Conjunto

coleção matemática bem definida de objetos distintos

Conjunto é um conceito-chave primitivo[nota 1] do ramo matemático da Teoria dos Conjuntos.[1] A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.[2]

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro. [3]

Importância

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Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemática

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É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por:

  1. extensão: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
  2. compreensão: definindo uma propriedade[4] de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
  3. representação gráfica: usando Diagramas de Venn.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um certo conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:  

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:   Um certo conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.[2] O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:  

ou ainda:  

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciais

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  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se   é um elemento do conjunto   podemos dizer que o elemento   pertence ao conjunto   e podemos escrever  . Se   não é um elemento de  , nós podemos dizer que o elemento   não pertence ao conjunto   e podemos escrever  


Subconjuntos próprios e impróprios

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Diagrama de Venn para  
 Ver artigo principal: Subconjunto

Se   e   são conjuntos e todo o elemento   pertencente a   também pertence a  , então o conjunto   é dito um subconjunto do conjunto  , denotado por  . Note que esta definição inclui o caso em que   e   possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( , é equivalente a   e  ). Se   e ao menos um elemento pertencente a   não pertence a  , então   é chamado de subconjunto próprio de  , denotado por  . Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio

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 Ver artigo principal: Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elemento. Ele é representado pelos símbolos   ou  . Nunca use para demonstrar um conjunto vazio esta representação  , pois ela indica que há um elemento dentro deste conjunto o que o torna um conjunto unitário. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por  ou  .

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais, uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade

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 Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem   elementos, onde   é um número natural (incluindo o 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com cardinalidade, ou número cardinal  .

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser   (aleph-0),  

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto   é denotada por  . Se para dois conjuntos   e   é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então  

Conjunto potência ou das partes

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 Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado   é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de  , denotado por   O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado   finito, com   elementos, prova-se que o número de subconjuntos, isto é, o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de   é   ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de   é igual a   Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de   e o conjunto   é usual representar-se   por  

O Teorema de Cantor estabelece que  

Produto cartesiano

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 Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

 

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

 

Operações com conjuntos

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De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação Operador Definição Exemplo
União   A união (ou reunião) de dois conjuntos   e   é o conjunto   composto dos elementos que pertencem a um dos conjuntos   ou   ou a ambos. A união de N conjuntos   é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos  . A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por  .
 
 
Interseção   A interseção de dois conjuntos   e   é o conjunto   composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos   e  . A definição formal da interseção é  .
 
 
Complementar   ou   O complemento   (ou  ) de um conjunto   se refere aos elementos que não estão no conjunto  . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um conjunto universo  , isto é, o complemento de   em relação a  . É o mesmo que    . O conjunto   é formado pelos elementos de   que não pertencem a  , formalmente definida por  
 
 
Diferença   ou   A diferença   (ou    ) entre dois conjuntos   e   é o conjunto dos elementos que pertencem a   e que não pertencem a   A diferença entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por  .
 
 

Em uma expressão que envolve mais de dois conjuntos, deve-se seguir um conjunto de regras[5] para estabelecer a ordem de execução das operações:

  1. Da mesma forma que com números, faz-se primeiramente o que está entre parênteses. Se houver mais de um conjunto de parênteses, resolve-se de dentro para fora;
  2. Em seguida, calcula-se os complementos;
  3. As operações de união, interseção e diferença possuem a mesma prioridade. Desta forma, deve-se utilizar parênteses para indicar qual operação deve ser executada primeiro. Dito isso, uma expressão como   não possui solução definida, visto que  .

Conjuntos compostos por números

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Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo   usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
  2. Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  3. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo   usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
  4. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo   usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  5. Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo   ou a operação   usualmente representa este conjunto.
  6. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  7. Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo   ou a operação   usualmente representa este conjunto.
  8. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo   usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
  9. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  10. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários:   O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  11. Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas:   O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  12. Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  13. Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz   e   Os números complexos hiperbólicos são da forma   Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  14. Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos   usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
  15. Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
  16. Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.

Ver também

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Wikilivros
O wikilivro Matemática elementar tem uma página intitulada Conjuntos

Referências

  1. Iezzi, Gelson, 1939- (2013). Fundamentos de matemática elementar. Conjuntos e Funções. v. 1. São Paulo: Atual. pp. 18–19. ISBN 9788535716801. OCLC 940080590. Consultado em 27 de janeiro de 2020 
  2. a b LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 2. ISBN 9788524401183
  3. Conjuntos
  4. Menezes, Paulo Blauth (2008). Matemática Discreta para Computação e Informática 2ª ed. Porto Alegre: Bookman. p. 3, 38-39. ISBN 978-85-7780-269-2 
  5. Wladis, Claire. «Compound operations on sets». Math 100 Online. Página inicial do curso: http://www.cwladis.com/math100/begincourse.html. Consultado em 12 de setembro de 2020 

Notas

  1. Conceito primitivo: axioma, abstração, noção aceita sem definição absoluta
 
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