약수 함수

수학에서 약수 함수(Divisor function) σ_a(n)은 n의 약수들의 a 제곱 값의 합으로 정의된다.

\sigma _{a}(n)=\sum _{d|n}d^{a}\,\!

.

σ₀(n)은 d(n)로도 나타내며, n의 약수의 갯수에 해당한다.

σ₁(n)은 시그마 함수 σ(n)라고 하며 n의 모든 약수의 합을 나타낸다.

\sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum d

.

특히 p가 소수일 때에만

\sigma (p)=p+1\,\!

이 성립한다. 정의에 의해 소수의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

s(n) = σ(n)-n 으로 표시하며, 이 값은 n에서 자기 자신을 제외한 약수의 합에 해당한다. s(n) = n이 되는 수를 완전수라 한다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}$ 로 소인수분해 된다면,

d(n)=\prod _{i=1}^{r}(\alpha _{i}+1)

,

\sigma (n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}

이 된다. 일반적으로 a>0인 경우,

\sigma _{a}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(\alpha _{i}+1)a}-1}{p_{i}^{a}-1}}

이 성립한다.

그리고 오일러 상수 값을 γ로 적을 때,

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma }

가 된다.

약수 함수열