Mengde: Forskjell mellom sideversjoner
Utviding med referanser |
Det er tydelig at personen som skrev dette ikke vet at matematiske objekter defineres bare med egenskapene deres, som er bare kriterer som følges eller noe kan følge. Det er ikke noe immidlertid siden strukturen ville fortsatt vært sånn siden det ikke er et ord. Logisk følger paradoksene hvis man utfyller alle mulighetene i strukturen, begrensninger eller flere muligheter vil bety extra regler og strukturer som følges og er definert |
||
(22 mellomliggende versjoner av 16 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
En '''mengde''' |
En '''mengde''' i [[matematikk]] er en veldefinert samling med ulike objekter. Begrepet er et av de viktigste og mest grunnleggende i moderne matematikk, og teori for mengder kalles [[mengdelære]], siden mange andre matematiske objekter og strukturer kan bli redefinert i form av mengder. |
||
Mengdelæren går tilbake til slutten av 1800-tallet, med [[Georg Cantor]] som en viktig bidragsyter. Hans definisjon av en mengde er «en samling av bestemte, forskjellige objekter, betraktet som |
Mengdelæren går tilbake til slutten av 1800-tallet, med [[Georg Cantor]] som en viktig bidragsyter. Hans definisjon av en mengde er «en samling av bestemte, forskjellige objekter, betraktet som noe helt». Men slike enkle og intuitive definisjoner av mengder fører til paradokser, som for eksempel [[Cantors paradoks]] og [[Russells paradoks]]. Derfor finnes det flere ulike og mer kompliserte definisjoner for mengder med ulike [[aksiom]]er som brukes i [[Matematisk bevis|matermatisk bevis]]. |
||
== Elementene i en mengde == |
== Elementene i en mengde == |
||
Linje 12: | Linje 12: | ||
:<math>x \notin M </math> |
:<math>x \notin M </math> |
||
En mengde kan |
En mengde kan inneholde mer enn ett eksemplar av et element, men det andre eksemplaret vil være overflødig. Altså vil {a, b, b} være den samme mengden som {a, b}. Mengden kan inneholde et endelig eller et uendelig antall elementer. |
||
Definisjonen av en mengde skrives ofte som et sett av klammeparenteser {}, med en beskrivelse av mengden mellom parentesene. Beskrivelse kan være en opplisting av elementene i mengden: |
Definisjonen av en mengde skrives ofte som et sett av klammeparenteser {}, med en beskrivelse av mengden mellom parentesene. Beskrivelse kan være en opplisting av elementene i mengden: |
||
Linje 46: | Linje 46: | ||
En mengde kan også defineres [[rekursjon|rekursivt]]: 0 ∈ ''M'', og hvis ''x'' ∈ ''M'', så er ''x''+1 ∈ ''M''. |
En mengde kan også defineres [[rekursjon|rekursivt]]: 0 ∈ ''M'', og hvis ''x'' ∈ ''M'', så er ''x''+1 ∈ ''M''. |
||
Mengden som ikke inneholder noen elementer, kalles [[den tomme mengden]] eller ''nullmengden'' og blir betegnet med ∅. En mengde som inneholder minst ett element er ''ikketom''. |
