순환군

군론에서 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)

정의

군의 원소 $g\in G$ 가 생성하는 순환군 $\langle g\rangle$ 은 다음과 같다.

\langle g\rangle =\{g^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots ,g^{-2},g^{-1},1,g,g^{2},\dots \}\leq G

차수

군 $G$ 의 차수(次數, 영어: order,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기 $|G|$ 를 뜻한다.

군의 원소 $g\in G$ 의 차수 $\operatorname {ord} g$ 는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

\operatorname {ord} g=|\langle g\rangle |={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\\\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}

지수

군 $G$ 의 지수(指數, 영어: exponent) $\exp G$ 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

\exp G={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\\\operatorname {lcm} _{g\in G}\operatorname {ord} g=\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \forall g\in G\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}

분류

순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

\langle g\rangle \cong {\begin{cases}Z&\operatorname {ord} g=\infty \\Z_{\operatorname {ord} g}&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}

성질

약수 관계

군의 유한 차수 원소 $g\in G$ 및 정수 $n\in \mathbb {Z}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$g^{n}=1$
$\operatorname {ord} g\mid n$

증명:

(⇐) $\operatorname {ord} g\mid n$ 이라면, $n=n'\operatorname {ord} g$ 인 $n'\in \mathbb {Z}$ 가 존재하므로, $g^{n}=(g^{\operatorname {ord} g})^{n'}=1^{n'}=1$ 이다.
(⇒) $g^{n}=1$ 이라면, $n$ 과 $\operatorname {ord} g$ 의 나머지 있는 나눗셈을 $n=q\operatorname {ord} g+r$ 라고 하면, $g^{r}=g^{n}g^{-\operatorname {ord} g}=1$ 이므로, 차수의 정의에 따라 $r=0$ 이다. 즉, $\operatorname {ord} g\mid n$ 이다.

지수가 유한한 군 $G$ 및 정수 $n\in \mathbb {Z}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

임의의 $g\in \mathbb {G}$ 에 대하여, $g^{n}=1$
$\exp G\mid n$

증명:

(⇐) $\exp G\mid n$ 이라면, $n=n'\exp G$ 인 $n'\in \mathbb {Z}$ 가 존재하므로, 임의의 $g\in G$ 에 대하여, $g^{n}=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1$ 이다.
(⇒) 임의의 $g\in G$ 에 대하여 $g^{n}=1$ 이라면, 임의의 $g\in G$ 에 대하여 $\operatorname {ord} g\mid n$ 이므로, 지수의 정의에 따라 $\exp G\mid n$ 이다.

유한군 $G$ 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

\operatorname {ord} g\mid \exp G\mid |G|

군의 유한 차수 원소 $g\in G$ 및 정규 부분군 $N\triangleleft G$ 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

\operatorname {ord} (gN)\mid \operatorname {ord} g

증명:

(gN)^{\operatorname {ord} g}=g^{\operatorname {ord} g}N=N

항등식

군의 유한 차수 원소 $g\in G$ 및 정수 $n\in \mathbb {Z}$ 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

\operatorname {ord} g^{n}={\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

$\operatorname {ord} g^{n}\mid {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}$ $\operatorname {ord} g^{n}\mid {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}$
- 증명: $(g^{n})^{\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1$
${\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}$ ${\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}$
- 증명: $1=(g^{n})^{\operatorname {ord} g^{n}}=g^{n\operatorname {ord} g^{n}}$ 이므로, $\operatorname {ord} g\mid n\operatorname {ord} g^{n}$ 이므로, ${\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid {\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\operatorname {ord} g^{n}$ 이므로, ${\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}$

군의 원소 $g,h\in G$ 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

$gh=hg$
$\gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1$

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

\operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

$\operatorname {ord} (gh)\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h$ $\operatorname {ord} (gh)\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h$
- 증명: $(gh)^{\operatorname {ord} (gh)}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\operatorname {ord} h}(h^{\operatorname {ord} h})^{\operatorname {ord} g}=1^{\operatorname {ord} h}1^{\operatorname {ord} g}=1$
$\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)$ $\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)$
- 증명: $1=(gh)^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}=h^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}$ 이므로, $\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)$ 이므로, $\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)$ 이다. 비슷하게, $\operatorname {ord} g\mid \operatorname {ord} h\operatorname {ord} (gh)$ 이다. 따라서, $\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)$ 이다.

반대로, 군의 원소 $x\in G$ 의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

\operatorname {ord} x=mn\qquad (\gcd\{m,n\}=1)

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 $g,h\in G$ 가 존재한다.

