Norma Blum iniciou sua carreira no cinema atuando no filme 'Sai de Baixo' (1956), de J. B. Tanko. Em seguida, participou de 'Minervina Vem Aí' (1960), no papel de Nini, e de 'Cala a Boca, Etelvina' (1960), ambas as produções assinadas por Eurípedes Ramos e Hélio Barroso. No teatro, estreou como atriz profissional em 1959, protagonizando a peça 'Nossa Cidade', de Thornton Wilder. Participou de várias peças durante a década de 1960, inclusive de uma montagem de 'Electra' (1965), de Sófocles, sob a direção de Antonio Abujamra, e de 'Os Inocentes do Leblon' (1966), de Barillet e Grédy, com a qual excursionou pelo país pela primeira vez.

Em 1964, a atriz foi convidada para compor o elenco de estreia da Globo. Em seu primeiro trabalho na emissora esteve à frente do programa 'Romance na Tarde', no qual fazia a apresentação de filmes e realizava entrevistas com atores e cantores. Também atuou na primeira novela da emissora, 'Ilusões Perdidas' (1965), de Enia Petri, sob a direção de Líbero Miguel e Sérgio Britto.

Na fase inicial da Globo, Norma Blum participou ainda dos especiais de Dercy Gonçalves e de novelas como 'O Homem Proibido' (1967), 'A Gata de Vison' (1968) e 'A Última Valsa' (1969), todas assinadas pela cubana Glória Magadan. Norma Blum também comandou, ao lado de Hilton Gomes, a apresentação do 'Festival Internacional da Canção' de 1968 e 1969. Em seguida, a atriz se afastou da Globo para voltar a se dedicar exclusivamente ao teatro.

Voltou à emissora em 1975, através de um convite de Geraldo Casé para estrelar o infantil 'Pluft, o Fantasminha' (1975). No mesmo ano, Norma Blum esteve no elenco da novela 'Senhora' (1975), de Gilberto Braga, sob a direção de Herval Rossano. Na trama, ela viveu a protagonista Aurélia Camargo, herdeira de uma grande fortuna que vive uma relação conflituosa com Fernando Seixas (Cláudio Marzo), famoso jornalista da Corte, que se torna seu marido em um casamento por conveniência.

Ainda em 1975, a atriz fez uma participação especial na novela 'Bravo!', de Janete Clair, no papel de Elvira. Em seguida, em 1976, ao lado do ator Eduardo Tornaghi, viveu a personagem Suzana em 'Vejo a Lua no Céu', adaptada por Sylvan Paezzo da obra de Marques Rabelo. Ainda no mesmo ano, esteve no elenco de uma das telenovelas de maior sucesso da época, 'Escrava Isaura', de Gilberto Braga. Na trama, Norma Blum deu vida à Malvina, a esposa do vilão Leôncio, interpretado por Rubens de Falco. A atriz também atuou no remake da novela, exibido na TV Record em 2004, no papel da personagem Gertrudes.

Anos depois, a atriz esteve no elenco de outra produção de época que fez muito sucesso na Globo, a primeira versão de 'Sinhá Moça' (1986). Assinada por Benedito Ruy Barbosa, a novela apresentava Norma Blum no papel da religiosa Nina, mãe da misteriosa Ana do Véu, então vivida por Patrícia Pillar.

Até o final da década de 1980, participou também das novelas 'Marina' (1980), de Wilson Aguiar Filho, de 'Ciranda de Pedra' (1981), adaptada por Teixeira Filho da obra de Lygia Fagundes Teles, 'Elas por Elas' (1982), de Cassiano Gabus Mendes, e 'Bambolê'(1987), de Daniel Más.

Entre 1982 e 1985, Norma Blum participou de diversos episódios do 'Caso Verdade', entre os quais, o programa de estreia, 'O Menino do Olho Azul' (1982), de Walther Negrão. A atriz também participou de um dos primeiros episódios do interativo 'Você Decide': Na Marca do Pênalti (1992), escrito por Sérgio Sbragia.

Em 1992, participou pela primeira vez de uma minissérie da Globo. Em 'Anos Rebeldes', de Gilberto Braga, a atriz deu vida à Valquíria, esposa de Abelardo Galvão (Ivan Cândido). Logo depois, afastou-se novamente da televisão, passando a se dedicar à literatura e aos estudos da terapia holística. Escreveu uma série de livros, entre os quais 'O Dragãozinho Sonhador' (2000) e 'Energia Positiva' (2003).

Norma Blum voltou a integrar o elenco de uma novela em 2001, quando interpretou a personagem Leonor Luchini em 'A Pícara Sonhadora' (2001), escrita por Abel Santa Cruz e exibida pelo SBT. Ainda naquela emissora, a atriz participaria de 'Floribella' (2005).

Em 2003, de volta à Globo, atuou na novela 'Celebridade' (2003), de Gilberto Braga, no papel de Hercília, avó da personagem Laura, vivida por Cláudia Abreu. Em 2007, ao lado do ator Antônio Pedro, participou do seriado infantojuvenil 'Malhação Múltipla Escolha (2007-2009), no papel de Dionísia. Em 2009, estreou no papel de Irmã Andréia em 'Cama de Gato', de Duca Rachid e Thelma Guedes.

Em 2011, Norma Blum foi a equilibrada, generosa e ponderada Olga Brandão em 'Insensato Coração', novela de Gilberto Braga e Ricardo Linhares. Em 2012, participou do episódio 'A Culpada de BH', da série 'As Brasileiras', como Glédis, a mãe do personagem vivido por Humberto Martins. E no ano seguinte, a atriz interpretou a mama italiana Francesca em 'Joia Rara', trama que venceu o Emmy Internacional de 2014 como melhor novela.