Wektory i wartości własne
Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.
Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy[1], wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora przestrzeni spełniony jest warunek
gdzie jest pewnym skalarem, to nazywa się wektorem własnym[2], a nazywa się wartością własną przekształcenia [3].
Danej wartości własnej operatora odpowiada zbiór
który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej
Często zakłada się, że jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
- Jeżeli jest wartością własną operatora to (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
- Liczba jest wartością własną operatora wtedy i tylko wtedy, gdy operator nie jest różnowartościowy.
- Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
- Jeśli macierz potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
- Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Przestrzenie skończenie wymiarowe
[edytuj | edytuj kod]Przekształcenie liniowe skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.
Endomorfizmowi na skończeniewymiarowej przestrzeni odpowiada macierz kwadratowa a jego wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tej macierzy.
gdzie jest macierzą jednostkową.
Mając wartości własne można obliczyć odpowiadające im wektory własne rozwiązując równania postaci
ze względu na wektory
Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.
Równanie całkowe jednorodne Fredholma
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a na przedziale oraz niech będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze
Można wykazać, że odwzorowanie dane wzorem
jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy to jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Wektor własny macierzy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ Wektor własny przekształcenia liniowego, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ Wartość własna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Szymon Charzyński, Wprowadzenie do wartości własnych i wektorów własnych, kanał Khan Academy na YouTube, 21 grudnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
- Paweł Lubowiecki, Przekształcenia liniowe cz. V. Wartości własne i wektory własne, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].