Banach-tarskiparadox

Een (massieve) bol wordt verdeeld in een eindig aantal stukken die weer samengevoegd worden tot twee bollen beide even groot als het origineel

De Banach-Tarskiparadox is een stelling uit de meetkunde die zegt dat een massieve driedimensionale bol in een eindig aantal verschillende (niet overlappende of disjuncte) deeltjes gesplitst kan worden die weer samengevoegd kunnen worden om twee identieke kopieën van de oorspronkelijke bol te vormen. Het weer samenvoegen gebeurt enkel met behulp van rotaties en translaties, dus uit isometrieën van de ruimte, wat afbeeldingen zijn die de vorm niet veranderen. De deeltjes zelf bestaan namelijk uit verzamelingen van allemaal losse punten, een soort stofwolken, met een zo ingewikkelde structuur dat ze niet meer meetbaar zijn en over het volume van de deeltjes niets valt te zeggen.

Stefan Banach en Alfred Tarski gaven in 1924 in een krant de constructie van een dergelijke "paradoxale decompositie", gebaseerd op eerder werk door Giuseppe Vitali met betrekking tot het eenheidsinterval en op de Hausdorff-paradox, een paradoxale decompositie van de bol door Felix Hausdorff. Ze bewezen ook de sterke vorm van de Banach-Tarskiparadox:

Gegeven twee willekeurige eindige begrensde deelverzamelingen A en B van de Euclidische ruimte van minstens drie dimensies die beide een niet-lege binnenkant hebben, dan bestaan er eindige partities van A en B, dus disjuncte deelverzamelingen A₁, ..., A_k en B₁, ..., B_k met A = A₁ ∪ ... ∪ A_k en B = B₁ ∪ ... ∪ B_k, zodat voor elke i tussen 1 and k, de verzamelingen A_i en B_i congruent zijn.

Dit geldt niet in een of twee dimensies, maar Banach en Tarski hebben aangetoond dat een analoge stelling wel nog waar is, indien we aftelbaar veel deelverzamelingen toelaten. Het verschil tussen een en twee dimensies enerzijds en drie en meer dimensies anderzijds is het gevolg van de veel rijkere structuur van de groep G_n van Euclidische transformaties in hogere dimensies.

De reden waarom dit een paradox genoemd wordt, is omdat het tegen de meetkundige intuïtie ingaat. "De bal verdubbelen" door hem in stukken te verdelen, de stukken in het rond te laten draaien en te verplaatsen, zonder deze uit te rekken of nieuwe punten toe te voegen lijkt onmogelijk, omdat al deze operaties het volume bewaren. Maar toch is het volume op het einde verdubbeld. Dankzij de sterke versie kunnen de punten van een erwt in stukken worden verdeeld om vervolgens opnieuw samengevoegd te worden om uiteindelijk zelfs de afmeting van de zon aan te nemen.

In tegenstelling tot de meeste stellingen in de meetkunde steunt dit resultaat op het keuzeaxioma in de verzamelingenleer. Dit axioma levert ons hier de constructie van niet-meetbare verzamelingen: collecties punten die geen volume hebben en een overaftelbaar aantal keuzes nodig hebben.

Argumenten als deze paradox uit de verzamelingenleer hebben voor felle kritiek op het keuzeaxioma gezorgd, nochtans wordt het keuzeaxioma nu door de meeste wiskundigen aanvaard.