이합체 모형

통계역학과 그래프 이론에서, 이합체 모형(二合體模型, 영어: dimer model)은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 그래프 $\Gamma$
• 실수 값 함수 $E\colon \operatorname {E} (\Gamma )\to \mathbb {R}$. 이를 각 변의 에너지라고 한다.

그렇다면, $\Gamma$의 완벽 부합들의 집합을

$\operatorname {PerfMatch} (\Gamma )\subseteq \operatorname {Pow} (\operatorname {E} (\Gamma ))$

로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 이합체 배치(二合體配置, 영어: dimer configuration)라고 하며, 그래프의 변은 이합체라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.

수학	물리학
변	이합체(영어: dimer)
완벽 부합	이합체 배치
변의 무게(영어: weight)	이합체의 에너지

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

• 위상 공간은 완벽 부합의 집합 $\operatorname {PerfMatch} (\Gamma )$이다.
• 임의의 완벽 부합 $M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )$의 에너지는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 $\textstyle \sum _{e\in M}E(e)$이다.
• 온도 $T=1/\beta$에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 $\operatorname {PerfMatch} (\Gamma )\to \mathbb {R}$로 정의되는 기브스 측도이다.

  $Z(\Gamma )=\sum _{M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )}\exp \left(-\beta \sum _{e\in M}E(e)\right)$

  $\Pr(M)={\frac {\exp \left(-\beta \sum _{e\in M}E(e)\right)}{\qquad }}(M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma ))$

여기서 값 $Z(\Gamma )$는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 이합체 모형이라고 한다.

성질

각 변 $e\in \operatorname {E} (\Gamma )$에 대하여, 관측 가능량 $\sigma (e;M)$을 지시 함수

$\sigma (e;M)$=\begin{cases}

1&e\in M\\ 0&e\not\in M \end{cases}</math> 로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

$S\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$

에 대하여, 상관 함수

$\left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle ={\frac {Z(\prod _{e\in S}\sigma (e);\Gamma )}{Z(\Gamma )}}$

$Z(\prod _{e\in S}\sigma (e);\Gamma )=\sum _{S\subseteq M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )}\Pr(M)\in [0,1]$

를 정의할 수 있다. 만약 $S$가 서로 닿는 두 변을 포함한다면,

$\left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle =0$

이다.

예

이징 모형은 이합체 모형의 일종이다.

참고 문헌

• Kenyon, Richard; Okounkov, Andrei (2005년 3월). “What is … a dimer?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (3). 
• Kenyon, Richard. 〈The planar dimer model with boundary: a survey〉 (PDF). Baake, Michael; Moody, Robert V. 《Directions in mathematical quasicrystals》. Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series (영어) 13. American Mathematical Society. 307–328쪽. ISBN 978-0-8218-2629-4. ISSN 1065-8599. 

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Domino tiling”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.