Transformacja Fouriera

Wykresy dwóch funkcji rzeczywistych oraz ich transformaty Fouriera. Drugi sygnał, przesunięty w czasie względem pierwszego, pomimo identycznej postaci, ma inną transformatę Fouriera

Transformacja Fouriera – transformacja całkowa, która przyjmuje funkcję rzeczywistą $f(t),t\in R$ jako daną wejściową i wyprowadza funkcję o wartościach zespolonych, która opisuje stopień, w jakim w funkcji wejściowej występują funkcje zespolone $f_{\omega }=e^{-i\omega t}$. Transformatą Fouriera nazywa się funkcję, która powstaje w wyniku działania transformacji Fouriera.

Zastosowanie transformacji Fouriera do określenia składowych akordu C dur fortepianu. Pierwsze trzy piki od lewej odpowiadają podstawowym częstotliwościom C, E, G. Pozostałe są wyższymi harmonicznymi.

Przykładowo, obliczanie transformaty Fouriera trwającego jakiś czas sygnału akustycznego oznacza obliczanie amplitud składowych zespolonych tego dźwięku (por. wykresy transformaty obok dla funkcji schodkowych).

Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym działającym na przestrzeni funkcyjnej funkcji zmiennej rzeczywistej i dokonującym rozkładu danej funkcji $f$ w bazie ortonormalnej zespolonych funkcji eksponencjalnych $f_{\omega }=e^{-i\omega t},\omega \in R$ poprzez liczenie iloczynów skalarnych danej funkcji z funkcjami bazy.

Transformacja Fouriera została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera.

Definicja transformacji Fouriera w postaci zespolonej dla funkcji jednej zmiennej

Podana tu zostanie definicja transformacji Fouriera w postaci zespolonej. Obok tej postaci występują także postacie całkowe transformaty Fouriera, wyrażone przez funkcje rzeczywiste sinus i cosinus, bez użycia jednostki urojonej; postacie te można otrzymać z transformaty Fouriera w postaci zespolonej; nie omawia jednak tego zagadnienia ten artykuł.

Założenia - warunki Dirichleta

Zakładamy, że funkcja $f$ spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta, tj. jest to funkcja rzeczywista $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , określona na skończonym przedziale $(a,b)$ oraz

1. $f(t)$ jest przedziałami monotoniczna w przedziale $(a,b)$ - tzn. jest w nim ograniczona i można podzielić ten przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna (czyli funkcja ta ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych),
2. $f(t)$ jest ciągła w przedziale $(a,b)$ z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek

   $f(t_{0})={\tfrac {1}{2}}[f(t_{0+})+f(t_{0-})$

Uwagi:

1. Całkowalność funkcji, gwarantowana przez spełnienie warunków Dirichleta, jest istotnym wymogiem w obliczaniu transformaty Fouriera, która opiera się na obliczaniu całek. (Ten sam wymóg dotyczy szeregów Fouriera, bowiem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wyrażone za pomocą całek.)
2. Dla funkcji okresowej warunki Dirichleta wystarczy zbadać na dowolnym przedziale $(a,a+T)$ o długości równej okresowi funkcji $T$.
3. Warunki Dirichleta są to warunki wystarczające do tego, by dla funkcji, która je spełnia, istniała całka Fouriera i szereg Fouriera. Jednak nie są to warunki konieczne - istnieje klasa funkcji, które nie spełniają warunków Dirichleta, a mimo to mają całkę i szereg Fouriera. Także dla funkcji uogólnionych, tzw. dystrybucji (np. delta Diraca), które mają istotne znaczenie w obliczeniach fizyki cząstek elementarnych, definiuje się transformaty Fouriera.

Transformacja z dziedziny czasu w dziedzinę pulsacji

Transformacja z dziedziny czasu $t$ w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $\omega$ ma postać

${\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

gdzie:

$f(t)$ – funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,

${\hat {f}}(\omega )$ – transformata Fouriera (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,

$i$ - jednostka urojona

Transformacja odwrotna

Transformacja odwrotna zadana jest całką

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

- pozwala odtworzyć funkcję pierwotną z jej widma.

