Бијекција

Бијекција. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f : A → B која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот B постои точно еден елемент a од доменот A таков што f(a)=b. Бијекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.

Терминот бијективност и сродните термини сурјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) и група други, воглавно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.

Не е бијекција. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.)

Основни својства

Формално имаме:

$f:A\rightarrow B$  е бијективна функција ако за секој  $b\in B$  постои точно еден  $a\in A$  таков што  $f(a)=b\,.$

Елементот $a$ се вика претслика на елементот $b$.

• Функција е бијекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. (Види и: Сурјективна функција, Инјективна функција.)

Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Бијекција значи точно една претслика.

Кардиналност

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност.

• Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои бијекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
  • Ако кардиналноста на A и B е конечен број, #A=#B=n тогаш при доказ дека функцијата f:A → B e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
  • Ако кардиналноста на A и B е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.

Пример: Нека А=B=ℕ. Идентичната функција f(x)=x e бијекција. Функцијата f(x)=2x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f(x)=round(x/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(z) го заокружува z така што f(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, f(2)=round(2/2)=1, f(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....

Бијекции и инверзни функции

Главна статија: инверзна функција

• Бијекцијата може да се преврти со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално: Нека f : A → B е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција f е (бијективна) функција g : B → A дефинирана со: ако f(a)=b, тогаш g(b)=a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.

• Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.)
• Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.

Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со

$f^{-1}(x)$  се означува инверзната функција на функцијата f, а со

$x^{-1}={\frac {1}{x}}$ се означува реципрочната вредност на бројот x.

• Една од најважните особини на бијективните функции е тоа дека инверзна релација на бијективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзните функции како што се квадратен корен на квадратна функција, логаритамска функција на експоненцијална функција, ... имаат многу голема улога во математиката.

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

• Графичко толкување: функцијата f е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во точно една точка.
• Алгебарско толкување: функцијата f е бијекција ако за кој било y_o постои x_o таков што y_o=f(x_o) и ако f(x_o)=f(x₁) значи x_o=x₁.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е бијекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.

Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција.

Инверзна функција: y=(x-b)/a

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x³ е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.

Инверзна функција е 3-ти корен, односно

f(x)= ∛x. Слика 5: дебелата зелена крива.

Пример: Квадратната функција   f(x) = x² не е бијекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу).

Бијекции и нивните инверзни функции

Нека f(x):A→B каде што A и B се подмножества на ℝ.

• Да претпоставиме дека f не е бијекција. За кое било x каде што изводот на f постои и не е нула, постои број δ>0 таков да ограничувањето на f на δ-околината на x е бијекцијата (на сликата на околината).
• Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата y=x. (Види и Инверзна функција.)

Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)

$f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$  каде што  $f(x)=x^{2}$

е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)

$f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$  каде што  $f(x)={\sqrt {x}}$

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x². Слика 6: дебелата зелена крива.

Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:

• доменот на функцијата
• машината на функцијата
• кодоменот на функцијата

Пример: Нека машината биде f(x)=x².

• Оваа машина со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
• оваа иста машина со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.

Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)

$f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$  каде што  $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е a=10).

Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ

$f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$  каде што  $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: a^x. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е a=10).

Бијекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка.
1. Бијекција. Сите коси прави се бијекции f(x):ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, a≠0.	2. Бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.	3. Не е бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x². (Не е сурјекција, ниту инјекција).
4. Бијекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (дебела зелена).	5. Бијекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=∛x (дебела зелена).	6. Бијекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=√x (дебела зелена).

Поврзано

• Функција
• Сурјективна функција
• Инјективна функција
• Инверзна функција

Надворешни врски

• „Injective, Surjective, Bijective“ (англиски). 2013. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен квиз
• „Injectivity, Surjectivity“ (англиски). Wolfram Alpha. Посетено на 1 декември 2013. интерактивно