Tensor de energia-momento
O tensor de energia-momento, também chamado tensor energia-impulso é uma quantidade tensorial em relatividade. Descreve o fluxo de energia e momento e satisfaz a equação de continuidade:
A grandeza
sobre uma seção de tipo espaço dá o quadrivetor energia-momento ou quadrimomento. Este tensor é a corrente de Noether associada às translações no espaço-tempo. Na relatividade geral, esta grandeza atua como a fonte do curvatura do espaço-tempo, e é a densidade de corrente associada às transformações de gauge (neste caso transformações de coordenadas) pelo teorema de Noether. Ainda que, no espaço-tempo curvado, a integral de tipo espaço depende da seção de tipo espaço, em geral. Não há de fato maneira de definir um vetor global de energia-momento num espaço-tempo curvado em geral.
Dedução do tensor a partir de um fluido relativístico
editarA gravitação Newtoniana pode ser descrita por meio de um campo escalar, com a chamada equação de Poisson:
, onde é a densidade.
Na concepção Newtoniana, o estado de movimento da fonte (a massa) não afeta os cálculos porque a velocidade de interação é suposta instantânea. Para modelar essa massa na teoria da relatividade, vamos considerá-la como um fluido em movimento, com densidade variável. Cada partícula de fluido pode estar sujeita a forças da vizinhança. Aplicando a segunda lei de Newton:
A velocidade de um fluido é em geral uma função não só do tempo, mas também das coordenadas espaciais. Analisando o lado direito da equação:
Resultando em:
Para o lado esquerdo, vamos considerar que um pequeno cubo de fluido é sujeito apenas às forças do fluido em suas fronteiras, as tensões multiplicadas pelas áreas. Para a coordenada x:
Onde:
O que, após dividir pelo volume , e no limite em que estes deltas tendem a zero, resulta em:
Igualando as duas expressões para a força por unidade de volume:
Modifica-se agora essa expressão, com o uso da derivada de produto:
E da equação da continuidade:
Resultando em:
O que pode ser condensado, usando novamente as propriedades da derivada de produto, obtendo-se as equações de Euler:
Até agora o fluido foi tratado de forma não relativística. Num tratamento relativístico o fluido tem uma 4-velocidade:
,
Introduzindo a variável :
onde para baixas velocidades, , restaura-se as equações de Euler.
Acrescenta-se uma quarta equação, a própria equação da continuidade, agora em sua versão relativística:
Essas expressões sugerem um tensor onde os termos com um dos índices zero são:
E os demais termos, apenas com índices espaciais:
De tal modo que as expressões possam ser sintetizadas numa única equação:
No caso mais geral de espaços-tempo curvos, as derivadas parciais devem ser substituídas pelas derivadas covariantes:
assim definido é o tensor de energia momento. [1]
Tensores relacionados
editarA parte tridimensional do tensor energia-momento coincide com o tensor tensão da mecânica de meios contínuos.
Exemplos
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