고다이라 매장 정리

대수기하학에서 고다이라 매장 정리(小平[こだいら]埋藏定理, 영어: Kodaira embedding theorem)는 어떤 콤팩트 복소다양체가 복소 사영 대수다양체인지 여부에 대한 필요충분조건을 제시하는 정리다.

정의

콤팩트 켈러 다양체 $(M,\omega )$의 켈러 형식 $\omega$가 정수 코호몰로지의 원소라고 하자. 즉,

$\omega \in H^{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (H^{2}(M;\mathbb {Z} ))$

이다. (콤팩트 다양체의 켈러 형식은 거듭제곱하여 부피 형식이 되므로, 꼬임 부분군에 속할 수 없다.) 이 경우, $M$은 충분히 큰 차원의 복소수 사영 공간 $\mathbb {C} P^{n}$의 부분공간으로 해석적으로 매장할 수 있고, 저우 정리(Chow's theorem)에 따라서 이 매장은 대수적이다. 즉, $M$은 사영 대수다양체를 이룬다.

이렇게, 켈러 형식이 정수 코호몰로지에 속하는 켈러 다양체를 호지 다양체(영어: Hodge manifold)라고 한다. 즉, 고다이라 매장 정리에 따르면, 호지 다양체는 사영 대수다양체를 이룬다.

역사

고다이라 구니히코가 고다이라 소멸 정리를 사용하여 1954년 증명하였다.

같이 보기

• 호지 구조

각주

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크

• Onishchik, A.L. (2001). “Kähler manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Onishchik, A.L. (2001). “Hodge variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.