Obserwabla: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Obserwable niekomutujące: Drobne redakcyjne Znaczniki: Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej) |
Funkcja sugerowania linków: dodane 3 linki. |
||
| (Nie pokazano 7 wersji utworzonych przez 6 użytkowników) | |||
Linia 1:
'''Obserwabla''' –
Przydatność operatorów hermitowskich wynika stąd, że ich [[Wektory i wartości własne|wartości własne]] są liczbami rzeczywistymi i z tej racji mogą określać wyniki pomiarów fizycznych.
Zgodnie z [[Postulaty mechaniki kwantowej|postulatami mechaniki kwantowej]]
* każdej wielkości fizycznej odpowiada pewien operator hermitowski
* [[Wektory i wartości własne|wartości własne]] danego operatora są
Jeżeli operator ma dyskretny zbiór wartości własnych, to oznacza, że wartości mierzalne są dyskretne (skwantowane). ▼
▲Jeżeli operator ma dyskretny zbiór wartości własnych, to oznacza, że wartości mierzalne są dyskretne (skwantowane).
Jeżeli dwa operatory (obserwable) nie [[Komutator (matematyka)|komutują]] ze sobą, to odpowiadających im wielkości fizycznych nie da się zmierzyć jednocześnie. ▼
▲Jeżeli dwa operatory (obserwable) nie [[Komutator (matematyka)|komutują]] ze sobą, to odpowiadających im wielkości fizycznych nie da się zmierzyć jednocześnie.
== Pomiar a operator pomiaru ==
Aktowi pomiaru wykonanemu na [[Układ kwantowy|układzie kwantowym]] odpowiada w formalizmie mechaniki kwantowej zadziałanie operatorem (obserwablą) na wektor stanu <math>|\psi\rangle,</math>
</math> - wartość własna, odpowiadająca wektorowi własnemu <math>|a\rangle▼
=== Ciągłe widmo wartości własnych ===
Gdy wektory własne operatora tworzą '''zbiór ciągły (tzw. widmo ciągłe)'''
: <math>|\psi\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} \mathrm da \,|a\rangle\langle a|\psi\rangle
Wtedy '''gęstość prawdopodobieństwa''' otrzymania w pomiarze wartości własnej <math>a</math>
: <math>\rho=|\langle a|\psi\rangle |^2</math>
Np. operatory pomiaru [[Operator położenia|położenia]] [[Cząstka swobodna|cząstki swobodnej]] czy pomiaru jej [[Operator pędu|pędu]] mają widmo ciągłe.▼
▲= \int\limits^\infty_{-\infty} da \,|a\rangle\langle a|\psi\rangle
▲Wtedy '''gęstość prawdopodobieństwa''' otrzymania w pomiarze wartości własnej <math>a</math> jest równa
▲: <math>\rho=|\langle a|\psi\rangle |^2</math>
▲Np. operatory pomiaru [[Operator położenia|położenia]] cząstki swobodnej czy pomiaru jej [[Operator pędu|pędu]] mają widmo ciągłe.
=== Dyskretne widmo wartości własnych ===
: <math>|\psi\rangle = \sum\limits_i \, |a_i\rangle \langle a_i|\psi\rangle</math>
'''Prawdopodobieństwo''' otrzymania w pomiarze wartości własnej <math>a_i</math> jest równe <math>P_i=|\langle a_i|\psi\rangle |^2.</math>
▲ </math> operatora tworzą '''zbiór dyskretny (tzw. widmo dyskretne)''', to można rozłożyć wektor stanu <math>|\psi\rangle</math> w bazie wektorów <math>|a\rangle
== Reprezentacja macierzowa obserwabli ==▼
Operator hermitowski o wartościach własnych tworzących [[zbiór dyskretny]] można przedstawić w postaci [[macierz hermitowska|macierzy hermitowskiej.]]
Np. operatorowi pomiaru [[Spin (fizyka)|spinu]] cząstki w kierunku <math>x</math> (prostopadłym do kierunku zewnętrznego [[Pole magnetyczne|pola magnetycznego]]) odpowiada macierz▼
▲'''Prawdopodobieństwo''' otrzymania w pomiarze wartości własnej <math>a_i</math> jest równe <math>P_i=|\langle a_i|\psi\rangle |^2</math>.
▲== Reprezentacja macierzowa obserwabli ==
▲Operator hermitowski o wartościach własnych tworzących zbiór dyskretny można przedstawić w postaci [[macierz hermitowska|macierzy hermitowskiej.]]
▲Np. operatorowi pomiaru [[Spin (fizyka)|spinu]] cząstki w kierunku <math>x</math> (prostopadłym do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego) odpowiada macierz
▲: <math>S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} </math>
Operatorowi pomiaru energii całkowitej cząstki ([[Operator Hamiltona|operatorowi Hamiltona]]), [[Moment pędu|momentu pędu]] odpowiadają także macierze hermitowskie.
== Wartość średnia pomiaru ==
[[Wartość oczekiwana|Wartość średnią]] operatora <math>\hat{A}</math> w unormowanym [[stan kwantowy|stanie kwantowym]] <math>|\psi\rangle,</math>
: <math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \int_{R^3}\mathrm d^3x\psi^
Natomiast wartość obserwabli w danym stanie własnym <math>|a\rangle</math> wyznacza się, rozwiązując [[Równanie własne|zagadnienie własne]]:
: <math>\hat{A|}a\rangle=a|a\rangle</math>
gdzie <math>
Wartości własne mogą być [[Degeneracja poziomów energetycznych|zdegenerowane]], tzn. jednej wartości własnej odpowiada kilka liniowo niezależnych [[Wektory i wartości własne|wektorów własnych]].
Linia 76 ⟶ 54:
== Obserwable niekomutujące ==
Istotna różnica między [[Mechanika klasyczna|mechaniką klasyczną]] a kwantową leży w stwierdzeniu, iż niektóre wielkości fizyczne nie mogą być mierzone jednocześnie. Wielkościom tym w mechanice kwantowej odpowiadają operatory, które nie komutują ze sobą, tzn. ich [[Komutator (matematyka)|komutator]] jest różny od zera,
: <math>[ \hat A, \hat B ]= \hat A \hat B -\hat B \hat A \neq 0
Np. komutator [[Operator położenia|operatorów pomiaru położenia]] cząstki i jej pędu w tym samym kierunku wynosi
: <math>[ \hat x,
co oznacza, że nie da się jednocześnie zmierzyć precyzyjnie położenia i pędu cząstki. Wynik ten
== Zobacz też ==
* [[sprzężenie hermitowskie macierzy]]▼
* [[Operator Hamiltona|operator całkowitej energii (operator Hamiltona)]]
* [[Moment pędu|operator momentu pędu]]▼
* [[operator pędu]]▼
* [[operator położenia]]
▲* [[operator pędu]]
▲* [[Moment pędu|operator momentu pędu]]
* [[Spin (fizyka)|operator spinu]]
▲* [[sprzężenie hermitowskie macierzy]]
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
{{Kontrola autorytatywna}}
[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]
[[Kategoria:Rodzaje endomorfizmów liniowych]]
| |||