바나흐 공간

함수해석학에서, 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$\mathbb {K}$-노름 공간 $(X,\|\cdot \|)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mathbb {K}$-노름 공간을 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라고 한다.

• (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
• 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 $(v_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X$에 대하여, 만약 $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\|v_{i}\|<\infty$라면, 급수 $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }v_{i}$ 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.

체 $\mathbb {K}$를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

성질

• 한-바나흐 정리
• 닫힌 그래프 정리
• 열린 사상 정리: $X$, $Y$가 바나흐 공간이고, $T\colon X\to Y$가 유계 작용소라면, $T$가 전사 함수일 필요 충분 조건은 $T$가 열린 함수인지 여부이다.
  • 이에 따라, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)

연산에 대한 닫힘

• $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $X$의 닫힌 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $Y\subseteq X$는 역시 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다. 또한, 몫공간 $X/Y$ 위에 $\textstyle \lVert x+Y\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x+y\rVert$으로 노름을 주자. 그렇다면 $X/Y$ 역시 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.
• $X$가 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이고, $Y$가 $\mathbb {K}$-노름 공간이고, $T\colon X\to Y$가 $\mathbb {K}$-선형 변환이라고 하자. 그렇다면 $T(X)$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이다.
• $\{X_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$이 유한 개의 $\mathbb {K}$-노름 공간들의 집합이라면, 그 직합 $\textstyle X=\bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}$에 노름을 $\textstyle \lVert (x_{1},\dots ,x_{n})\rVert =\sum _{i=1}^{n}\lVert x_{i}\rVert$로 주자. 이 경우, $X$가 $\mathbb {K}$-바나흐 공간일 필요 충분 조건은 모든 $X_{i}$가 각각 $\mathbb {K}$-바나흐 공간인지 여부다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

$\mathbb {K}$-힐베르트 공간	⇒	$\mathbb {K}$-반사 바나흐 공간	⇒	$\mathbb {K}$-바나흐 공간
⇓				⇓
$\mathbb {K}$-내적 공간	⟹			$\mathbb {K}$-노름 공간

샤우데르 기저

 이 부분의 본문은 샤우데르 기저입니다.

벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

바나흐 공간 위의 미적분학

 이 부분의 본문은 프레셰 도함수입니다.

바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

분류

모든 분해 가능 $\mathbb {K}$-바나흐 공간은 르베그 공간 $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$의 몫공간이다. 즉, $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$에 닫힌 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $M$이 존재하여, $X\cong \ell ^{2}(\mathbb {K} )/M$이다.

예

유클리드 공간

자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 유한 차원 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $\mathbb {K} ^{n}$ 위에 노름

$\|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}$

를 부여하면, 이는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

르베그 공간

 이 부분의 본문은 르베그 공간입니다.

임의의 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 확장된 실수 $1\leq p\leq \infty$에 대하여, 르베그 공간 $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

수렴 수열 공간

 이 부분의 본문은 수렴 수열 공간입니다.

수렴 수열 공간 $\operatorname {c} (\mathbb {K} )$과 영 수렴 수열 공간 $\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )$은 둘 다 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

힐베르트 공간

 이 부분의 본문은 힐베르트 공간입니다.

임의의 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$에 대하여,

$\|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}\qquad (v\in {\mathcal {H}})$

로 노름을 정의하면 이는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

역사

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

참고 문헌

• 조총만 (2000). 《바나하공간론》. 대우학술총서 485. 아카넷. ISBN 978-89-8910318-9. 
• Beauzamy, Bernard (1985). 《Introduction to Banach spaces and their geometry》. North-Holland Mathematics Studies (영어) 68 2판. North-Holland. Zbl 0585.46009.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Fabian, Marián; Habala, Petr; Hájek, Petr; Montesinos, Vicente; Zizler, Václav (2011). 《Banach space theory: the basis for linear and nonlinear analysis》. Canadian Mathematical Society Books in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7515-7. ISBN 978-1-4419-7514-0. ISSN 1613-5237. Zbl 1229.46001. 
• Albiac, Fernando; Kalton, Nigel J. (2016). 《Topics in Banach space theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 233 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-31557-7. ISBN 978-3-319-31555-3. ISSN 0072-5285. Zbl 06566917. 

바깥 고리

• Kadets, M.I. (2001). “Banach space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Mohammad Sal Moslehian, Todd Rowland, Eric W. Weisstein. “Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
• Mohammad Sal Moslehian. “Minimal Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Reflexive Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Prime Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Banach completion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Banach space”. 《nLab》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 6월 23일). “Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)”. 《Annoying Precision》 (영어).