파면 집합

조화해석학에서 파면 집합(波面集合, 영어: wavefront set)은 어떤 분포가 특이점을 갖는 위치 및 방향들의 집합이다. 특이점이 발생하는 위치들의 집합으로 정의되는 고전적 개념인 특이 지지 집합(영어: singular support)과 달리, 파면 집합은 특이점이 발생하는 위치뿐만 아니라 특이점이 일어나는 방향에 대한 정보를 담는다.

정의

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 분포

$F\in {\mathcal {D}}'(M)$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$의 $x\in M$에서의 특이올(영어: singular fiber)

$\Sigma _{x}F\subset T_{x}^{*}M$

은 다음과 같다.

$\xi \not \in \Sigma _{x}F\iff \exists \Gamma \ni x\exists \phi \forall N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \sup _{\xi \in \Gamma }\left({\widehat {\phi F}}(\xi )(1+|\xi |)^{N}\right)<\infty$

여기서

• $\exists \Gamma \ni x$는 $x$를 포함하는 열린 뿔 $\Gamma \subseteq T_{x}^{*}M$이 존재하는 것을 뜻한다.
• 뿔(영어: cone)이란 임의의 음이 아닌 실수 $\lambda$에 대하여, $\lambda$에 대한 곱에 대하여 닫혀 있는 집합이다.
• $\exists \phi$는 국소좌표계 $U$ 위에 정의된, $\phi (x)\neq 0$인 콤팩트 지지 매끄러운 함수 $\phi \in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)$가 존재함을 뜻한다.
• ${\widehat {}}$은 국소 좌표계에서의 푸리에 변환을 뜻한다.
• $|\xi |$는 적절한 리만 계량에 대한 노름이다. (이 정의는 리만 계량의 선택에 의존하지 않는다.)

특이올은 열린집합들의 합집합의 여집합이므로, $T_{x}^{*}M$ 속의 닫힌집합이다.

$F$의 파면 집합

$\operatorname {WF} F\subset T^{*}M$

은 특이올들의 합집합이다.

$\operatorname {WF} F=\{(x,\xi )\in T^{*}M\colon \xi \in \Sigma _{x}F\}$

이는 항상 닫힌집합이다.

예

디랙 델타 분포

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위의 디랙 델타 분포 $\delta (x)$를 생각하자. 디랙 델타 분포의 푸리에 변환은 상수 함수이며, 따라서 $x=0$에서는 어떤 방향에서도 특이올의 정의에 등장하는 추정이 성립하지 않는다. 따라서, 이 경우 파면 집합은

$\operatorname {WF} \delta =T_{0}^{*}\mathbb {R} ^{n}$

이다. 즉, 디랙 델타 분포는 원점에서 모든 방향으로 특이점을 가지며, 디랙 델타 분포의 거듭제곱은 잘 정의되지 않는다.

$\mathbb {R}$ 위의 단위 계단 함수

$\theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\1&x>0\end{cases}}$

의 파면 집합 역시

$\operatorname {WF} \theta =T_{0}^{*}\mathbb {R}$

이다.^{:Example 15} 즉, 디랙 델타 분포의 파면 집합과 같다. 단위 계단 함수의 경우, 특이올의 정의에서 $N=1$인 경우 추정이 성립하지만, $N>1$일 경우 추정이 (어느 방향에서도) 성립하지 않는다.

1/x

$\mathbb {R}$ 위에, 분포 $1/(x+i\epsilon )$은 임의의 콤팩트 지지 매끄러운 함수 $f$에 대하여

$\langle u|f\rangle =-i\pi f(0)+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int {\frac {f(x)-f(-x)}{x}}\,dx$

로 정의된다. (이 표기는 경로적분법을 따른 것이다.) 이 경우

$\operatorname {WF} 1/(x+i\epsilon )=\{(0,\xi )\colon \xi <0\}$

이다. 즉, $\left(1/(x+i\epsilon )\right)^{2}$는 잘 정의된다.

지시 함수

매끄러운 다양체 $M$ 속에, 매끄러운 경계를 갖는 부분 집합 $\Omega \subset M$이 주어졌다고 하자. 그 위의 지시 함수 $\chi _{\Omega }$의 파면 집합은 다음과 같다.^{:Proposition 20}

$\operatorname {WF} \chi _{\Omega }=\{(x,\xi )\colon x\in \partial \Omega ,\;\xi \perp \partial \Omega \}$

응용

일반적으로, 분포의 곱셈은 잘 정의될 수 없다. 그러나 파면 집합에 대한 적절한 조건이 성립한다면 두 분포의 곱을 정의할 수 있게 된다.^{:Theorem 13} 구체적으로, 두 분포 $F,G\in {\mathcal {D}}'(M)$의 곱이 잘 정의되기 위한 충분 조건은

$\forall (x,\xi )\in T^{*}M\colon \lnot \left(\xi \neq 0\land (x,\xi )\in \operatorname {WF} F\land (x,-\xi )\in \operatorname {WF} G\right)$

이다. 즉, 두 분포의 특이 지지 집합이 겹치더라도, 특이점의 방향이 일치하지 않는다면 두 분포의 곱을 잘 정의할 수 있다.

역사

라르스 회르만데르가 1970년 경에 도입하였다.

외부 링크

• “Wavefront set”. 《nLab》 (영어). 
• “A good reference for the wave front set” (영어). Math Overflow.