$x=gh=hg$
$\operatorname {ord} g=m$
$\operatorname {ord} h=n$

증명:

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 $u,v\in \mathbb {Z}$ 가 존재한다.

1=mu+nv

조건을 만족시키는 $g,h\in G$ 를 다음과 같이 취할 수 있다.

g=x^{nv}

g=x^{mu}

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

$\operatorname {ord} g\mid m$ $\operatorname {ord} g\mid m$ , $\operatorname {ord} h\mid n$ $\operatorname {ord} h\mid n$
- 증명: $g^{m}=(x^{nv})^{m}=(x^{mn})^{v}=1^{v}=1$
$m\mid \operatorname {ord} g$ $m\mid \operatorname {ord} g$ , $n\mid \operatorname {ord} h$ $n\mid \operatorname {ord} h$
- 증명: $mn=\operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h$

유한 아벨 군 $G$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $g\in G$ 가 존재한다.

임의의 $h\in G$ 에 대하여, $\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g$

즉, 다음이 성립한다.

\max _{g\in G}\operatorname {ord} g=\exp G

증명:

최대 차수 원소 $g\in G$ 를 취하자. 임의의 $h\in G$ 에 대하여,

\operatorname {ord} h\nmid \operatorname {ord} g

라고 가정하자. 그렇다면,

v_{p}(\operatorname {ord} g)<v_{p}(\operatorname {ord} h)

를 만족시키는 소인수 $p\mid \operatorname {ord} h$ 가 존재한다. 이 경우,

\operatorname {ord} g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}={\frac {\operatorname {ord} g}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}}

\operatorname {ord} h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}

이므로,

\operatorname {ord} \left(g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}\right)=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)-v_{p}(\operatorname {ord} g)}\operatorname {ord} g>\operatorname {ord} g

이며, 이는 모순이다.

순환군

모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.

군 $G$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$|G|$ 는 소수이다.
$G$ 는 순환 단순군이다.
$G$ 는 아벨 단순군이다.

증명:

소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군: $|G|$ 가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 $\{1_{G}\},G$ 밖에 없으므로, $G$ 는 단순군이다. $1_{G}\neq g\in G$ 를 취하자. 그렇다면, $|\langle g\rangle |=p$ 이므로, $\langle g\rangle =G$ 이다. 즉, $G$ 는 순환군이다.
순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군: $|G|$ 가 소수가 아니라고 가정하자. $G$ 가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, $G$ 는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. $G$ 가 순환군이 아닌 경우, 임의의 $1_{G}\neq g\in G$ 를 취하자. 그렇다면, $\langle g\rangle \triangleleft G$ 이며, $\langle g\rangle \neq 1,G$ 이므로, $G$ 는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, $\langle g\rangle$ 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

\langle g^{n}\rangle \qquad {\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\infty \\n\mid \operatorname {ord} g&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군 $G$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$G$ 는 순환군이다.
임의의, $|G|$ 의 양의 약수 $d$ 에 대하여, $\{H\leq G\colon |H|=d\}\leq 1$ 이다.
임의의 $m\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대하여, $|\{x\in G\colon x^{m}=1\}|\leq m$ 이다.

증명:

(1) ⇒ (2): 순환군 $\langle g\rangle$ 의, 크기 $d$ 의 부분군은 $\langle g^{\frac {\operatorname {ord} g}{d}}\rangle$ 가 유일하다.
(1) ⇐ (2): 임의의 $0<d\mid |G|$ $0<d\mid |G|$ 에 대하여, $|\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|=\phi (d)>0$ $|\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|=\phi (d)>0$ 임을 증명하자. (여기서 $\phi$ $\phi$ 는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 $\operatorname {ord} g=|G|$ $\operatorname {ord} g=|G|$ 인 $g\in G$ $g\in G$ 가 존재하므로, $G$ $G$ 는 순환군이다.
- 증명: $\operatorname {ord} g=\operatorname {ord} h=d$ 인 $g,h\in G$ 를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 $\langle g\rangle =\langle h\rangle$ 이므로, $h=g^{n}$ 인 $n\in \mathbb {Z}$ 가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 $\gcd\{n,d\}=1$ 를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나 $\phi (d)$ 이다. 또한, $n=\sum _{d\mid |G|}\phi (d)$ 이므로, 구하려는 수는 $\phi (d)$ 이다.
(1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