|||
== Delmengder == |
== Delmengder == |
||
Linje 67: | Linje 67: | ||
Mengden av elementer som er felles for ''A'' og ''B'' kalles [[snitt (mengdelære)|snittet]] av ''A'' og ''B'' og betegnes ''A'' ∩ ''B''. |
Mengden av elementer som er felles for ''A'' og ''B'' kalles [[snitt (mengdelære)|snittet]] av ''A'' og ''B'' og betegnes ''A'' ∩ ''B''. |
||
:<math>A \cap B = \lbrace x \, | \, x \in A \ |
:<math>A \cap B = \lbrace x \, | \, x \in A \land x \in B \rbrace </math> |
||
Symbolet <math>\ |
Symbolet <math>\land</math> betegner «og». Snittet av mengdene {1,2,3} og {2,3,4} er lik {2,3}. |
||
Snittet er en [[assosiativ lov|assosiativ]] og [[kommutativ lov|kommutativ]] operasjon: |
|||
:<math> |
:<math> |
||
Linje 86: | Linje 86: | ||
Mengden av elementer som enten er med i ''A'' eller i ''B'' (eller i begge) kalles [[union (mengdelære)|unionen]] av ''A'' og ''B'' og betegnes ''A'' ∪ ''B'': |
Mengden av elementer som enten er med i ''A'' eller i ''B'' (eller i begge) kalles [[union (mengdelære)|unionen]] av ''A'' og ''B'' og betegnes ''A'' ∪ ''B'': |
||
:<math>A \cup B = \lbrace x \, | \, x \in A \ |
:<math>A \cup B = \lbrace x \, | \, x \in A \lor x \in B \rbrace </math> |
||
Symbolet <math>\ |
Symbolet <math>\lor</math> betegner «eller». Unionen av mengdene {1,2,3} og {3,4} er lik {1,2,3,4}. |
||
Unionen er en [[assosiativ lov|assosiativ]] og [[kommutativ lov|kommutativ]] operasjon: |
Unionen er en [[assosiativ lov|assosiativ]] og [[kommutativ lov|kommutativ]] operasjon: |
||
Linje 113: | Linje 113: | ||
=== Kartesisk produkt === |
=== Kartesisk produkt === |
||
Produktmengden eller det [[kartesisk produkt|kartesiske produktet] av to mengder ''A'' og ''B'' er mengden av alle [[ordnede par]] av elementer, ''(a,b)'', der ''a'' ∈ ''A'' og ''b'' ∈ ''B''.<ref name=HFA1/> Produktet skrives ''A'' × ''B'': |
Produktmengden eller det [[kartesisk produkt|kartesiske produktet]] av to mengder ''A'' og ''B'' er mengden av alle [[ordnede par]] av elementer, ''(a,b)'', der ''a'' ∈ ''A'' og ''b'' ∈ ''B''.<ref name=HFA1/> Produktet skrives ''A'' × ''B'': |
||
:<math>A \times B = \{(a,b)\, | \, a \in A, b \in B\}.</math> |
:<math>A \times B = \{(a,b)\, | \, a \in A, b \in B\}.</math> |
||
Linje 145: | Linje 145: | ||
</math> |
</math> |
||
== |
== Ordnede mengder == |
||
I en ''ordnet mengde M'' er det definert en [[binær relasjon]] betegnet med < , med de to følgende egenskapene:<ref name=WR1/> |
I en ''ordnet mengde M'' er det definert en [[binær relasjon]] betegnet med < , med de to følgende egenskapene:<ref name=WR1/> |
||
Linje 154: | Linje 154: | ||
* Dersom ''x'', ''y'' og ''z'' alle er elementer i ''M'', og i tillegg ''x'' < ''y'' og ''y'' < ''z'', da er ''x'' < ''z''. |