Widmo amplitudowe i fazowe

Transformatę ${\hat {f}}(\omega )$ funkcji rzeczywistej $f(t)$ można zapisać następująco:

${\hat {f}}(\omega )=|{\hat {f}}(\omega )|\cdot e^{i\theta (\omega )}\,,\quad \quad |\theta (\omega )|\leq \pi$

Używa się następujących nazw:

• ${\hat {f}}(\omega )$ - charakterystyka widmową (gęstością widma, krótko: widmo) funkcji $f(t)$
• $|{\hat {f}}(\omega )|$ - charakterystyka amplitudowa (widmo amplitudowe) funkcji $f(t)$
• $\theta (\omega )$ - charakterystyka fazowa (widmo fazowe) funkcji $f(t)$

Widmo amplitudowe jest funkcją rzeczywistą; można je obliczyć ze wzoru:

$|{\hat {f}}(\omega )|={\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}$

Widmo fazowe jest funkcją rzeczywistą; można je obliczyć ze wzorów

$\cos \theta (\omega )={\frac {Re({\hat {f}}(\omega )}{\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}}$

$\sin \theta (\omega )=-\,{\frac {Im({\hat {f}}(\omega )}{\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}}$

Stąd:

$\theta (\omega )=\operatorname {arctg} {\Big [}{\tfrac {\sin \theta (\omega )}{\cos \theta (\omega )}}{\Big ]}$

Funkcję $e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$ w płaszczyźnie zespolonej reprezentuje wektor o końcu w punkcie $(\cos \omega t,\sin \omega t)$, który obraca się wokół początku układu współrzędnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, gdy rośnie wartość zmiennej $t$. Pokazano też rzut tego wektora na oś rzeczywistą, kreślącego cosinusoidę $y(t)=\cos \omega t$.

Sens transformaty Fouriera jest następujący:

Transformata ${\hat {f}}(\omega )$ jest liczbą zespoloną, której moduł i faza określają amplitudę i fazę składowej o pulsacji $\omega$, wchodzącej w skład sygnału $f(t)$. Obliczenie transformaty Fouriera pozwala więc znaleźć amplitudy i fazy wszystkich takich składowych w sygnale.

Przykład obliczeń wraz w wykresami funkcji, opisujących charakterystyki widmową, amplitudową i fazową podano dalej.

Obracający się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wektor $(\cos t,\sin t)$ ma dodatnią częstotliwość $\omega =+1$ rad/s. Nie pokazano wektora $(\cos(-t),\sin(-t))$ obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, który ma ujemną częstotliwość $\omega =-1$ rad/s. Końce obu wektorów obracają się po okręgu jednostkowym, ale w przeciwnych kierunkach.

Transformacja unitarna Fouriera

Unitarną transformacją Fouriera z dziedziny czasu $t$ w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $\omega$ nazywa się transformacją zadaną wzorem, który różni się od wzoru wyżej podanego jedynie stałą, stojącą przed znakiem całki, tj.

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

Transformacja odwrotna unitarna

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

Komentarz

• Czynnik ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ przed transformatą i transformatą odwrotną występuje umownie; zamiast takiej postaci może występować czynnik ${\tfrac {1}{2\pi }}$ przed transformatą prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
• Jeżeli jednak czynnik wynosi ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}},$ wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni $L^{2}(\mathbb {R} ).$
• Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

