De areaalfuncties zijn de inverse functies van de hyperbolische functies . De aanduiding 'areaal' in areaalfunctie refereert aan de betekenis van deze functies als oppervlakte.
Een punt op de standaard hyperbool bepaalt een wigvormig gebied waarvan de oppervlakte gelijk is aan de inverse van de cosinus hyperbolicus en van de sinus hyperbolicus De standaardhyperbool
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
kan in parametervorm, met
t
{\displaystyle t}
parameter , geschreven worden door
x
(
t
)
=
cosh
(
t
)
{\displaystyle x(t)=\cosh(t)}
y
(
t
)
=
sinh
(
t
)
{\displaystyle y(t)=\sinh(t)}
Voor de parameterwaarde
t
=
A
{\displaystyle t=A}
A
{\displaystyle A}
(
x
A
,
y
A
)
{\displaystyle (x_{A},y_{A})}
x
A
=
cosh
(
A
)
{\displaystyle x_{A}=\cosh(A)}
y
A
=
sinh
(
A
)
{\displaystyle y_{A}=\sinh(A)}
De inverse functies van de cosinus- en de sinus hyperbolicus
a
r
c
o
s
h
(
x
)
=
cosh
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\rm {arcosh}}(x)=\cosh ^{-1}(x)}
a
r
s
i
n
h
(
y
)
=
sinh
−
1
(
y
)
{\displaystyle {\rm {arsinh}}(y)=\sinh ^{-1}(y)}
geven dus als resultaat een oppervlakte, een 'areaal', dat overeenkomt met de blauw gekleurde punt. Vandaar dat deze inverse functies areaalfuncties genoemd worden. Naast het prefix "ar" wordt, naar analogie met de arcsinus e.d., ook "arc" (arcsinus hyperbolicus, arcsinh ) gebruikt. Soms ziet men ook het prefix arg , dat staat voor argument of eenvoudigweg a , als in
a
s
i
n
h
(
x
)
{\displaystyle {\rm {asinh}}(x)}
Links: rood: arsinh(x) is een oneven functie die loopt van linksonder tot rechtsboven, blauw: arcosh(x), een functie die enkel bestaat voor x groter of gelijk aan 1. Midden: rood: artanh(x), het gedeelte op het interval −1,1, blauw: artanh(x), de twee gedeelten buiten het interval [−1,1]. Rechts: rood: arsech(x, van het punt (1,0) naar de y-as, blauw: arcsch(x), een functie met oneven symmtrie De zes areaalfuncties kunnen uitgedrukt worden in eenvoudige formules met behulp van de natuurlijke logaritme .
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
,
x
∈
R
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right),\quad x\in \mathbb {R} }
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
,
x
∈
R
,
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right),\quad x\in \mathbb {R} ,\ x\geq 1}
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
,
x
∈
R
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\quad x\in \mathbb {R} ,\ |x|<1}
arcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
,
x
∈
R
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\quad x\in \mathbb {R} ,\ |x|>1}
arsech
x
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
−
1
)
,
x
∈
R
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right),\quad x\in \mathbb {R} ,\ 0<x\leq 1}
arcsch
x
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
+
1
)
,
x
∈
R
,
x
≠
0
{\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right),\quad x\in \mathbb {R} ,\ x\neq 0}
2
⋅
arcosh
x
=
arcosh
(
2
x
2
−
1
)
for
x
≥
1
4
⋅
arcosh
x
=
arcosh
(
8
x
4
−
8
x
2
+
1
)
for
x
≥
1
2
⋅
arsinh
x
=
arcosh
(
2
x
2
+
1
)
for
x
≥
0
4
⋅
arsinh
x
=
arcosh
(
8
x
4
+
8
x
2
+
1
)
for
x
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}2\cdot \operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\cdot \operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\cdot \operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\\4\cdot \operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}
arcosh
(
x
2
+
1
2
x
)
=
arsinh
(
x
2
−
1
2
x
)
=
artanh
(
x
2
−
1
x
2
+
1
)
=
ln
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\ln(x)}
d
d
x
arsinh
(
x
)
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\,\operatorname {arsinh} (x)\,={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
arcosh
(
x
)
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\,\operatorname {arcosh} (x)\,={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
artanh
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\,\operatorname {artanh} (x)\,={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
arcoth
(
x
)
=
−
1
−
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\,\operatorname {arcoth} (x)\,={\frac {-1}{-1+x^{2}}}}
d
d
x
arsech
(
x
)
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\,\operatorname {arsech} (x)\,=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
arcsch
(
x
)
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\,\operatorname {arcsch} (x)\,=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
De integralen van de areaalfuncties kunnen alle berekend worden met partiële integratie .