* Dersom ''x'', ''y'' og ''z'' alle er elementer i ''M'', og i tillegg ''x'' < ''y'' og ''y'' < ''z'', da er ''x'' < ''z''. |
||
Mengden av rasjonale tall ''Q'' er en ordnet mengde, der relasjonen ''x'' < ''y'' er definert til å bety at differansen ( ''y'' - ''x'' ) er positiv. |
Mengden av rasjonale tall ''Q'' er en ordnet mengde, der relasjonen ''x'' < ''y'' er definert til å bety at differansen ( ''y'' - ''x'' ) er positiv. |
||
== Venndiagram == |
== Venndiagram == |
||
Linje 171: | Linje 171: | ||
* <math>\mathbb{R}</math>, mengden av [[reelt tall|reelle tall]] |
* <math>\mathbb{R}</math>, mengden av [[reelt tall|reelle tall]] |
||
* <math>\mathbb{C}</math>, mengden av [[komplekst tall|komplekse tall]] |
* <math>\mathbb{C}</math>, mengden av [[komplekst tall|komplekse tall]] |
||
* <math>\mathbb{H}</math>, mengden av [[kvaternion]]er |
|||
* <math>\mathbb{O}</math>, mengden av [[oktonion]]er |
|||
Dersom elementene i en tallmengde kan kombineres ved [[multiplikasjon]] og [[divisjon (matematikk)|divisjon]], og resultatet er definert i samme mengden, så danner mengden en [[kropp (matematikk)|tallkropp]]. |
|||
Mengden av reelle tall er en tallkropp. |
|||
Mengden av naturlige tall er derimot ''ikke'' en kropp, da man ikke generelt kan dividere to hele tall med hverandre slik at resultatet også er et helt tall. |
|||
==Se også== |
==Se også== |
||
Linje 178: | Linje 184: | ||
== Referanser == |
== Referanser == |
||
<references> |
|||
{{Referanser|refs= |
|||
<ref name=WR1>[[#WR|W.Rudin, 1976]], s.3</ref> |
<ref name=WR1>[[#WR|W.Rudin, 1976]], s.3</ref> |
||
<ref name=RDM1>[[#RDM|R.D.Milne, 1980]], s.4</ref> |
<ref name=RDM1>[[#RDM|R.D.Milne, 1980]], s.4</ref> |
||
Linje 184: | Linje 190: | ||
<ref name=HFA1>[[#HFA|H.F.Aas, 1974]], s.6</ref> |
<ref name=HFA1>[[#HFA|H.F.Aas, 1974]], s.6</ref> |
||
<ref name=HFA2>[[#HFA|H.F.Aas, 1974]], s.4</ref> |
<ref name=HFA2>[[#HFA|H.F.Aas, 1974]], s.4</ref> |
||
</ |
</references> |
||
}} |
|||
== Litteratur == |
== Litteratur == |
||
*{{Kilde bok |
*{{Kilde bok |
||
| ref =WR |
| ref =WR |
||
Linje 209: | Linje 213: | ||
| ref =HFA |
| ref =HFA |
||
| forfatter= Hans Fredrik AAs |
| forfatter= Hans Fredrik AAs |
||
| redaktør= |
|||
| utgivelsesår=1974 |
| utgivelsesår=1974 |
||
| tittel=Forelesningsreferater i matematisk analyse. |
|||
| artikkel= |
|||
| bind=I |
|||
| tittel=Forelesningsreferater i matematisk analyse. Del 1 |
|||
| bind= |
|||
| utgave= |
|||
| utgivelsessted= Bergen |
| utgivelsessted= Bergen |
||
| forlag= Matematisk Institutt, Universitetet i Bergen |
| forlag= Matematisk Institutt, Universitetet i Bergen |
||
| url=http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2012021608107 }} |
|||
| side= |
|||
| isbn= |
|||
| id= |
|||
| kommentar= |
|||
| url= }} |
|||
*{{Kilde bok |
*{{Kilde bok |
||
Linje 239: | Linje 236: | ||