Interpretacja ujemnych częstotliwości

W definicji transformaty Fouriera w postaci zespolonej mamy częstotliwości $\omega$ w zakresie od $-\infty$ do $+\infty$, występujące w funkcji $f_{\omega }=e^{-i\omega t}$. W klasycznym rozumieniu teorii dotyczącej drgań i fal częstości kołowe $\omega$ są wielkościami dodatnimi. Co oznaczają więc ujemne wartości częstotliwości? Sytuacja jest tu nieco inna niż w opisie zjawisk drgań i fal za pomocą liczb rzeczywistych, gdzie definiuje się pojęcie częstotliwości. Tu mamy do czynienia z funkcjami $f_{\omega }$ zespolonymi o częstotliwościach $\omega$ z zakresu liczb rzeczywistych. Każda funkcja może być przedstawiona jako obracający się w płaszczyźnie zespolonej wektor (wielkość obrotu zależy od czasu $t$ występującego w każdej takiej funkcji), którego koniec porusza się po okręgu o promieniu równym 1 (tzw. okrąg jednostkowy).

Dla dodatnich wartości $\omega$ wektory $f_{\omega }$ obracają się przeciwnie do wskazówek zegara, dla ujemnych wartości $\omega$ wektory $f_{\omega }$obracają się zgodnie ze wskazówkami zegara.

Piękna ilustrację transformacji Fouriera, w tym sens ujemnych częstotliwości, przedstawia animowane omówienie pt. But what is the Fourier Transform? A visual introduction

Inne oznaczenia

Transformatę Fouriera oznacza się także symbolem

$F(j\omega )\equiv {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

gdzie $j\equiv i$ - jednostka urojona (oznaczenie stosowane często w elektrotechnice, teorii przetwarzania sygnałów)

Oznaczenie to podkreśla, iż mamy do czynienia z transformatą Fouriera w postaci zespolonej. Używa się także symboliki ${\mathcal {F}}^{-1}[F(j\omega )]$ na oznaczenie transformacji odwrotnej; wtedy mamy:

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}[F(j\omega )]$

Przykład obliczania transformaty Fouriera

Transformata Fouriera funkcji $f(t)=t,|t|<1$: jej część rzeczywista, urojona, moduł

Mamy daną funkcję

$f(t)=\left\{{\begin{aligned}&t&&{\text{dla}}~~|t|<1\\&{\tfrac {1}{2}}\cdot {\text{ sgn}}(t)&&{\text{dla}}~~|t|=1\\&0&&{\text{dla}}~~|t|>1\end{aligned}}\right.$

Obliczamy

${\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

czyli

${\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-1}^{1}te^{-i\omega t}dt=\int \limits _{-1}^{1}t\cos \omega t\,dt+i\int \limits _{-1}^{1}t\sin \omega t\,dt$

Część rzeczywista obliczanej transformaty jest równa zeru z uwagi na nieparzystość funkcji $t\cos \omega t$, natomiast część zespolona ma wartość

$\int \limits _{-1}^{1}t\sin \omega t\,dt=2\int \limits _{0}^{1}t\sin \omega t\,dt=-2t{\frac {\cos \omega t}{\omega }}{\Bigg |}_{0}^{1}+{\frac {2}{\omega }}\int \limits _{0}^{1}\cos \omega t\,dt=-2{\frac {\cos \omega }{\omega }}+2{\frac {\sin \omega }{\omega ^{2}}}$

Stąd

${\hat {f}}(\omega )=0+i{\frac {2}{\omega ^{2}}}(\omega \cos \omega -\sin \omega )$

Widmo amplitudowe czyli moduł transformaty ${\hat {f}}(\omega )$:

$|{\hat {f}}(\omega )|={\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}={\Bigg |}{\frac {2}{\omega ^{2}}}(\omega \cos \omega -\sin \omega ){\Bigg |}$

Wyniki obliczeń pokazano na wykresach.

Obliczanie numeryczne transformaty Fouriera

Obliczanie transformaty Fouriera w ogólnym przypadku nie jest proste i wymaga na ogół całkowania numerycznego. Poniżej podano kod programu w języku Python, który liczy zespoloną transformatę Fouriera wg wzoru całkowego i rysuje wykresy jej części rzeczywistej, urojonej oraz modułu.

Użytkownik może ustalić:

1. Definicję funkcji $f(x)$ (linia nr 15)
2. Liczbę $N$ określającą zakres częstotliwości $\omega \in <-N,N>$ (linia nr 32)
3. Program można testować, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online.

