Energia mecânica

Energia mecânica é, resumidamente, a capacidade de um corpo produzir trabalho. Também podemos interpretá-la como a energia que pode ser transferida por meio de uma força. A energia mecânica total de um sistema é a soma da energia cinética, relacionada ao movimento de um corpo, com a energia potencial, relacionada ao armazenamento, podendo ser gravitacional ou elástica.

Energia mecânica da bola de basquete sendo transformada, ora em energia potencial gravitacional, energia cinética ou energia potencial elástica. A cada ressalto, parte da energia é dissipada sob a forma de energia térmica e energia sonora

$\ E_{m}=E_{c}+E_{p}$

Se o sistema for conservativo, ou seja, apenas forças conservativas atuarem nele, a energia mecânica total conserva-se e é uma constante de movimento. A energia mecânica $E_{m}$ que um corpo possui é a soma da sua energia cinética $E_{c}$ com sua energia potencial $E_{p}$.

Uma força é classificada como sendo conservativa quando o trabalho realizado por ela para mover um corpo de um lugar a outro é independente do percurso, isto é, do caminho escolhido. Esclarecendo: para carregar um saco de batatas e o transportar morro acima, o caminho escolhido pode ser mais longo, caminhando-se circularmente ou seguindo um caminho mais curto e reto, mas através de uma ladeira íngreme. A força gravítica é conservativa. Um exemplo de força não conservativa é a força de atrito, que também é chamada de força dissipativa.

Pela lei da conservação da energia, se um corpo está apenas sob a ação de forças conservativas, a sua energia mecânica ($E_{m}=E_{c}+E_{p}$) conservar-se-á. Isso equivale a dizer, neste caso, que se a energia cinética de um corpo aumentar, a energia potencial deve diminuir e vice-versa, de modo a manter $E$ constante.

Considere que uma bola de massa $m=0,6\ kg$ na mão de uma pessoa está a uma altura $h=4\ m$ do chão. A sua energia potencial é $U=mgh=24$ joules, sendo $g=10\ {\frac {m}{s^{2}}}$, a aceleração da gravidade. Nesse lugar, como a bola está parada, a sua velocidade é igual a $0$, e portanto a sua energia cinética também é igual a zero, ou seja $K={\frac {1}{2}}mv^{2}=0$. Assim, a sua energia mecânica total é $E=24\ J$. Ao ser lançada, essa bola atinge o solo e a sua altura ficará igual a $0$, e consequentemente a sua $U=0$. Como há conservação da energia mecânica, a energia cinética da bola no solo é $K=24\ J$. Deste valor podemos obter a componente escalar da velocidade instantes antes de a bola atingir o solo, ou seja $v=8,94\ {\frac {m}{s}}$. Quanto maior a altura de onde é lançada a bola, maior a velocidade atingida ao chegar ao solo. Vale também o contrário, isto é, quanto maior a velocidade, maior a altura atingida. Assim, se um atleta quiser saltar uma boa altura $h$, é preciso correr muito para atingir uma velocidade alta. É isso que fazem os atletas que praticam salto em altura, salto tríplice e saltos com evoluções em ginástica olímpica.

Equações

A energia mecânica de um sistema conservativo é dada por:$$\ E_{m}=E_{c}+E_{p}$$sendo:

$\ E_{c}$, a energia cinética;

$\ E_{p}$, a energia potencial.

Energia cinética

O trabalho feito por uma força $\mathbf {F}$ ao longo de um caminho C é calculado pela seguinte integral:

$\operatorname {W} _{c}=\int _{c}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$

Segundo o teorema do trabalho e da energia cinética:

$\operatorname {W} _{c}=\Delta E_{c}$

Energia cinética de translação

A definição da energia cinética de translação é obtida mediante a resolução

da integral que define o trabalho:

$\operatorname {W} _{c}=\int _{c}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$.

Usando a definição de força e a regra da cadeia, modifica-se o integrando e a variável de integração de modo a resolver a integral:

$\int _{c}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{c}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot d\mathbf {r} =\int _{c}d\mathbf {p} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\int _{c}d\mathbf {p} \cdot \mathbf {v}$,

em que $\mathbf {p}$ é o momento linear do objeto e $\mathbf {v}$ é sua velocidade. Tomemos a definição de momento linear:

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

Diferenciando a expressão e a substituindo na integral:

$d\mathbf {p} =md\mathbf {v}$

$\int _{c}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int _{c}\mathbf {v} \cdot md\mathbf {v}$

Finalmente, resolve-se a integral:

$\operatorname {W} _{c}=\int _{v_{0}}^{v}m{v'}d{v'}={\frac {mv'^{2}}{2}}|_{v_{0}}^{v}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}$

Define-se a energia cinética, portanto, como:

$E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}$

O resultado da integração acima leva-nos à igualdade entre o trabalho e a variação da energia cinética:

$\operatorname {W} _{c}=\Delta E_{c}$

Energia cinética de rotação

$E_{cr}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

Energia potencial

Energia Potencial Gravitacional: $\ E_{pg}=mgh$

Energia Potencial Elástica: $\ E_{pelastica}={\frac {kx^{2}}{2}}$

Energia Potencial Elétrica: $\ E_{peletrica}={\frac {U}{q}}$

Energia Potencial: Soma de todas as energias potenciais

Equações diferenciais

No formalismo que descreve a Mecânica, existem algumas equações diferenciais:

$dW=dT$

$dW=-dV$

onde $W$ é o trabalho, $T$ a energia cinética e $V$ a energia potencial. No caso de a diferencial dW não ser exata, pode-se dizer que o trabalho W não depende do percurso.