| kommentar= |
| kommentar= |
||
| url= }} |
| url= }} |
||
{{Autoritetsdata}} |
|||
[[Kategori:Mengdelære]] |
[[Kategori:Mengdelære]] |
||
{{Link UA|lmo}} |
|||
[[als:Menge (Mathematik)]] |
|||
[[am:ስብስብ]] |
|||
[[ar:مجموعة (رياضيات)]] |
|||
[[bn:সেট]] |
|||
[[be:Мноства]] |
|||
[[be-x-old:Мноства]] |
|||
[[bg:Множество]] |
|||
[[bs:Skup (matematika)]] |
|||
[[ca:Conjunt]] |
|||
[[cs:Množina]] |
|||
[[da:Mængde]] |
|||
[[de:Menge (Mathematik)]] |
|||
[[et:Hulk]] |
|||
[[el:Σύνολο]] |
|||
[[en:Set (mathematics)]] |
|||
[[es:Conjunto]] |
|||
[[eo:Aro (matematiko)]] |
|||
[[eu:Multzo]] |
|||
[[fa:مجموعه (ریاضی)]] |
|||
[[fr:Ensemble]] |
|||
[[fur:Insiemi]] |
|||
[[gd:Àlach]] |
|||
[[gl:Conxunto]] |
|||
[[gan:集合]] |
|||
[[xal:Олн]] |
|||
[[ko:집합]] |
|||
[[hy:Բազմություն]] |
|||
[[hr:Skup]] |
|||
[[io:Ensemblo]] |
|||
[[id:Himpunan (matematika)]] |
|||
[[ia:Ensemble]] |
|||
[[is:Mengi]] |
|||
[[it:Insieme]] |
|||
[[he:קבוצה (מתמטיקה)]] |
|||
[[kn:ಗಣ]] |
|||
[[ka:სიმრავლე]] |
|||
[[kk:Бөлік]] |
|||
[[ku:Kom]] |
|||
[[la:Copia]] |
|||
[[lv:Kopa]] |
|||
[[lt:Aibė]] |
|||
[[lmo:Cungjuunt]] |
|||
[[hu:Halmaz]] |
|||
[[mk:Множество]] |
|||
[[ml:ഗണം (ഗണിതം)]] |
|||
[[ms:Set]] |
|||
[[mn:Олонлог]] |
|||
[[nl:Verzameling (wiskunde)]] |
|||
[[ja:集合]] |
|||
[[nn:Mengd]] |
|||
[[nov:Ensemble]] |
|||
[[oc:Ensemble]] |
|||
[[pms:Ansem]] |
|||
[[nds:Koppel (Mathematik)]] |
|||
[[pl:Zbiór]] |
|||
[[pt:Conjunto]] |
|||
[[ro:Mulțime]] |
|||
[[qu:Tantachisqa]] |
|||
[[ru:Множество]] |
|||
[[sq:Bashkësitë]] |
|||
[[scn:Nzemi]] |
|||
[[simple:Set]] |
|||
[[sk:Množina]] |
|||
[[sl:Množica]] |
|||
[[ckb:کۆمەڵ (بیرکاری)]] |
|||
[[sr:Скуп]] |
|||
[[sh:Skup]] |
|||
[[fi:Joukko]] |
|||
[[sv:Mängd]] |
|||
[[tl:Pangkat (matematika)]] |
|||
[[ta:கணம் (கணிதம்)]] |
|||
[[te:సమితులు]] |
|||
[[th:เซต (คณิตศาสตร์)]] |
|||
[[tr:Küme]] |
|||
[[uk:Множина]] |
|||
[[ur:طاقم (ریاضی)]] |
|||
[[vi:Tập hợp]] |
|||
[[fiu-vro:Hulk]] |
|||
[[zh-classical:集]] |
|||
[[yi:סכום (מאטעמאטיק)]] |
|||
[[zh-yue:集合]] |
|||
[[zh:集合 (数学)]] |
Siste sideversjon per 8. jul. 2024 kl. 04:28
En mengde i matematikk er en veldefinert samling med ulike objekter. Begrepet er et av de viktigste og mest grunnleggende i moderne matematikk, og teori for mengder kalles mengdelære, siden mange andre matematiske objekter og strukturer kan bli redefinert i form av mengder.
Mengdelæren går tilbake til slutten av 1800-tallet, med Georg Cantor som en viktig bidragsyter. Hans definisjon av en mengde er «en samling av bestemte, forskjellige objekter, betraktet som noe helt». Men slike enkle og intuitive definisjoner av mengder fører til paradokser, som for eksempel Cantors paradoks og Russells paradoks. Derfor finnes det flere ulike og mer kompliserte definisjoner for mengder med ulike aksiomer som brukes i matermatisk bevis.