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt

''' Definicja funkcji f(t)=t
def f(t):
    if np.abs(t) < 1:
        return t
    elif np.abs(t) == 1:
        return 0.5 * np.sign(t)
    else:
        return 0
'''

# Definicja funkcji f(t) - impuls prostokątny 
def f(t):
    if abs(t-a) < 1:
        return 1
    elif abs(t-a) == 1:
        return 0.5 * np.sign(t)
    else:
        return 0

# Definicja transformacji Fouriera
def fourier_transform(omega):
    integrand = lambda t: f(t) * np.exp(-1j * omega * t)
    real_part = quad(lambda t: np.real(integrand(t)), -np.inf, np.inf)[0]
    imag_part = quad(lambda t: np.imag(integrand(t)), -np.inf, np.inf)[0]
    return real_part + 1j * imag_part

# Zakres częstotliwości omega
N = 10
omega_values = np.linspace(-N, N, 500)
fourier_values = np.array([fourier_transform(omega) for omega in omega_values])

# Wykresy: Re, Im oraz |F(ω)|
plt.figure(figsize=(14, 20))

# Wykres części rzeczywistej
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(omega_values, fourier_values.real, label=r"Re$\{\hat{f}(\omega)\}$", color='blue')
plt.title("Część rzeczywista transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"Re$\{\hat{f}(\omega)\}$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

# Wykres części urojonej
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(omega_values, fourier_values.imag, label=r"Im$\{\hat{f}(\omega)\}$", color='red')
plt.title("Część urojona transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"Im$\{\hat{f}(\omega)\}$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

# Wykres modułu |F(ω)|
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(omega_values, np.abs(fourier_values), label=r"$|\hat{f}(\omega)|$", color='green')
plt.title("Moduł transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"$|\hat{f}(\omega)|$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

plt.tight_layout()
plt.show()

Całki Fouriera jako całki niewłaściwe

Obliczanie transformaty Fouriera zadane jest de facto poprzez całki niewłaściwe, gdyż zmienna $t$ jest określona w granicach od $-\infty$ do $+\infty$. Obliczanie takich całek sprowadza się do liczenia tzw. wartości głównej całki (wg definicji podanej przez Cauchy'ego), tj. do liczenia jej jako granicy z całek obliczonych na skończonym przedziale całkowania:

${\hat {f}}(\omega )=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}f(t)\ e^{-it\omega }\,dt$

Rzeczywiste sygnały zawsze mają skończony czas trwania. Natomiast można je teoretycznie przedłużać do nieskończoności - wtedy ma zastosowanie powyższy wzór.

Także funkcja pierwotna rekonstruowana z jej transformaty ${\hat {f}}(\omega )$ poprzez transformację odwrotną jest zadana przez całkę niewłaściwą, gdyż zmienna $\omega$ jest określona w granicach od $-\infty$ do $+\infty$. I także obliczanie tej całki sprowadza się do liczenia wartości głównej całki, tj. do liczenia jej jako granicy z całek obliczonych na skończonym przedziale całkowania wg wzoru:

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{\omega \to +\infty }\int \limits _{-\omega }^{\omega }{\hat {f}}(u)\ e^{itu}\,du$

Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a

W całce Fouriera funkcje harmoniczne $e^{-i\omega t}=\cos \omega t-i\sin \omega t,\omega \in R$ mnożone są przez sygnał $f(t)$; wynikowa całka dostarcza informacji nt. zawartości poszczególnych harmonicznych, wchodzących w skład sygnału (dokonuje rozkładu sygnału na jego widmo).

Transformacja Laplace’a wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze: Za pomocą całki Laplace'a funkcja rzeczywista $f(t)$, reprezentująca zmieniający się w czasie $t$ sygnał (np. pole elektryczne fali, przychodzącej do odbiornika), jest transformowana na płaszczyznę S ( płaszczyznę zespoloną); dokonuje się to poprzez scałkowanie iloczynu funkcji $f(t)$ z wyrażeniami typu $e^{-st}$ dla czasu $t$ od $-\infty$ do $+\infty$:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt\,;$

przy tym $s=x+i\omega$ jest liczbą zespoloną, stałą w procesie obliczania całki.

