グラム・シュミットの正規直交化法

グラム・シュミットの正規直交化法（グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、Gram-Schmidt orthonormalization）とは、内積を持つベクトル空間（計量ベクトル空間）に、ある線型独立なベクトルの組が与えられたとき、そこから正規直交系（それぞれのベクトルのノルムが 1 で、どの二つも互いに直交しているようなベクトルの組）を作り出すアルゴリズムのことである。シュミットの直交化（ちょっこうか、orthgonalization）ともいう。ノルムを 1 にする工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。

定義

計量ベクトル空間を V で表し、ベクトル v, w の内積を (v,w) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立系を {v₀, v₁, v₂, ..., v_n}とする。 まず、ベクトル v₀ を選びだしてそのノルムで割る。すなわち、w₀ = (v₀, v₀)^-1/2v₀ とする。以下、

${\begin{matrix}w'_{1}=&v_{1}-(w_{0},v_{1})w_{0},&w_{1}=(w'_{1},w'_{1})^{-{\frac {1}{2}}}w'_{1},\\w'_{2}=&v_{2}-(w_{0},v_{2})w_{0}-(w_{1},v_{2})w_{1},&w_{2}=(w'_{2},w'_{2})^{-{\frac {1}{2}}}w'_{2},\\\quad \ \vdots &&\vdots \qquad \ \qquad \ \\w'_{n}=&v_{n}-\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(w_{i},v_{n})w_{i},&w_{n}=(w'_{n},w'_{n})^{-{\frac {1}{2}}}w'_{n}\end{matrix}}$

によって順に新しいベクトルを作っていくと、{w₀, w₁, w₂, ..., w_n} は新しい線型独立系になる。構成から、正規であり、互いに直交していることは容易に分かる。

関連項目

• 直交
• 直交化