치역

수학에서 어떤 함수의 치역(値域, 영어: range)은 그 함수의 모든 "출력"값의 집합이다. 다시 말해, 정의역의 상이다.

정의

정의역이 $X$ , 공역이 $Y$ 인 함수 $f\colon X\to Y$ 의 치역 $\operatorname {ran} f$ 은 다음과 같은 공역의 부분집합이다.

\operatorname {ran} f=f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}\subset Y

치역과 공역이 같은 함수를 전사 함수라고 한다. 일반적으로 치역은 공역과 다르다. 치역은 공역의 부분집합이지만 공역의 모든 원소들이 치역의 원소일 필요는 없다.

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 $f$ 가 다음과 같이 정의된다고 하자.

f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}

f\colon x\mapsto x^{2}

이 경우, $f$ 의 공역은 $\mathbb {R}$ 이고, $f$ 의 치역은 구간 $[0,\infty )$ 이다. 따라서 $f$ 는 전사 함수가 아니다.

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 $g$ 가 다음과 같이 정의된다고 하자.

g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

g\colon x\mapsto 2x

이 경우, $g$ 의 공역과 치역 둘 다 $\mathbb {R}$ 이다. 따라서 $g$ 는 전사 함수이다.