에탈 기본군은 대수적 위상수학 과 갈루아 이론 사이의 다음과 같은 대응성으로부터 출발하며, 이 둘을 대수기하학적으로 일반화하여 공통적으로 다룬다.
대수적 위상수학
갈루아 이론
대수기하학
피복 공간
π
:
Y
↠
X
{\displaystyle \pi \colon Y\twoheadrightarrow X}
분해 가능 확대
Y
/
X
{\displaystyle Y/X}
유한 에탈 사상
π
:
Y
→
X
{\displaystyle \pi \colon Y\to X}
범피복 공간 분해 가능 폐포 유한 에탈 사상들의 범주
f
i
n
E
´
t
/
X
{\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}
기본군 절대 갈루아 군 에탈 기본군
연결 스킴
X
{\displaystyle X}
기하점 (영어 : geometric point )
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
{\displaystyle x}
줄기
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
잉여류체 를 포함하는 분해 가능 폐포
K
{\displaystyle K}
O
X
,
x
↠
O
X
,
x
/
m
(
O
X
,
x
)
↪
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\twoheadrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{X,x})\hookrightarrow K}
를 합성하여, 사상
x
:
Spec
(
K
)
→
X
{\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} (K)\to X}
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle K}
X
{\displaystyle X}
공역 으로 하는 유한 에탈 사상 들의 범주를
f
i
n
E
´
t
/
X
{\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}
에탈 코호몰로지 와 달리, 여기에 그로텐디크 위상 을 정의할 필요가 없다.) 그렇다면, 스킴 사상
Y
→
X
{\displaystyle Y\to X}
X
{\displaystyle X}
x
:
Spec
K
→
X
{\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} K\to X}
기하올 (영어 : geometric fibre )
Y
×
X
Spec
K
{\displaystyle Y\times _{X}\operatorname {Spec} K}
올곱 으로 정의할 수 있으며, 에탈 사상의 정의에 따라서 이는 어떤 자연수
n
{\displaystyle n}
(
Spec
K
)
⊔
n
{\displaystyle (\operatorname {Spec} K)^{\sqcup n}}
따라서, 밑점이 주어졌을 때, 다음과 같은 요네다 매장 을 생각하자.
f
i
n
E
´
t
/
X
→
Set
{\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\to \operatorname {Set} }
Y
↦
|
Y
×
X
x
|
=
hom
f
i
n
E
´
t
/
X
(
x
,
Y
)
{\displaystyle Y\mapsto |Y\times _{X}x|=\hom _{\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}(x,Y)}
이는 기하학적으로
π
:
Y
→
X
{\displaystyle \pi \colon Y\to X}
원상 “
π
−
1
(
x
)
{\displaystyle \pi ^{-1}(x)}
영어 : projective system )를 이룬다. 따라서 다음과 같은 역극한 을 취할 수 있으며, 이를
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
에탈 기본군 이라고 한다.
π
1
,
e
´
t
(
X
,
x
)
=
lim
←
i
Aut
X
(
X
i
)
{\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)=\varprojlim _{i}\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}
이는 유한군 의 역극한 이므로, 사유한군 을 이룬다. 또한, 이 요네다 함자에 의하여 다음과 같은 범주의 동치 가 존재한다.
f
i
n
E
´
t
/
X
≃
π
1
(
X
,
x
)
-Set
{\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\simeq \pi _{1}(X,x){\text{-Set}}}
여기서, 범주
G
-Set
{\displaystyle G{\text{-Set}}}
G
{\displaystyle G}
작용 을 갖는 집합들의 범주이다.
체
K
{\displaystyle K}
Spec
K
{\displaystyle \operatorname {Spec} K}
x
{\displaystyle x}
K
{\displaystyle K}
분해 가능 폐포
K
sep
⊂
K
¯
{\displaystyle K^{\operatorname {sep} }\subset {\bar {K}}}
분해 가능 폐포 들은 서로 동형 이지만, 표준적으로 동형이지 못하다.) 이 경우, 밑점
K
sep
{\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}
K
{\displaystyle K}
절대 갈루아 군 과 동형이다.
π
1
,
e
´
t
(
Spec
K
,
K
sep
)
≅
Gal
(
K
sep
/
K
)
{\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K,K^{\operatorname {sep} })\cong \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)}
복소 유한형 스킴
X
→
Spec
C
{\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C} }
X
an
{\displaystyle X^{\operatorname {an} }}
대수적 위상수학 적) 기본군 의 사유한 완비 이다.
π
1
,
e
´
t
(
X
,
x
)
≅
π
^
1
(
X
an
,
x
an
)
{\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)\cong {\hat {\pi }}_{1}(X^{\operatorname {an} },x^{\operatorname {an} })}
알렉산더 그로텐디크 가 《마리 숲 대수 기하학 세미나》(영어 : Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie , SGA) 1권[ 1]
Murre, J. P. (1967), 《Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group》, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650 Tamagawa, Akio (1997), “The Grothendieck conjecture for affine curves”, 《Compositio Mathematica》 109 (2): 135–194, doi :10.1023/A:1000114400142 , MR 1478817 
