Obserwabla: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m +eo:Videbla |
Funkcja sugerowania linków: dodane 3 linki. |
||
| (Nie pokazano 32 wersji utworzonych przez 20 użytkowników) | |||
Linia 1:
'''Obserwabla''' – [[Operator samosprzężony|operator hermitowski]] (samosprzężony) definiowany w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]], reprezentujący pewną mierzalną [[wielkość fizyczna|wielkość fizyczną]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3949527 | tytuł = obserwable | data dostępu = 2023-01-27 }}</ref>.
Przydatność operatorów hermitowskich wynika stąd, że ich [[Wektory i wartości własne|wartości własne]] są liczbami rzeczywistymi i z tej racji mogą określać wyniki pomiarów fizycznych.
[[Wartość oczekiwana|Wartość średnią]] operatora <math>\hat{A}</math> w unormowanym [[stan kwantowy|stanie kwantowym]] <math>|\psi\rangle</math> opisywanym przez [[funkcja falowa|funkcję falową]] <math>\psi(\bar{x})</math> definiujemy jako:▼
Zgodnie z [[Postulaty mechaniki kwantowej|postulatami mechaniki kwantowej]]
<math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \int\limits ^{\infty}_{-\infty}\psi^{*}(\bar{x})\hat{A}\psi(\bar{x})d^3x</math>▼
* każdej wielkości fizycznej odpowiada pewien operator hermitowski
* [[Wektory i wartości własne|wartości własne]] danego operatora są jedynymi możliwymi wartościami, jakie można otrzymać w pomiarze wielkości fizycznej, której odpowiada ten operator.
Jeżeli operator ma dyskretny zbiór wartości własnych, to oznacza, że wartości mierzalne są dyskretne (skwantowane).
Natomiast wartość obserwabli w danym stanie własnym <math>|a\rangle</math> wyznaczamy z [[Równanie własne|zagadnienia własnego]]:▼
Jeżeli dwa operatory (obserwable) nie [[Komutator (matematyka)|komutują]] ze sobą, to odpowiadających im wielkości fizycznych nie da się zmierzyć jednocześnie.
<math>\hat{A|}a\rangle=a|a\rangle</math>▼
== Pomiar a operator pomiaru ==
gdzie a jest [[Wartość własna|wartością własną]] operatora <math>\hat{A}</math>. W szczególności dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.▼
Aktowi pomiaru wykonanemu na [[Układ kwantowy|układzie kwantowym]] odpowiada w formalizmie mechaniki kwantowej zadziałanie operatorem (obserwablą) na wektor stanu <math>|\psi\rangle,</math> przypisany temu układowi (przy czym postać wektora <math>|\psi\rangle</math> zależy od [[Stan układu|stanu układu]] i jego rodzaju). W wyniku otrzymuje się zbiór wartości własnych i [[Równanie własne|funkcji własnych]] tego operatora. Wartości własne tworzą zbiór możliwych wartości, jakie można uzyskać w realnym pomiarze. Wektorom własnym odpowiadają stany, jakie układ może przyjąć po pomiarze. Aby dany operator <math>\hat A</math> był obserwablą, jego wektory własne muszą tworzyć bazę [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] – wtedy każdy wektor stanu przestrzeni Hilberta można rozłożyć w tej bazie. Np. jeżeli <math>|a\rangle</math> są wektorami własnymi operatora <math>\hat A,</math> to
: <math>\hat A|a\rangle = a |a\rangle</math>
gdzie <math>a</math> – wartość własna, odpowiadająca wektorowi własnemu <math>|a\rangle.</math>
Wartości własne mogą być [[Degeneracja poziomów energetycznych|zdegenerowane]], tzn. jednej wartości własnej odpowiada kilka liniowo niezależnych [[Wektor własny|wektorów własnych]]. ▼
=== Ciągłe widmo wartości własnych ===
Zobacz też:▼
Gdy wektory własne operatora tworzą '''zbiór ciągły (tzw. widmo ciągłe)''', to można rozłożyć wektor stanu <math>|\psi\rangle</math> w bazie wektorów <math>|a\rangle</math> następująco:
: <math>|\psi\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} \mathrm da \,|a\rangle\langle a|\psi\rangle</math>
Wtedy '''gęstość prawdopodobieństwa''' otrzymania w pomiarze wartości własnej <math>a</math> jest równa
: <math>\rho=|\langle a|\psi\rangle |^2</math>
Np. operatory pomiaru [[Operator położenia|położenia]] [[Cząstka swobodna|cząstki swobodnej]] czy pomiaru jej [[Operator pędu|pędu]] mają widmo ciągłe.