Se a força é conservativa, resulta:

$dT+dV=0$

$T+V=constante$

Dessa maneira, percebe-se que a energia mecânica não varia ao longo do "caminho".

Mecânica quântica

Tratando-se de física quântica, o formalismo dado à mecânica muda um pouco. As leis da física são vistas de maneira diferente no caso de uma escala próxima ao núcleo atómico. As equações que regem a dinâmica dos corpos (formalismo Hamiltoniano e Lagrangiano), são substituídas pela equação de Schrödinger:

${\hat {H}}\psi =E\psi$

onde $H$ é o operador Hamiltoniano, $\psi$ a função de onda e $E$ a energia do estado $\psi$. É importante ressalvar que a equação de Schrödinger pode tomar a forma dependente e independente do tempo. Para isso, deve lembrar-se que:

Operador Hamiltoniana: ${\hat {H}}={\hat {E_{c}}}+{\hat {E_{p}}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\hat {V}}(r)$

Operador momento: ${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}\nabla$

Operador Potencial: ${\hat {V}}(r)=V(r)$

Energia: $E=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ (no caso dependente do tempo)

Assim, no caso da equação independente do tempo, tem-se:

${\frac {-\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\psi (r)+V(r)\psi (r)=E\psi (r)$ (equação independente do tempo)

Já no caso da dependente do tempo tem-se:

${\frac {-\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,t)+V(r)\psi (r,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (r,t)$ (equação dependente do tempo)

Exemplos

Nesta seção serão dados alguns exemplos do cálculo da energia mecânica.

Partícula livre

No caso de uma partícula livre, sabe-se que a energia potencial $E_{p}$ é nula. Assim, a energia mecânica é escrita como: $\ E_{m}=E_{c}={\frac {p^{2}}{2m}}$

onde $p$ é o momento linear da partícula e $m$ sua massa.

Oscilador harmônico

No caso de uma partícula em um oscilador harmônico, a energia potencial pode ser escrita como:

$E_{p}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

com $\omega$ sendo a velocidade angular e $x$ a posição da partícula. Assim, a energia mecânica do sistema é dada por:

$\ E_{m}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

Atração gravitacional

No caso de uma partícula de massa $m_{1}$ em um potencial gravitacional gerado por outra partícula de massa $m_{2}$, pode-se escrever a energia mecânica do sistema como

$\ E_{m}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {G.m_{1}.m_{2}}{d}}$

onde $G$ é a constante da gravitação universal e $d$ a distância entre os corpos.

Pêndulo simples

Animação de um pêndulo simples mostrando seu movimento, assim como os vetores velocidade (verde) e aceleração (azul). Note como a altura máxima atingida não muda, pois a energia mecânica no sistema se conserva, alternando-se entre a forma potencial (pontos mais altos) e a cinética (ponto mais baixo).

Em um pêndulo simples, a energia mecânica do sistema será igual à energia potencial gravitacional inicial, que é proporcional à altura da qual ele será solto. Durante o movimento de descida, a energia potencial converte-se continuamente em energia cinética devido ao trabalho realizado pela força gravitacional (peso). Quanto o corpo atinge o ponto mais baixo, toda a energia potencial foi transformada em cinética, correspondendo ao ponto de velocidade máxima do pêndulo. Uma vez passado esse ponto, o corpo começa sua subida e o processo inverso se inicia: a energia cinética se transformando em potencial gravitacional até que o corpo pare totalmente, na mesma altura em que foi solto do outro lado.

A energia mecânica do sistema de um pêndulo simples é dada pela expressão a seguir:

$\ E_{mec}=mgh+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

Em que $mgh$ é a energia potencial gravitacional e ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ é a energia cinética associadas à massa do pêndulo. Pelo princípio da Conservação da Energia Mecânica, essa soma permanece constante ao longo do tempo, ou seja, quando a energia cinética aumenta, a potencial tem que diminuir e vice-versa.

Legenda

• $k$ =constante elástica
• $g$ =aceleração da gravidade (~9,81 m/s²) (constante)
• $E_{c}$ =energia cinética
• $m$ =massa (kg)
• $I$ =Momento de Inércia (kg*m²)
• $\omega$ (letra grega ômega) = velocidade angular (rad/s)
• $w$ =trabalho (J)
• $E_{pg}$ =energia potencial gravitacional
• $E_{peletrica}$=energia potencial elétrica
• $E_{pelastica}$ =energia potencial elástica
• $h$ =altura (m)
• $v$ =velocidade (m/s)
• $x$ =elongação ou deformação da mola