∫
arsinh
(
x
)
d
x
=
x
arsinh
(
x
)
−
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (x){\rm {d}}x=x\ \operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arcosh
(
x
)
d
x
=
x
arcosh
(
x
)
−
x
2
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (x){\rm {d}}x=x\ \operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
∫
artanh
(
x
)
d
x
=
x
artanh
(
x
)
+
1
2
ln
(
1
−
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {artanh} (x){\rm {d}}x=x\ \operatorname {artanh} (x)+{\tfrac {1}{2}}\ln(1-x^{2})+C}
∫
arcoth
(
x
)
d
x
=
x
arcoth
(
x
)
+
1
2
ln
(
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcoth} (x){\rm {d}}x=x\ \operatorname {arcoth} (x)+{\tfrac {1}{2}}\ln(x^{2}-1)+C}
∫
arsech
(
x
)
d
x
=
x
arsech
(
x
)
−
arctan
(
1
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arsech} (x){\rm {d}}x=x\ \operatorname {arsech} (x)-\operatorname {arctan} \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)+C}
∫
arcsch
(
x
)
d
x
=
x
arcsch
(
x
)
+
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x){\rm {d}}x=x\ \operatorname {arcsch} (x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C}
arsinh
(
x
)
+
arsinh
(
y
)
=
arsinh
(
x
1
+
y
2
+
y
1
+
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)+\operatorname {arsinh} (y)=\operatorname {arsinh} \left(x{\sqrt {1+y^{2}}}+y{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}
arsinh
(
x
)
−
arsinh
(
y
)
=
arsinh
(
x
1
+
y
2
−
y
1
+
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)-\operatorname {arsinh} (y)=\operatorname {arsinh} \left(x{\sqrt {1+y^{2}}}-y{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}
arcosh
(
x
)
+
arcosh
(
y
)
=
arcosh
(
x
y
+
x
2
−
1
y
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)+\operatorname {arcosh} (y)=\operatorname {arcosh} \left(xy+{\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {y^{2}-1}}\right)}
arcosh
(
x
)
−
arcosh
(
y
)
=
arcosh
(
x
y
−
x
2
−
1
y
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)-\operatorname {arcosh} (y)=\operatorname {arcosh} \left(xy-{\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {y^{2}-1}}\right)}
artanh
(
x
)
+
artanh
(
y
)
=
artanh
(
x
+
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)+\operatorname {artanh} (y)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x+y}{1+xy}}\right)}
artanh
(
x
)
−
artanh
(
y
)
=
artanh
(
x
−
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)-\operatorname {artanh} (y)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x-y}{1-xy}}\right)}
Bij het gebruik van deze uitdrukkingen moet rekening gehouden worden met de eventuele beperkingen op het domein van deze functies.
arsinh
(
x
)
=
±
arcosh
(
x
2
+
1
)
=
artanh
(
x
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}
arcosh
(
x
)
=
arsinh
(
x
2
−
1
)
=
artanh
(
x
2
−
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)}
artanh
(
x
)
=
arsinh
(
x
1
−
x
2
)
=
±
arcosh
(
1
1
−
x
2
)
=
arcoth
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1}{x}}\right)}
arcoth
(
x
)
=
arsinh
(
1
x
2
−
1
)
=
±
arcosh
(
x
x
2
−
1
)
=
artanh
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)}
arcsch
(
x
)
=
arsinh
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsch} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)}
arsech
(
x
)
=
arcosh
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {arsech} (x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)}
Enkel de areaalsinus hyperbolicus en de areaaltangens hyperbolicus kunnen probleemloos rond x= 0 worden ontwikkeld. De reeksen zijn dan:
arsinh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
x
2
n
+
1
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}\,{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\,{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1}
artanh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1}
Een andere reeksontwikkeling is:
arcosh
(
x
)
=
ln
(
2
x
)
−
∑
n
=
1
∞
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
x
−
2
n
2
n
,
x
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1}
Samenstellingen van hyperbolische en areaalfuncties leveren irrationale functievoorschriften:
sinh
(
arcosh
(
x
)
)
=
x
2
−
1
:
x
≥
1
{\displaystyle \sinh(\operatorname {arcosh} (x))={\sqrt {x^{2}-1}}\quad :\quad x\geq 1}
sinh
(
artanh
(
x
)
)
=
x
1
−
x
2
:
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle \sinh(\operatorname {artanh} (x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad :\quad -1<x<1}
cosh
(
arsinh
(
x
)
)
=
1
+
x
2
{\displaystyle \cosh(\operatorname {arsinh} (x))={\sqrt {1+x^{2}}}}
cosh
(
artanh
(
x
)
)
=
1
1
−
x
2
:
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle \cosh(\operatorname {artanh} (x))={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad :\quad -1<x<1}
tanh
(
arsinh
(
x
)
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \tanh(\operatorname {arsinh} (x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tanh
(
arcosh
(
x
)
)
=
x
2
−
1
x
:
x
≥
1
{\displaystyle \tanh(\operatorname {arcosh} (x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad :\quad x\geq 1}
Twee standaardlimieten die areaalfuncties bevatten zijn:
lim
x
→
0
arsinh
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\,{\frac {\operatorname {arsinh} (x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
artanh
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\,{\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x}}=1}
Beide volgen uit de soortgelijke limiet voor de overeenstemmende hyperbolische functie, door middel van een eenvoudige substitutie.
Wolfram Mathworld : De pagina over de areaalfuncties op de website van Wolfram Mathworld bevat doorverwijzingen ('see also') naar gedetailleerde informatie over de individuele areaalfuncties, met onder andere de reeksontwikkelingen.
