준열린집합

일반위상수학에서 준열린집합(準-集合, 영어: almost open set) 또는 베르 성질 집합(Baire性質集合, 영어: set with the property of Baire)은 열린집합 또는 닫힌집합에 제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.

정의

위상 공간 $X$ 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.

• $\operatorname {Meag} (X)=\{S\subseteq X\colon \operatorname {int} (\operatorname {cl} (X))=\varnothing \}$: 제1 범주 집합들의 족
• ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)$: 열린집합들의 족
• ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)$: 닫힌집합들의 족
• ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)$: F_σ 집합들의 족
• ${\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X)$: G_δ 집합들의 족
• ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)$: 보렐 집합들의 족

또한, $\operatorname {\sigma } ({\mathcal {F}})$가 집합족 ${\mathcal {F}}$를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 $\operatorname {BP} (X)$라고 표기하자.

${\begin{aligned}\operatorname {BP} (X)&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\right)\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\\end{aligned}}$

여기서 $A\mathop {\triangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$은 대칭차이다. $\operatorname {BP} (X)$의 원소를 $X$의 준열린집합이라고 한다.^{:47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23}

증명:

다음 기호를 정의하자.

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}'&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}''&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\right)\\{\mathcal {B}}&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\{\mathcal {B}}'&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {B}}\}\\{\mathcal {C}}&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\{\mathcal {C}}'&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {C}}\}\\\end{aligned}}$

보렐 시그마 대수는 정의에 따라 ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)=\sigma ({\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X))=\sigma ({\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X))$이므로, 자명하게

${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}'={\mathcal {A}}''$

이다. 또한, 자명하게

${\mathcal {C}}\cup {\mathcal {C}}'\subseteq {\mathcal {A}}''\subseteq \sigma ({\mathcal {B}})=\sigma ({\mathcal {B}}')$

이다. 또한,

${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'\iff {\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {C}}$

임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'$

${\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})$

를 보이면 족하다.

• ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'$: 임의의 집합 $S\in {\mathcal {B}}$ 및 $U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)$에 대하여, $S\triangle U\subseteq A_{0}\cup A_{1}\cup \cdots$이며, $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$가 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, $M=\operatorname {cl} (A_{0})\cup \operatorname {cl} (A_{1})\cup \cdots \in \operatorname {Meag} (X)\cap {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)$이다. 이제 ${\tilde {S}}=U\setminus M\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X)$을 정의하자. 그렇다면, $S\setminus {\tilde {S}}\subseteq M$이므로 $S\setminus {\tilde {S}}\in \operatorname {Meag} (X)$이며, $S={\tilde {S}}\cup (S\setminus {\tilde {S}})$이다.
• ${\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})$:
  • 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다.
  • 여집합에 대한 닫힘: 편의상, $A\triangle B\in \operatorname {Meag} (X)$를 $A\approx B$로 표기하자. 임의의 $A\in {\mathcal {B}}$에 대하여, $U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)$이며 $A\approx U$라고 하자. 그렇다면, $X\setminus A\approx X\setminus U$이며, $U\approx \operatorname {cl} (U)$이므로 $X\setminus A\approx X\setminus \operatorname {cl} (U)\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)$이다.

성질

함의 관계

위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

		정칙 열린집합 ⇒ 열린집합
	⇗		⇘
열린닫힌집합				보렐 집합
	⇘		⇗		⇘
		정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합				준열린집합 ⇒ 부분 집합
					⇗
조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합

연산에 대한 닫힘

위상 공간 $X$ 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,

• 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
• 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
• 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.

모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

예

선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

역사

르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.

외부 링크

• “Baire property”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Almost open subspace”. 《nLab》 (영어).