[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]▼
=== Dyskretne widmo wartości własnych ===
Gdy wektory własne <math>|a_i\rangle</math> operatora tworzą '''zbiór dyskretny (tzw. widmo dyskretne)''', to można rozłożyć wektor stanu <math>|\psi\rangle</math> w bazie wektorów <math>|a\rangle</math> następująco:
: <math>|\psi\rangle = \sum\limits_i \, |a_i\rangle \langle a_i|\psi\rangle</math>
'''Prawdopodobieństwo''' otrzymania w pomiarze wartości własnej <math>a_i</math> jest równe <math>P_i=|\langle a_i|\psi\rangle |^2.</math>
== Reprezentacja macierzowa obserwabli ==
Operator hermitowski o wartościach własnych tworzących [[zbiór dyskretny]] można przedstawić w postaci [[macierz hermitowska|macierzy hermitowskiej.]]
Np. operatorowi pomiaru [[Spin (fizyka)|spinu]] cząstki w kierunku <math>x</math> (prostopadłym do kierunku zewnętrznego [[Pole magnetyczne|pola magnetycznego]]) odpowiada macierz
: <math>S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}</math>
Operatorowi pomiaru energii całkowitej cząstki ([[Operator Hamiltona|operatorowi Hamiltona]]), [[Moment pędu|momentu pędu]] odpowiadają także macierze hermitowskie.
== Wartość średnia pomiaru ==
▲[[Wartość oczekiwana|Wartość średnią]]
▲: <math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \
▲Natomiast wartość obserwabli w danym stanie własnym <math>|a\rangle</math>
▲: <math>\hat{A|}a\rangle=a|a\rangle</math>
▲gdzie <math>a</math> jest [[
▲Wartości własne mogą być [[Degeneracja poziomów energetycznych|zdegenerowane]], tzn. jednej wartości własnej odpowiada kilka liniowo niezależnych [[
Dla operatorów o widmie dyskretnym zamiast całki mamy sumę.
== Obserwable niekomutujące ==
Istotna różnica między [[Mechanika klasyczna|mechaniką klasyczną]] a kwantową leży w stwierdzeniu, iż niektóre wielkości fizyczne nie mogą być mierzone jednocześnie. Wielkościom tym w mechanice kwantowej odpowiadają operatory, które nie komutują ze sobą, tzn. ich [[Komutator (matematyka)|komutator]] jest różny od zera,
: <math>[ \hat A, \hat B ]= \hat A \hat B -\hat B \hat A \neq 0</math>
Np. komutator [[Operator położenia|operatorów pomiaru położenia]] cząstki i jej pędu w tym samym kierunku wynosi
: <math>[ \hat x, \hat p_x ]= \mathrm i\hbar</math>
co oznacza, że nie da się jednocześnie zmierzyć precyzyjnie położenia i pędu cząstki. Wynik ten stanowi podstawę [[Zasada nieoznaczoności|zasady nieoznaczoności Heisenberga]].
* [[Operator Hamiltona|operator całkowitej energii (operator Hamiltona)]]
* [[Moment pędu|operator momentu pędu]]
* [[operator pędu]]
* [[operator położenia]]
* [[Spin (fizyka)|operator spinu]]
* [[sprzężenie hermitowskie macierzy]]
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
{{Kontrola autorytatywna}}
▲[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]
[[Kategoria:Rodzaje endomorfizmów liniowych]]
| |||