Przejdź do zawartości

Transformata Gelfanda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha przyporządkowanie

dane wzorem

gdzie jest elementem zbioru tj. należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry o wartościach w ciele liczb zespolonych[1]. W zbiorze wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry ). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra ma jedynkę[2]. Otoczenia bazowe danego punktu z przestrzeni Gelfanda są postaci

gdzie jest skończonym podzbiorem Zbiór

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci gdzie i są elementami algebry

Transformata Gelfanda

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Zbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro Т. Гамелин (T. Gamelin): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973, s. 13–14. (ros.).
  2. Przestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z Gamelin, op. cit., s. 16.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
  • Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303–318.
  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
  • Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.).