Funkcje $e^{-st}$ w całce Laplace'a de facto mają postać $e^{-st}=e^{-xt}\cdot e^{-i\omega t}$. Dzięki temu pozwalają dokonać nie tylko analizy zawartości harmonicznych $e^{-i\omega t}$ w sygnale $f(t)$, ale również efektów zaniku sygnału lub jego wzrastania w czasie, poprzez funkcję $e^{-xt}.$ Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być modelowana za pomocą transformacji Laplace'a. Transformacja Fouriera stanowi więc szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla $s=i\omega .$

Podobnie uogólnieniem dyskretnej transformaty Fouriera stanowi transformata Z, z którą powiązana jest transformata Laplace’a (zob. metoda Tustina).

Własności transformaty Fouriera

W tym rozdziale wprowadzono trzeci sposób definiowania transformaty Fouriera za pomocą częstotliwości $\nu$, przy czym zachodzi związek $\omega ={2\pi }\nu$.

• W przypadku jednowymiarowym funkcja $f$ jest klasy $L^{1},$ czyli jest całkowalna w przedziale $(-\infty ,\infty ).$
• ${\hat {f}}$ jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w $\mathbb {R} ^{n}.$
• Jeśli $g(x)=f(x-\alpha ),$ to ${\hat {g}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\nu }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\alpha )\ e^{-2\pi i(x-\alpha )\nu }e^{-2\pi i\alpha \nu }\,dx=e^{-2\pi i\alpha \nu }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it\nu }\,dt=e^{-2\pi i\alpha \nu }{\hat {f}}(\nu ).$
• Jeśli $\alpha \neq 0$ i $g(t)=f\left({\frac {t}{\alpha }}\right),$ to ${\hat {g}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\nu }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)\ e^{-2\pi i{\frac {x}{\alpha }}(\alpha \nu )}\alpha \,d\left({\frac {x}{\alpha }}\right)=\alpha \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it(\alpha \nu )}\,dt=\alpha {\hat {f}}(\alpha \nu ).$
• ${\widehat {f*g}}={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}{\hat {g}},$ gdzie operacja $*$ oznacza splot funkcji f i g
• Jeśli pochodna funkcji $f$ należy do $L^{1}$ i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że: ${\hat {f'}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)e^{-2\pi ix\nu }\,dx=f(x)e^{-2\pi ix\nu }{\Big |}_{-\infty }^{\infty }+2\pi i\nu \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\nu }\,dx=2\pi i\nu {\hat {f}}(\nu ).$

Właściwości transformat

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f(x)$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\nu }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$
101	$a\cdot f(x)+b\cdot g(x)$	$a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )$	$a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )$	$a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )$	Liniowość
102	$f(x-a)$	$e^{-2\pi ia\nu }{\hat {f}}(\nu )$	$e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )$	$e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )$	Przesunięcie oryginału w dziedzinie „czasu”
103	$e^{2\pi iax}f(x)$	${\hat {f}}\left(\nu -a\right)$	${\hat {f}}(\omega -2\pi a)$	${\hat {f}}(\omega -2\pi a)$	Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości, dualne względem 102
104	$f(ax)$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	Dla dużych wartości $|a|,$ $f(ax)$ zawęża się wokół zera, a ${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$ poszerza się i spłaszcza.
105
106	${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}$	$(2\pi i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )$	$(i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )$	$(i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )$	Transformata pochodnej
107	$x^{n}f(x)$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	Ta właściwość jest dualna względem 106
108	$(f*g)(x)$	${\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )$	${\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )$	${\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )$	Notacja $f*g$ oznacza splot funkcji $f$ i $g$ – tę właściwość określamy jako twierdzenie o splocie
109	$f(x)g(x)$	$({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )$	${\frac {({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}$	${\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega )$	Właściwość dualna względem 108
110	Dla funkcji $f(x)$ rzeczywistej i parzystej	${\hat {f}}(\nu ),$ ${\hat {f}}(\omega )$ w postaci unitarnej oraz ${\hat {f}}(\omega )$ są funkcjami rzeczywistymi i parzystymi.
111	Dla funkcji $f(x)$ rzeczywistej i nieparzystej	${\hat {f}}(\nu ),$ ${\hat {f}}(\omega )$ w postaci unitarnej oraz ${\hat {f}}(\omega )$ są funkcjami urojonymi i nieparzystymi.