Elementene i en mengde
[rediger | rediger kilde]En mengde inneholder visse objekter, kalt elementer. Elementene kan i prinsippet være hva som helst, for eksempel tall, personer, biler, eller andre mengder. En mengde må være veldefinert: for ethvert objekt må det være mulig å avgjøre om objektet er med i mengden eller ikke. Hvis x er et element i mengden M, skriver man
At x ikke er et element i M kan skrives som
En mengde kan inneholde mer enn ett eksemplar av et element, men det andre eksemplaret vil være overflødig. Altså vil {a, b, b} være den samme mengden som {a, b}. Mengden kan inneholde et endelig eller et uendelig antall elementer.
Definisjonen av en mengde skrives ofte som et sett av klammeparenteser {}, med en beskrivelse av mengden mellom parentesene. Beskrivelse kan være en opplisting av elementene i mengden:
Flere etterfølgende punktum kan brukes istedenfor å liste alle elementene:
Alternativ kan mengden beskrives ved en regel P(x) som definerer elementene x:
Definisjonen kan leses som «Mengden M består av elementene x som oppfyller P». Et kolon blir også brukt som alternativ til den vertikale streken. Dersom en vil spesifisere en større mengde A som elementene tilhører, så kan definisjonen skrives som
Eksempler på regeldefinisjoner:
- Naturlige tall mindre enn 100:
- Definisjon ved operasjon mellom mengder:
En mengde kan også defineres rekursivt: 0 ∈ M, og hvis x ∈ M, så er x+1 ∈ M.
Mengden som ikke inneholder noen elementer, kalles den tomme mengden eller nullmengden og blir betegnet med ∅. En mengde som inneholder minst ett element er ikketom.
Delmengder
[rediger | rediger kilde]![A er en delmengde av B](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/150px-Venn_A_subset_B.svg.png)
Hvis A og B er mengder, og ethvert element i A også er et element i B, så kalles A en delmengde eller en undermengde av B, og man skriver A ⊂ B. Dersom B i tillegg inneholder elementer som ikke er i A og A er ikke-tom, så er A er en ekte delmengde. Mengden {1, 2} har fire delmengder, den tomme mengden, {1}, {2} og {1, 2}. Bare {1} og {2} er ekte delmengder.
Hvis B også er en delmengde av A, må begge mengdene inneholde nøyaktig de samme elementene. Per definisjon er da A lik B, og man skriver A = B.
To delmengder er disjunkte dersom de ikke inneholder felles element. Mengdene {1,2} og {3,4} er disjunkte.
Mengder er ofte betraktet som elementer av en større fast mengde, kalt universalmengden.[1]
En partisjon av en mengde M er en oppdeling av mengden i disjunkte ikke-tomme delmengder, slik at alle elementene i M er medlem av én og kun én delmengde.
Operasjoner på mengder
[rediger | rediger kilde]Flere binære operasjoner kan defineres for mengder: Snitt, union, komplement og kartesisk produkt.[2]
Snitt
[rediger | rediger kilde]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Venn0001.svg/150px-Venn0001.svg.png)
Mengden av elementer som er felles for A og B kalles snittet av A og B og betegnes A ∩ B.
Symbolet betegner «og». Snittet av mengdene {1,2,3} og {2,3,4} er lik {2,3}.
Snittet er en assosiativ og kommutativ operasjon:
Dersom A og B er disjunkte, så er snittet lik den tomme mengden.
Union
[rediger | rediger kilde]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Venn0111.svg/150px-Venn0111.svg.png)
Mengden av elementer som enten er med i A eller i B (eller i begge) kalles unionen av A og B og betegnes A ∪ B:
Symbolet betegner «eller». Unionen av mengdene {1,2,3} og {3,4} er lik {1,2,3,4}.
