波動関数

左：量子ノイズ、中央：波束、右：ウィグナー分布関数

波動関数 （はどうかんすう、英: wave function）は、もともとは波動現象一般をあらわす関数のことだが、現在ではほぼ量子状態（より正確には純粋状態）を表す複素数値関数のことを指す。

定義

エルミート演算子 ${\hat {A}}\$ の固有値が離散的である場合を考える。エルミート演算子${\hat {A}}\$の全ての固有ベクトルの集合$\{|a_{n}\rangle \}\$は完全系である。よって任意の状態ベクトル$|\psi \rangle \$を$\{|a_{n}\rangle \}\$の線形結合（重ね合わせ）として表すことができる。

つまり、展開係数を$\psi (a_{n})\$とおくと、

$|\psi \rangle =...+\psi (a_{n-1})|a_{n-1}\rangle +\psi (a_{n})|a_{n}\rangle +\psi (a_{n+1})|a_{n+1}\rangle +...=\sum _{n}\psi (a_{n})|a_{n}\rangle$

この展開係数$\psi (a_{n})\$を「基底 $\{|a_{n}\rangle \}\$ 表示での波動関数」と呼ぶ。

またこの式と$|a_{n}\rangle \$との内積をとると、

$\langle a_{n}|\psi \rangle =\psi (a_{n})$

内積の結果として$|a_{n}\rangle \$にかかる展開係数を得る。

よって基底をひとつに決めると、状態ベクトルと波動関数は、片方が分かればもう片方を求めることができる、つまり一対一の対応関係になっている。 従って波動関数は、その変数が決まっているときには、状態ベクトルと等価である。

基底として、位置を表す演算子${\hat {x}}\$の固有ベクトル、つまり位置が定まった状態の全体$\{|x\rangle \}\$ を選んだ場合、任意の状態を$\{|x\rangle \}\$の重ね合わせで表現できる。

この重ね合わせ係数$\psi (x)\$を「座標表示での波動関数」、「シュレディンガーの波動関数」などと呼ぶ。

重ね合わせ係数$\psi (x)\$を定めれば$|\psi \rangle \$は一意的に決まるので、$|\psi \rangle \$の代わりに$\psi (x)\$を用いても状態を表せる。扱いやすさなどから、量子状態を表すものとして$\psi (x)\$を用いることも多い。

基底として、運動量を表す演算子${\hat {p}}\$の固有ベクトル、つまり運動量が定まった状態の全体$\{|p\rangle \}\$を選んだ場合、$\psi (p)\$を「運動量表示での波動関数」と呼ぶ。

波動関数の性質

• 波動関数は、物体の状態を表現するもの。
• 一般に複素数関数である。
• 古典的な波やベクトルと同様に重ね合わせの原理を満たす。
• 波動関数の波の速さ（位相速度）は光速度を超える。
• 観測行為などがあると一瞬でデルタ関数的に収縮する。

確率振幅

ボルンの規則によると、ある状態$|\psi \rangle \$における物理量（オブザーバブル）$A\$の測定をしたとき、その測定値の確率分布は、

$P(a)=\langle \psi |a\rangle \langle a|\psi \rangle =|\psi (a)|^{2}\$

物理量$A$による表示をした波動関数$\psi (a)=\langle a|\psi \rangle$の絶対値の二乗となる。

例えば、ある状態$|\psi \rangle \$における運動量$p\$の測定を数多くした時、測定値が「運動量を表すエルミート演算子${\hat {p}}\$の固有値のひとつ$p_{1}\$」である確率は

$P(p_{1})=|\psi (p_{1})|^{2}\$

に収束する。

他にも波動関数$\left.\Psi (x,t)\right.$の（絶対値の）二乗は、「その状態 $|\Psi \rangle$ において時刻 $t\$ で位置 ${\hat {x}}$ の測定をしたとき、測定値のバラつきを表す確率分布が $P(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}\$ である」ということなので、「時刻 $\left.t\right.$ における、位置 $\left.x\right.$ での存在確率」と解釈される（位置${\hat {x}}$の固有値が離散的である場合）。 しかし、そのためには、全空間のどこかで観測される確率は1 (100％) であることから、