Najprzydatniejsze pary transformat

W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak $L^{2}(\mathbb {R} )$ lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratem

W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji.

Uwaga: Tu $x$ oznacza zmienną funkcji pierwotnej $f$, zamiast oznaczenia $t$.

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f(x)$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\nu }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$
201	$\operatorname {rect} (ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\nu }{a}}\right)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	Funkcja prostokątna i normalizowana funkcja sinc, definiowana jako $\operatorname {sinc} (x)=sin(\pi x)/(\pi x)$
202	$\operatorname {sinc} (ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{a}}\right)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	Relacja dualna do 201. funkcja prostokątna jest filtrem dolnoprzepustowym, a funkcja sinc jest odpowiedzią impulsową dla takiego filtra.
203	$\operatorname {sinc} ^{2}(ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\nu }{a}}\right)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	Funkcja $\operatorname {tri} (x)=\lambda (x)$ jest funkcją trójkątną
204	$\operatorname {tri} (ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\nu }{a}}\right)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	Związek dualny względem 203.
205	$e^{-ax}H(x)$	${\frac {1}{a+2\pi i\nu }}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i\omega }}$	$H(x)$ jest funkcją skoku Heaviside’a, $a>0.$
206	$e^{-\alpha x^{2}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi \nu )^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	Funkcja Gaussa $\exp(-\alpha x^{2})$ jest funkcją własną przekształcenia Fouriera dla odpowiednio dobranego $\alpha .$ Funkcja jest całkowalna dla $\mathrm {Re} (\alpha )>0.$
207	$\operatorname {e} ^{-a|x|}$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\nu ^{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	Dla $a>0.$
208	${\frac {J_{n}(x)}{x}}$	${\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi \nu )$   $\cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}\nu ^{2}}}\operatorname {rect} (\pi \nu )$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )$   $\cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$	${\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )$   $\cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$	$J_{n}(x)$ oznacza funkcję Bessela $n$-tego rzędu, pierwszego rodzaju. $U_{n}(x)$ to wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju. (patrz punkty 315 i 316 poniżej).
209	$\operatorname {sech} (ax)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\nu \right)$	${\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	Secans hiperboliczny jest funkcją własną transformcji Fouriera

