초월수

초월수(超越數, 영어: transcendental number)는 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수이다. 다항 방정식의 해가 될 수 있는 수인 대수적 수와 반대 개념이다.

실수인 초월수는 모두 무리수이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, ${\sqrt {2}}$는 무리수이지만 다음 이차방정식

$x^{2}-2=0$

의 해이므로 초월수가 아니다.

대수적 수의 집합이 가산 집합인 데 비하여 복소수의 집합은 비가산 집합이다. 따라서 초월수의 집합은 비가산 집합이 된다. 이것은 대수적 수의 개수보다 초월수의 개수가 많다는 것을 뜻한다. 하지만 지금까지 알려진 초월수는 많지 않고, 어떤 특정한 수가 초월수임을 증명하는 것은 매우 어렵다.

초월수의 존재는 레온하르트 오일러가 예상하였으나, 최초의 초월수는 1844년에 조제프 리우빌이 발견하였다. 그는 초월수의 예로서 다음과 같이 정의되는 리우빌 상수를 제시하였다.

$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000....$

초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 만들어진 수가 아닌 수 중에서 처음으로 초월수임이 증명된 수는 상수 e로, 샤를 에르미트가 1873년에 증명하였다. 1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 원주율 또한 초월수임을 증명하였다. 이것은 고대 그리스 시대부터의 난제였던 원적문제가 불가능함을 보여주는 결과였다.

1874년에 게오르크 칸토어는 구체적인 초월수를 제시하는 대신, 앞에 설명된 가산 집합과 비가산 집합의 논리를 이용하여 초월수가 존재함을 보였다.

1900년에 다비트 힐베르트는 힐베르트의 23 문제 가운데 7번째 문제로 초월수에 대하여 다음과 같은 문제를 제시하였다.

$a$는 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 $b$는 무리수이면서 대수적 수일 때, $a^{b}$는 초월수인가?

힐베르트는 이 문제의 구체적인 예로 $2^{\sqrt {2}}$를 들었다. 이 문제는 1934년에 겔폰트-슈나이더 정리에 의해 참임이 밝혀졌다. 이 결과는 1960년에 앨런 베이커에 의해 확장되었다.

잘 알려진 초월수

• $e^{a}$ ($a\neq 0$)
• 원주율 $\pi$
• $e^{\pi }$
• $2^{\sqrt {2}}$
• $i^{i}$
• 0이 아닌 유리수 $a$에 대하여 $\sin ~a,\cos ~a,\tan ~a$
• 1이 아닌 양의 유리수 $a$에 대하여 $\ln ~a$

외부 링크

• (영어) $e$가 초월수임을 증명한 것
• (독일어) $e$가 초월수임을 증명한 것 (PDF)
• (독일어) $\pi$가 초월수임을 증명한 것 (PDF)
• 박춘성; 안수엽 (2010년 8월). “초월수의 역사와 미해결 문제”. 《한국수학사학회지》 23 (3): 57–78.