에어리 함수

수학에서 에어리 함수(Airy function)는 특수 함수의 한 종류다. 두 개가 있으며, 기호는 Ai와 Bi다. 조지 비델 에어리가 광학을 연구하기 위해 1838년에 도입하였다.

에어리 함수의 그래프

정의

다음과 같은 $f(x)$에 대한 이차 선형 상미분 방정식을 에어리 미분 방정식(Airy differential equation)이라고 한다.

$f''(x)=xf(x)$.

에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해로, 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 선형결합이다. 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

$\operatorname {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(t^{3}/3+xt)\,dt$

$\operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\right]\,dt$.

성질

$x\gg 1$일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

$Ai(x)\approx {\frac {\exp(-{\frac {2}{3}}x^{3/2})}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}$ (분모에 2가 있는 것에 주의!)

$Bi(x)\approx {\frac {\exp({\frac {2}{3}}x^{3/2})}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}$

$Ai(-x)\approx {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}$

$Bi(-x)\approx {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}$.

그래프

$\Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$	$|\mathrm {Ai} (x+iy)|\,$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,$

$\Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$	$|\mathrm {Bi} (x+iy)|\,$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,$

각주

• Olver, Frank W.J. (1997). 《Asymptotics and Special Functions》 2판. A. K. Peters/CRC Press. ISBN 1568810695.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), 〈Section 6.6.3. Airy Functions〉, 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》 3판, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, 2011년 8월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2012년 9월 12일에 확인함 
• Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), 《Airy functions and applications to physics》, London: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR 2114198, 2010년 1월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2012년 9월 12일에 확인함 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Airy Functions”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Wolfram Functions Site: Ai, Bi.

같이 보기

• 베셀 함수
• 에어리 제타 함수
• 슈뢰딩거 방정식
• WKB 근사