Dystrybucje

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f(x)$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\nu }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$
301	$1$	$\delta (\nu )$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )$	$2\pi \delta (\omega )$	$\delta (\omega )$ oznacza deltę Diraca.
302	$\delta (x)$	$1$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	$1$	Co wynika z zasady 301.
303	$e^{iax}$	$\delta \left(\nu -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\omega -a)$	Co wynika z własności 103 i 301.
304	$\cos(ax)$	${\frac {\displaystyle \delta \left(\nu -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\nu +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	$\pi \left(\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right)$	Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera: $\cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.$
305	$\sin(ax)$	${\frac {\displaystyle \delta \left(\nu +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\nu -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2i}}$	$-i\pi \left(\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)\right)$	Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu $\sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i).$
306	$\cos(ax^{2})$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\nu ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
307	$\sin(ax^{2})$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\nu ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
308	$x^{n}$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\nu )$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	$2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\omega )$	Gdzie $n$ jest liczbą naturalną a $\delta ^{(n)}(\xi )$ jest $n$-tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101, można transformować dowolne wielomiany.
309	${\frac {1}{x}}$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\nu )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\omega )$	Gdzie $\operatorname {sgn}(\xi )$ to funkcja znaku. Zauważmy, że $1/x$ nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
310	${\frac {1}{x^{n}}}$	$-i\pi {\frac {(-2\pi i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	Uogólnienie 309.
311	${\frac {1}{\sqrt {|x|}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|\nu |}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\omega |}}}$
312	$\operatorname {sgn}(x)$	${\frac {1}{i\pi \nu }}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}$	${\frac {2}{i\omega }}$	Dualne do 309.
313	$H(x)$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	$\pi \left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	Funkcja $H(x)$ jest funkcją Heaviside’a; to wynika ze 101, 301 i 312.
314	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {k}{T}}\right)$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	${\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	Funkcja grzebieniowa. Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)$ jako dystrybucje.
315	$J_{0}(x)$	${\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \nu )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\nu ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	$J_{0}(x)$ funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316	$J_{n}(x)$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \nu )\operatorname {rect} (\pi \nu )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\nu ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	Uogólnienie 315. Funkcja $J_{n}(x)$ jest funkcją Bessela $n$-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja $T_{n}(x)$ jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów

Zależność określającą transmitancję widmową $H(j\omega )$ można wyznaczyć:

• przechodząc z transmitancji operatorowej przez podstawienie $s=j\omega ,$
• uzyskując odpowiedź układu dynamicznego na dowolny sygnał wejściowy reprezentowany przez złożenie harmonicznych składowych sinusoidalnych (zob. też charakterystyka sinusoidalna, charakterystyka częstotliwościowa),
• za pomocą transformaty Fouriera.

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie $A_{we},$ pulsacji $\omega$ i fazie $p_{we}$

$x(t)=A_{we}e^{j(\omega t+p_{we})},$

(gdzie $j$ oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie $A_{wy}$ i fazie $p_{wy}{:}$

$y(t)=A_{wy}e^{j(\omega t+p_{wy})}.$

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość $\omega$ pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja $H(j\omega )$ opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości $\omega$). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

${\frac {A_{wy}}{A_{we}}}=|H(j\omega )|,$

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

$p_{wy}-p_{we}=\arg(H(j\omega )).$

Transmitancja $H(j\omega )$

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

${\frac {y(i)}{u(i)}}=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}{\Bigg |}_{z=e^{j\omega T_{p}}}=K(e^{-j\omega T_{p}})$

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Transformacja Fouriera wielowymiarowa

Transformatę Fouriera można określić dla funkcji $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, gdzie $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na $\mathbb {R} ^{n}$, za pomocą wzoru:

${\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\ e^{-i(x,\omega )}\,dx,$

gdzie:

• $i$ – jednostka urojona $(i^{2}=-1),$
• $(x,\omega )$ – iloczyn skalarny wektorów $x,\omega \in \mathbb {R} ^{n}.$

Twierdzenia

Tw. 1 Transformata ${\hat {f}}(\omega )$ jest funkcją istotnie ograniczoną: ${\hat {f}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ (wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a).

Tw. 2 W przypadku gdy funkcja $f$ jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$), transformata ${\hat {f}}(\omega )$ jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:

${\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).$

Tw. 3 Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ na siebie.

Zobacz też

• dyskretna transformata Fouriera
• funkcja charakterystyczna
• procesor Fouriera
• szereg Fouriera
• transformata Hilberta
• transformata Laplace’a

Bibliografia

• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 555-567. ISBN 978-83-204-0152-3
• W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, s. 551-571. ISBN 978-83-01-19359-1

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].
• JacekJ. Jakimiuk JacekJ., Różne oblicza transformaty Fouriera, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, czerwiec 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-06-04]  (pol.).

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fourier Transform, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera [Angielski z animacjami]
• Grant Sanderson, But what is the Fourier Transform? A visual introduction, kanał 3blue1brown, YouTube, 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].
• Aled Walker, F is for Fourier Transform (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].