Unionen er en assosiativ og kommutativ operasjon:
Komplement
[rediger | rediger kilde]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Venn0010.svg/150px-Venn0010.svg.png)
Komplementet til mengden A refererer til elementer som ikke er med i A. Det relative komplementet til mengden A i B er mengden av elementer i B som ikke tilhører A:
Komplementoperasjonen kan betraktes som en differanseoperasjon for mengder. Det relative komplementet til mengden {1,2,3} i {3,4,5} er mengden {4,5}. Mengden av irrasjonelle tall er det relative komplementet til mengden av rasjonale tall i mengden av reelle tall:
Dersom A tilhører en universalmengde M, så er det absolutte komplementet - eller bare komplementet - alle elementer som ligger i M, men ikke i A. Komplementet til A kan skrives AC eller A'.
Kartesisk produkt
[rediger | rediger kilde]Produktmengden eller det kartesiske produktet av to mengder A og B er mengden av alle ordnede par av elementer, (a,b), der a ∈ A og b ∈ B.[3] Produktet skrives A × B:
Definisjonen kan generaliseres til et endelig antall mengder: A × B × C × D.
Det todimensjonale rommet R2 kan defineres som det kartesisiske produktet av de reelle tallene R med seg selv: R2 = R × R.
Det kartesiske produktet er ikke kommutativt, det vil si at A × B generelt ikke er lik B × A.
Det kartesiske produktet er oppkalt etter den franske matematikeren René Descartes (1596-1650).
Relasjon mellom operasjoner
[rediger | rediger kilde]Det finnes mange satser og teorem som sier hvordan operasjonene relaterer seg til hverandre.[4] Dersom A, B og C alle er mengder, så gjelder distributive lover:
Dersom M også er en mengde, så gjelder også De Morgans lover:
Ordnede mengder
[rediger | rediger kilde]I en ordnet mengde M er det definert en binær relasjon betegnet med < , med de to følgende egenskapene:[5]
- Dersom både x ogy er elementer i M, så er ett og kun ett av de følgende utsagnene riktige:
- Dersom x, y og z alle er elementer i M, og i tillegg x < y og y < z, da er x < z.
Mengden av rasjonale tall Q er en ordnet mengde, der relasjonen x < y er definert til å bety at differansen ( y - x ) er positiv.
Venndiagram
[rediger | rediger kilde]Mengder og deres egenskaper kan også illustreres ved et såkalt Venndiagram. I dette blir universalmengden illustrert med en firkant, men denne blir også ofte utelatt. Ulike mengder og forholdet mellom disse blir illustrert ved areal innenfor universalmengden.
Venndiagram har blitt brukt over til å illustrere union, snitt og komplement. Illustrasjonsmåten ble introdusert omkring 1880 av engelskmannen John Venn (1834-1923).
Tallmengder
[rediger | rediger kilde]De viktigste tallmengdene er
- , mengden av naturlige tall
- , mengden av hele tall
- , mengden av rasjonale tall
- , mengden av reelle tall
- , mengden av komplekse tall
- , mengden av kvaternioner
- , mengden av oktonioner
Dersom elementene i en tallmengde kan kombineres ved multiplikasjon og divisjon, og resultatet er definert i samme mengden, så danner mengden en tallkropp. Mengden av reelle tall er en tallkropp. Mengden av naturlige tall er derimot ikke en kropp, da man ikke generelt kan dividere to hele tall med hverandre slik at resultatet også er et helt tall.
Se også
[rediger | rediger kilde]Referanser
[rediger | rediger kilde]- ^ R.D.Milne, 1980, s.4
- ^ R.D.Milne, 1980, s.5
- ^ H.F.Aas, 1974, s.6
- ^ H.F.Aas, 1974, s.4
- ^ W.Rudin, 1976, s.3
Litteratur
[rediger | rediger kilde]- Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3. Sjekk datoverdier i
|dato=
(hjelp)
- Hans Fredrik AAs (1974). Forelesningsreferater i matematisk analyse. I. Bergen: Matematisk Institutt, Universitetet i Bergen.
- Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.