Theory – Part I'', Pergamon Press, Oxford, 1971.
*Gottfried, Kurt și Yan, Tung-Mow: ''Quantum mechanics: fundamentals'', ed. 2-a, Springer, 2003. ISBN 0-387-22823-2
*Jackson, John David: ''Classical Electrodynamics'', ed. 3-a, Wiley, New York, 1998. ISBN 0-471-30932-X
Linia 350 ⟶ 357:
==Legături externe==
* [http://www.physics.gla.ac.uk/~dmiller/lectures/RQM_2008.pdf David J. Miller: Relativistic Quantum Mechanics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201219112349/http://www.physics.gla.ac.uk/~dmiller/lectures/RQM_2008.pdf |date=2020-12-19 }}
* [http://www.ecm.ub.es/~espriu/teaching/classes/fae/LECT1.pdf Dirac equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150923233033/http://www.ecm.ub.es/~espriu/teaching/classes/fae/LECT1.pdf |date=2015-09-23 }}
* [http://ebookbrowse.com/dirac-pdf-d343740947 The Dirac Equation – ebookbrowse]
| |||