$\sum _{i}P(x_{i},t)=1$

のように規格化される。位置の観測量が連続的に与えられている場合、「ある一点$x$での存在確率$P(x,t)$」は意味を成さない。そのような場合、$P(x,t)$は、存在確率ではなく、「小区間 $[x,x+\delta x]$ の中に観測される、存在確率 "密度"」として扱われ、規格化条件も和から積分へ変わる。

$\int _{V}P(x,t)dx=1$

積分変数が位置$x$になっていて、長さの次元を持つことからも分かる通り、物理量の固有値が連続的に存在する場合（連続スペクトル）、対応する確率分布の次元は、無次元ではなく、物理量の逆の次元、この場合は「$L^{-1}$（長さの逆数）」になる。このとき、$P(x,t)$は「単位長さ当たりの確率」、すなわち確率密度として解釈される。

重ね合わせと観測問題

波動関数とは端的に言うと「物体の『状態』そのものの波動」であり、この事は物体の状態（例えば「犬がおなかをすかせています…」という事でさえも）が波で表される事を示しており、また波は重ね合わせの原理（波1と波2が同時に存在出来る）を満たすため、原理的には物体が同時に複数の相異なる状態を取りえる（シュレーディンガーの猫）事を示す。その事が「本当に同時に複数の状態を取っている」のか、「人間には認識できない超光速で状態が転移し続けている」のかは議論が分かれる所である。

しかし実際に1回の実験で観測される物体の状態はただ一つであるし、また我々の日常での実感でも、この重ね合わせの原理は矛盾しているように思える。その矛盾を回避する為に現在まで多くの解釈が与えられた。その中で数学的に等価であり、しかし物理的に全く異なる2つの有力な解釈が「コペンハーゲン解釈」「エヴェレット解釈」である。詳しくは当該項目を参照のこと。

コペンハーゲン解釈では、「観測者」の実行する「観測」による「波動関数の収縮」が、物体の観測される状態をただ一つに決定するとされた。しかしその「観測者」の満たすべき資質や波動関数の収縮速度が光速を超える事などが問題となった。エヴェレット解釈では「波動関数の収縮」を必要とはしない。しかし我々が住む日常世界の他に全く異なる並行世界が存在する事を期待させる為に、様々な空想を生んだ。近年、「デコヒーレンス（The Quantum Decoherence、異なる量子状態間の干渉が断ち切られる現象）」の発見によって「波動関数の収縮」あるいは「並行世界の消滅」の機構は説明されつつある。しかしそれでも「波動関数の実在性」そのものに関する解答は存在していない。

波動関数の次元

波動関数の次元は、状況によって異なる。 規格化条件から波動関数の次元を求めることができる。

• 離散固有値の固有関数で表示した波動関数は、常に無次元量である。
• 連続固有値の固有関数で表示した波動関数は、状況によって様々な規格化条件があるので、波動関数の次元は状況によって異なる。

波動関数の呼ばれ方

状況、場面によって波動関数はいろいろな呼ばれ方をする。話の流れによっては単に固有状態とか固有関数と言われることも多い。

その他に、固有ベクトル、状態ベクトル（状態ベクトルを波動力学の形式で記述したものが波動関数である）、化学や物性物理学の分野では軌道（関数）などが波動関数とほぼ同義に扱われることがある。但し、これは特定の状況でそうなっている場合もあり、意味が異なる場合もある。

波動関数の実在性

波動関数が実在する物理現象なのかどうかは、今でもわかっていない。人が「質量は実在するか?」と聞かれれば間違いなくそうだと答えるだろう（しかし質量は本来抽象的な物理量である）。しかし、波動関数の場合には位相速度が光速を超える事、また「波動関数の収縮」速度が光速を超えるか超えないか、が問題となる。EPRパラドックスとして知られており、量子的な現象はそのような性質を持つものである、と一般には解されているが、「実在する物理現象だとすると、その収縮速度は光速を超えられない事」であり「これは重大なパラドックスを引き起こす」とする向きもある（反対に、この事から波動関数の物理的実在を否定することもできる）。

参考文献

• 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。 

関連項目

• 量子力学
• シュレーディンガー方程式
• 波動力学
• 第一原理バンド計算
• シュレーディンガーの猫
• 量子デコヒーレンス