Sumator (układ logiczny)

Sumator – cyfrowy układ kombinacyjny, który wykonuje operacje dodawania dwóch (lub więcej) liczb dwójkowych. Sumatory można podzielić na:

szeregowe (ang. serial adder): podczas każdej operacji dodają one dwa bity składników oraz bit przeniesienia;
równoległe (ang. parallel adder): wielopozycyjne, dodają do siebie jednocześnie bity ze wszystkich pozycji, a przeniesienie realizowane jest w zależności od sposobu połączenia sumatorów jednobitowych. Każdy sumator charakteryzuje się typem ukończenia:
1. Sumator pełny (ang. full adder)
2. Sumator półpełny (ang. half adder).

Każdy pełny sumator pełny składa się z dwóch sumatorów półpełnych.

Sumatory równoległe z kolei obejmują dwie grupy:

z przeniesieniami szeregowymi (ang. ripple-carry adder),
z przeniesieniami równoległymi (ang. carry look-ahead adder).

Teoria

Tablica prawdy dla sumatora półpełnego i 1-bitowego sumatora pełnego:

Wejścia		Wyjścia
$a_{i}$	$b_{i}$	$c_{i}$	$s_{i}$
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Wejścia			Wyjścia
$a_{i}$	$b_{i}$	$c_{i-1}$	$c_{i}$	$s_{i}$
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

gdzie:

$a_{i}$ – pierwszy składnik sumy,
$b_{i}$ – drugi składnik sumy,
$c_{i-1}$ – przeniesienie z poprzedniej pozycji,
$s_{i}$ – suma,
$c_{i}$ – przeniesienie.

Wyrażenia boolowskie opisujące sumę i przeniesienie:

s_{i}=c_{i-1}\oplus a_{i}\oplus b_{i},

c_{i}=a_{i}b_{i}+c_{i-1}(a_{i}\oplus b_{i}).

Wprowadza się jeszcze oznaczenia:

g_{i}=a_{i}b_{i}

– grupa generacyjna,

p_{i}=a_{i}\oplus b_{i}

– grupa propagacyjna.

Można wówczas zapisać przeniesienie:

c_{i}=g_{i}+c_{i-1}p_{i}.

Sumator z przeniesieniami szeregowymi

Sumator ten zbudowany jest z bloków funkcjonalnych, które realizują funkcje $s_{i}$ i $c_{i}.$ Bloki są połączone kaskadowo (ang. ripple), tzn. wyjście $c_{i}$ jest łączone z wejściem $c_{i+1}$ bloku następnego.

Aby na przykład otrzymać bit sumy $s_{4},$ uprzednio muszą zostać wyznaczone sygnały przeniesień $c_{1},$ $c_{2}$ oraz $c_{3},$ ponieważ $c_{3}$ zależy od $c_{2},$ a ten zależy od $c_{1}.$ Czas otrzymania ostatecznego wyniku jest więc ograniczony od dołu przez $n$ × czas generacji przeniesienia $c,$ gdzie $n$ to liczba elementarnych bloków, z których zbudowanych jest sumator.

Sumator z przeniesieniami równoległymi

W sumatorze z przeniesieniami równoległymi bity przeniesień są wyznaczane równolegle. Wyrażenia opisujące $c_{i}$ są rekursywnie rozwijane, tzn. występujący w nich składnik $c_{i-1}$ jest zastępowany stosownym wyrażeniem, np.:

c_{0}={\textrm {const}},

c_{1}=g_{1}+c_{1-1}p_{1}=g_{1}+c_{0}p_{1},

c_{2}=g_{2}+c_{2-1}p_{2}=g_{2}+c_{1}p_{2}=g_{2}+(g_{1}+c_{0}p_{1})p_{2}.

Układ buduje się z dwóch głównych części:

bloków wyznaczających sumę $s_{i}$ oraz grup generacyjnych $g_{i}$ i propagacyjnych $p_{i}$ (które są liczone niezależnie);
bloku generującego przeniesienia zgodnie z rozwiniętymi wyrażeniami.

W praktyce buduje się 4-bitowe sumatory tego typu, ze względu na znaczne skomplikowanie wyrażeń (a więc i obwodów elektrycznych bloku nr 2).

Sumator z przeniesieniami równoległymi jest ok. 20–40% szybszy niż sumator z przeniesieniami szeregowymi.

Zobacz też