아티야 준군

미분기하학에서 아티야 준군(Atiyah準群, 영어: Atiyah groupoid)은 매끄러운 주다발에 대하여 표준적으로 대응되는 리 준군이다. 그 리 준대수를 아티야 리 준대수(Atiyah Lie準代數, 영어: Atiyah Lie groupoid)라고 한다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 이에 대응되는 아티야 준군 $\operatorname {At} (P)$ 은 다음과 같은 리 준군이다.

대상의 매끄러운 다양체는 $\operatorname {Ob} (\operatorname {At} (P))=M$ 이다.
사상의 매끄러운 다양체는 $\operatorname {Mor} (\operatorname {At} (P))=(P\times P)/G=P\times P/((p,q)\sim (p\cdot g,q\cdot g)\forall g\in G)$ 이다. 여기서 $G$ 의 오른쪽 군 작용은 $P\times P$ 위에 성분별로 작용한다.
정의역과 공역 사상 $\operatorname {Mor} (\operatorname {At} (P))\rightrightarrows \operatorname {Ob} (\operatorname {At} (P))$ 는 $(P\times P)/G$ 의 두 사영 사상 $\operatorname {proj} _{1},\operatorname {proj} _{2}\colon (P\times P)/G\to P/G=M$ 으로 주어진다.
사상의 합성은 자명하게 $(q,r)\cdot G\circ (p,q)\cdot G=(p,r)\cdot G$ 로 주어진다.
항등원 사상 $\operatorname {Ob} (\operatorname {At} (P))\to \operatorname {Mor} (\operatorname {At} (P))$ 은 대각 사상 $x\mapsto (p,p)\cdot G$ ( $p\in \pi ^{-1}(x)$ )으로 주어진다.

이에 대응하는 리 준대수를 아티야 리 준대수라고 한다.

아티야 리 준대수는 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

$\pi \colon P\twoheadrightarrow M$ 의 미분

\mathrm {d} \pi \in \Omega ^{1}(P;\pi ^{*}\mathrm {T} M)

을 생각하자. 이는 다음과 같은 $P$ 위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다.

P\times 0\to \mathrm {V} P=P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {T} P\,{\overset {\mathrm {d} \pi }{\to }}\,\pi ^{*}\mathrm {T} M\to P\times 0

여기서 수직 벡터 다발 $\mathrm {V} P$ 은 $P$ 가 주다발이므로 자명한 벡터 다발이다.

이 위의 각 항의 전체 공간은 $G$ 의 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.

{\begin{matrix}P\times 0&\to &P\times {\mathfrak {g}}&\to &\mathrm {T} P&{\overset {\mathrm {d} \pi }{\to }}&\pi ^{*}\mathrm {T} M&\to &P\times 0\\{\scriptstyle \pi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \pi }&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&{\color {White}\scriptstyle \pi }\downarrow {\scriptstyle \pi }\\M\times 0&\to &\operatorname {ad} (P)&\to &{\dfrac {\mathrm {T} P}{G}}&\to &\mathrm {T} M&\to &M\times 0\end{matrix}}

여기서

연관 벡터 다발 $\operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow M$ 은 무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면은 무한소 게이지 변환이다.
$\operatorname {at} (P)=(\mathrm {T} P)/G\twoheadrightarrow M$ $\operatorname {at} (P)=(\mathrm {T} P)/G\twoheadrightarrow M$ 의 매끄러운 단면 $X\in \Gamma ^{\infty }(M;(\mathrm {T} P)/G)$ $X\in \Gamma ^{\infty }(M;(\mathrm {T} P)/G)$ 은 $P$ $P$ 위의 벡터장 ${\tilde {X}}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} P)=\operatorname {Vect} (P)$ ${\tilde {X}}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} P)=\operatorname {Vect} (P)$ 가운데, $G$ $G$ 의 작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.
${\begin{matrix}P&{\overset {\tilde {X}}{\to }}&\mathrm {T} P\\{\scriptstyle \pi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \pi }&&\downarrow \\M&{\underset {X}{\to }}&{\dfrac {\mathrm {T} P}{G}}\end{matrix}}$
- $M$ -벡터 다발 사상 $\operatorname {at} (P)\twoheadrightarrow \mathrm {T} M$ 의 오른쪽 역사상의 데이터는 $P$ 위의 주접속의 데이터와 동치이다.

이에 따라, $\operatorname {at} (P)$ 는 다음과 같이 $M$ 위의 리 준대수의 구조를 갖는다.

닻 $\operatorname {at} (P)\to \mathrm {T} M$ 은 위 가환 그림에 등장하는 $M$ -벡터 다발 사상이다.
$\operatorname {at} (P)$ 의 단면 공간 $\Gamma ^{\infty }(M;\operatorname {at} (P))$ 위의 리 괄호는 포함 사상 $\Gamma ^{\infty }(M;\operatorname {at} (P))\hookrightarrow \operatorname {Vect} (P)$ 에 의하여 $\operatorname {Vect} (P)$ 의 리 미분의 제한으로 정의된다.

이를 매끄러운 주다발 $\pi \colon P\twoheadrightarrow M$ 의 아티야 리 준대수라고 한다.

↑ Atiyah, Michael (1957). “Complex analytic connections in fibre bundles”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 85: 181–207. doi:10.1090/S0002-9947-1957-0086359-5. JSTOR 1992969. MR 86359.