순환군 $Z_{m},Z_{n}$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$Z_{m}\oplus Z_{n}\cong Z_{mn}$
$\gcd\{m,n\}=1$

증명:

(⇐) $\operatorname {ord} (1\oplus 1)=\operatorname {ord} (1\oplus 0)\operatorname {ord} (0\oplus 1)=mn$
(⇒) 만약 $\gcd\{m,n\}\neq 1$ 이라면, $|\{a\oplus b\in Z_{m}\oplus Z_{n}\colon (a\oplus b)^{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}=1\}|=|Z_{m}\oplus Z_{n}|=mn>{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}$ 이므로, $Z_{m}\oplus Z_{n}\not \cong Z_{mn}$ 이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 $p\mid |G|$ 에 대하여, $\operatorname {ord} g_{p}=p$ 인 $g_{p}\in G$ 가 존재한다.

응용

유한 아벨 군의 분해

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. $G$ 가 아벨 유한 p-군, $a\in G$ 가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, $G=\langle a\rangle \times B$ 인 $B\leq G$ 가 존재한다.

증명:

귀류법을 사용하여, $G$ 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, $|G|\geq 2$ 이며, $G\neq \langle a\rangle$ 이므로, 최소 차수 원소 $b\in G\setminus \langle a\rangle$ 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.

$\operatorname {ord} b=p$ $\operatorname {ord} b=p$
- 증명: 그렇지 않다면, $\operatorname {ord} b=p^{e}$ ( $e\geq 2$ )이며, $\operatorname {ord} b^{p}=p^{e-1}$ 이므로, $b^{p}\in \langle a\rangle$ 이다. $b^{p}=a^{n}$ ( $n\in \mathbb {Z}$ )이라고 하자. 그렇다면, ${\frac {\operatorname {ord} a}{\gcd\{\operatorname {ord} a,n\}}}=\operatorname {ord} b^{p}<\operatorname {ord} b\leq \operatorname {ord} a$ 이므로, $p\mid n$ 이다. 따라서, $(ba^{-{\frac {n}{p}}})^{p}=1_{G}$ 이며, $ba^{-{\frac {n}{p}}}\in G\setminus \langle a\rangle$ 인데, 이는 $b$ 의 선택과 모순이다.
$\langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1$ $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1$
- 증명: $1_{G}\neq a^{m}=b^{n}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle$ ( $0\leq n<p$ )라고 하자. 그렇다면, $1=nu+pv$ 인 $u,v\in \mathbb {Z}$ 가 존재하며, $b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in \langle a\rangle$ 이다. 이는 모순이다.
$a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle$ $a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle$ 은 최대 차수 원소이다.
- 증명: 우선 $\operatorname {ord} (a\langle b\rangle )\mid \operatorname {ord} a$ 이다. $\operatorname {ord} (a\langle b\rangle )<\operatorname {ord} a$ 라고 가정하면, $(a\langle b\rangle )^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}=1$ 이므로, $a^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1$ 이다. 이는 모순이다. 따라서 $\operatorname {ord} (a\langle b\rangle )=\operatorname {ord} a$ 이며, $a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle$ 은 최대 차수 원소이다.
$G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )$ $G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )$ 인 $\langle b\rangle \subseteq B\leq G/\langle b\rangle$ $\langle b\rangle \subseteq B\leq G/\langle b\rangle$ 가 존재한다.
- 증명: $|G/\langle b\rangle |=|G|/p<|G|$
$G=\langle a\rangle \times B$ $G=\langle a\rangle \times B$
- 증명: 우선, $G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle /\langle b\rangle )\times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle$ 이므로, $G=\langle a\rangle B$ 이다. 또한, $(\langle a\rangle \cap B)/\langle b\rangle \subseteq (\langle a\rangle /\langle b\rangle )\cap (B/\langle b\rangle )=\{\langle b\rangle \}$ 이므로, $\langle a\rangle \cap B\subseteq \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1$ 이며, $G=\langle a\rangle \times B$ 이다.

같이 보기

외부 링크

“Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Exponent of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Group order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Cyclic group”. 《nLab》 (영어).
“Order of a group”. 《nLab》 (영어).
“Exponent of a group”. 《nLab》 (영어).
“Cyclic group”. 《Groupprops》 (영어).
“Order of a group”. 《Groupprops》 (영어).
“Exponent of a group”. 《Groupprops》 (영어).
“Cyclic group”. 《PlanetMath》 (영어).
“Order (of a group)”. 《PlanetMath》 (영어).
“Exponent”. 《PlanetMath》 (영어).